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1、向量法解决立体几何精品向量法解决立体几何精品第1页，共69页，编辑于2022年，星期五专题提纲专题提纲专题提纲专题提纲二、立体几何问题的类型及解法二、立体几何问题的类型及解法1、判断直线、平面间的位置关系；(1)直线与直线的位置关系;(2)直线与平面的位置关系;(3)平面与平面的位置关系;2、求解空间中的角度；3、求解空间中的距离。1、直线的方向向量；2、平面的法向量。一、引入两个重要空间向量一、引入两个重要空间向量第2页，共69页，编辑于2022年，星期五一一.引入两个重要的空间向引入两个重要的空间向量量1.直线的方向向量 把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量直线的方向
2、向量.如图1,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是zxyAB第3页，共69页，编辑于2022年，星期五2.平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面,称这个向量垂直于平面,记作n,这时向量n叫做平面平面的法向量的法向量.n第4页，共69页，编辑于2022年，星期五在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢?如图2,设a=(x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若na且nb,则n.换句话说,若na=0且nb=0,则n.abn第5页，共69页，编辑于2022
3、年，星期五求平面的法向量的坐标的步骤第一步第一步(设设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).第二步(列):根据na=0且nb=0可列出方程组第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特 殊越好),便得到平面法向量n的坐标.第6页，共69页，编辑于2022年，星期五例例1在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.A AABCDOA1B1C1D1zxy第7页，共69页，编辑于2022年，星期五解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图）,设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z),
4、则O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2）由 =（-1，-1，2），=（-1，1，2）得 ，解得 取z=1得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).A AA1B1C1D1ABOCDxzy第8页，共69页，编辑于2022年，星期五练习答案：第9页，共69页，编辑于2022年，星期五二二.立体几何问题的类型及解法立体几何问题的类型及解法1.判定直线、平面间的位置关系(1)直线与直线的位置关系 不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a,b.若ab,即a=b,则ab.若ab,即ab=0,则ababab第10页，共69页，编辑于2022年，星期五三、简单应用三、简单应用练习练习1
5、：设直线设直线l，m的方向向量分别为的方向向量分别为 ，根据下列条件判断，根据下列条件判断l，m的位置关系：的位置关系：第11页，共69页，编辑于2022年，星期五例例2已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,C1CB=C1CD=BCD=,求证:C C1BDA1B1C1D1CBAD第12页，共69页，编辑于2022年，星期五证明：设 a,b,c,依题意有|a|=|b|，于是 a b =c(a b)=ca cb =|c|a|cos|c|b|cos=0 C C1BD 第13页，共69页，编辑于2022年，星期五向量法向量法第14页，共69页，编辑于2022年，星期五第15页，
6、共69页，编辑于2022年，星期五坐标法坐标法第16页，共69页，编辑于2022年，星期五(2)直线与平面的位置关系 直线L的方向向量为a,平面的法向量为n,且L .若an,即a=n,则 L 若an,即an=0,则a .nanaLL第17页，共69页，编辑于2022年，星期五例例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分别是AC,CC1的中点,求证:(I)A1E 平面DBC1;(II)AB1 平面DBC1A1C1B1ACBEDzxy第18页，共69页，编辑于2022年，星期五解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空间直角坐标系D-xyz.则A(-1,0,0),B(0,0),E(
