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1、两个随机变量的函数及其分布第1页，共21页，编辑于2022年，星期三X与与Y 独立独立即即连续型连续型对一切对一切 i,j 有有离散型离散型X与与Y 独立独立对任何对任何 x,y 有有复 习第2页，共21页，编辑于2022年，星期三 在第二章中，我们讨论了一维随机变在第二章中，我们讨论了一维随机变量的函数的分布，现在我们进一步讨论量的函数的分布，现在我们进一步讨论:当随机变量当随机变量 X,Y 的概率分布已知时，如何求出的概率分布已知时，如何求出它们的函数它们的函数Z=g(X,Y)的分布的分布?其中其中 是连续函数是连续函数.第3页，共21页，编辑于2022年，星期三当(X,Y)为离散型r.v
2、.时,Z也是离散型的，一、两个离散型一、两个离散型r.v.的函数的概率分布的函数的概率分布例1 设二维r.v.(X,Y)的概率分布为X Y pij-1 1 2-1 0求的概率分布.第4页，共21页，编辑于2022年，星期三解：根据(X,Y)的联合分布可得如下表格：P X+Y X-Y X Y Y/X(X,Y)(-1,-1)(-1,0)(1,-1)(1,0)(2,-1)(2,0)-2 -1 0 1 1 2 0 -1 2 1 3 2 1 0 -1 0 -2 0 1 0 -1 0 -1/2 0第5页，共21页，编辑于2022年，星期三故得PX+Y-2 -1 0 1 2PX-Y-1 0 1 2 3PX
3、Y-2 -1 0 1 PY/X-1 -1/2 0 1第6页，共21页，编辑于2022年，星期三解：依题意 例2 若 X 和 Y 相互独立,它们分别服从参数为的泊松分布,证明Z=X+Y服从参数为于是于是的泊松分布的泊松分布.q 设 X B(n1,p),Y B(n2,p),且相互独立，则 X+Y B(n1+n2,p)第7页，共21页，编辑于2022年，星期三方法 从求Z 的分布函数出发,将Z 的分布函数转化为(X,Y)的事件 二、两个连续型二、两个连续型r.