7、1,0,1),A1(-1,0,2),B1(0,2),C1(1,0,2).设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则 解之得 ，取z=1得n=(-2,0,1)(I)=-n,从而A1E 平面DBC1(II),而 n=-2+0+2=0AB1 平面DBC1第19页，共69页，编辑于2022年，星期五FEXYZ第20页，共69页，编辑于2022年，星期五FEXYZ第21页，共69页，编辑于2022年，星期五三、练习三、练习:1 1，在正方体，在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，P P在在A A1 1B B1 1上，上，Q Q在在BCBC上，上，且且A A
8、1 1P=QBP=QB，M M、N N分别为分别为ABAB1 1、PQPQ的中点。求证：的中点。求证：MN/MN/平面平面ABCDABCD。第22页，共69页，编辑于2022年，星期五DBCAA1QPNMD1C1B1zyxo证明：建立如图所示证明：建立如图所示的空间直角坐标系的空间直角坐标系o-xyz设正方形边长为设正方形边长为2，又设又设A1P=BQ=2x则则P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0)故故N(2-x,1+x,1),而而M(2,1,1)所以向量所以向量 (-x,x,0)，又平面，又平面AC的法的法向量为向量为 (0,0,1)，又又M不在平面不在平面AC 内，所以内，所以MN平面
9、平面AC第23页，共69页，编辑于2022年，星期五(3)平面与平面的位置关系平面的法向量为n1,平面的法向量为n2 n1 n1 n2 n2若n1n2,即n1=n2,则若n1n2,即n1 n2=0,则第24页，共69页，编辑于2022年，星期五练习练习2：设平面设平面 ，的法向量分别为的法向量分别为 ，根据下列条件判断，根据下列条件判断 ，的位置的位置关系：关系：第25页，共69页，编辑于2022年，星期五FEXYZ正方体ABCD-ABCD 中，E、F分别是CC、BD的中点。求证：面ADF 面BDED(0,0,2)例例第26页，共69页，编辑于2022年，星期五v设平面DBE的法向量为n1=(
10、x,y,z)得解得取y=-1,得平面DBE的法向量为n1=(1,-1,2)同理可得平面ADF的法向量为n2=(0,2,1)n1 n2=0-2+2=0v面DBE面ADF第27页，共69页，编辑于2022年，星期五2.求空间中的角第28页，共69页，编辑于2022年，星期五例例5如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦值为_.BC A MxzyB1C1D1A1CD第29页，共69页，编辑于2022年，星期五解:以A为原点建立如图所示的直角坐标系A-xyz,设正方体的棱长为2,则M(1,0,0),C(2,2,0),B1(2,0,2),D(0,2,0)
11、,于是,cos=第30页，共69页，编辑于2022年，星期五练习练习第31页，共69页，编辑于2022年，星期五第32页，共69页，编辑于2022年，星期五例例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高为 ，求AC1与侧面ABB1A1所成的角zxyC1A1B1ACBO第33页，共69页，编辑于2022年，星期五解:建立如图示的直角坐标系,则A(,0,0),B(0,0)A1(,0,).C(-,0,)设面ABB1A1的法向量为n=(x,y,z)由 得 取y=,得n=(3,0)而C1A1B1CAOBxyz第34页，共69页，编辑于2022年，星期五答案：C第35页，共69页，编辑于2022年，
12、星期五第36页，共69页，编辑于2022年，星期五第37页，共69页，编辑于2022年，星期五（3）二面角设n1、n2分别是二面角两个半平面、的法向量，由几何知识可知，二面角-L-的大小与法向量n1、n2夹角相等（选取法向量竖坐标z同号时相等）或互补（选取法向量竖坐标z异号时互补），于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角，这样可避免了二面角的平面角的作图麻烦.n1n1n2n2第38页，共69页，编辑于2022年，星期五第39页，共69页，编辑于2022年，星期五第40页，共69页，编辑于2022年，星期五第41页，共69页，编辑于2022年，星期五例例7在四棱锥S-ABCD中DAB=
13、ABC=90，侧棱SA底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小.BCzxyABCDS第42页，共69页，编辑于2022年，星期五解：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则 B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）.设平面SCD的法向量n1=(x,y,z),则由 得 n1=(1,1,2).而面SAD的法向量n2=(1,0,0).于是二面角A-SD-C的大小满足 二面角A-SD-C的大小为 .第43页，共69页，编辑于2022年，星期五如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，ABC=90，SA面ABCD，SA=AB=BC=1，求面
14、SCD与面SBA所成的二面角的余弦值 练习：练习：SBACDzxy第44页，共69页，编辑于2022年，星期五设平面ADBCS第45页，共69页，编辑于2022年，星期五例第46页，共69页，编辑于2022年，星期五第47页，共69页，编辑于2022年，星期五第48页，共69页，编辑于2022年，星期五第49页，共69页，编辑于2022年，星期五第50页，共69页，编辑于2022年，星期五第51页，共69页，编辑于2022年，星期五第52页，共69页，编辑于2022年，星期五第53页，共69页，编辑于2022年，星期五练习：第54页，共69页，编辑于2022年，星期五第55页，共69页，编辑于
15、2022年，星期五第56页，共69页，编辑于2022年，星期五（2）解法2：设平面PBD的法向量为：n=(n=(x,y,zx,y,z)=(1，0，-）,x-z=0,且-x-y-z=0 x=z,y=-2 z令z=1,得：n=(,-2 ,1 )平面CBD的法向量为 =(0，0，）又二面角P-BD-C的大小为：arccos 1/4第57页，共69页，编辑于2022年，星期五第58页，共69页，编辑于2022年，星期五解法二：设平面PAD的法向量为：n=(x,y,z)解得：取x=1,得n1=(1 ,2,-)同理：可得平面PAB的法向量为n2=(,0,1)n1 n2=+0+=0平面PAD平面PBD第59
16、页，共69页，编辑于2022年，星期五3.求解空间中的距离(1)异面直线间的距离两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段,只需利用向量的正射影性质直接计算.如图,设两条异面直线a、b的公垂线的方向向量为n,这时分别在a、b上任取A、B两点,则向量在n上的正射影长就是两条异面直线a、b的距离.即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值向量模的比值.nabAB第60页，共69页，编辑于2022年，星期五例例8在棱长为1的正方体ABCD
17、-A1B1C1D1中,求异面直线AC1与BD间的距离.zxyABCDD1C1B1A1第61页，共69页，编辑于2022年，星期五解:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则 A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1),设异面直线AC1与BD的公垂线的方向向量n=(x,y,z),则由 ,得 n=(-1,-1,2).,异面直线AC1与BD间的距离第62页，共69页，编辑于2022年，星期五(2)点到平面的距离A为平面外一点(如图),n为平面的法向量,过A作平面的斜线AB及垂线AH.=.于是，点到平面的距离等于平面内外两点的向量和平面的点到平面的距离等于平面内外两点的
18、向量和平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模的比值法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模的比值.nABH第63页，共69页，编辑于2022年，星期五例例9 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=,AC=BC=1,ACB=90,求B1到面A1BC的距离.zxyCC1A1B1AB第64页，共69页，编辑于2022年，星期五解:以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz,则 C(0,0,0),A1(1,0,),B(0,1,0),B1(0,1,).设面A1BC的法向量n=(x,y,z),由 得 n=(-,0,1).,或 ,或 ,可见,选择平面内外两点的向量时,与平面内的点选择无关.第65页，共6
19、9页，编辑于2022年，星期五会求了点到平面的距离,直线到平面、平面到平面间的距离都可转化为求点到平面的距离来求.例例10四棱锥P-ABCD的底面ACBD是菱形,AB=4,ABC=60,侧棱PA底面AC且PA=4,E是PA的中点,求PC与平面PED间的距离.xzyPBEADCF第66页，共69页，编辑于2022年，星期五解:以A为原点、AB为x轴、ACD中CD边上的高AF为y轴、AP为z轴建立空间直角坐标系,则F为CD的中点,于是A(0,0,0),B(4,0,0),F(0,2 ,0),C(2,2 ,0),D(-2,2 ,0),P(0,0,4),E(0,0,2).设面BED的法向量n=(x,y,
20、z),由 得 n=(1,2).n 2+6-8=0，故PC面BED,PC到面BED的距离就是P到面BED的距离,.第67页，共69页，编辑于2022年，星期五空间向量理论引入立体几何中，通常涉及到夹角、平行、垂直、距离等问题，其方法是不必添加繁杂的辅助线，只要建立适当的空建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量运算解决立体几何问题量运算解决立体几何问题。这样使问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理问题完全转化为代数运算，降低了思维难度，这正是在立体几何中引进空间向量的独到之处。第68页，共69页，编辑于2022年，星期五第69页，共69页，编辑于2022年，星期五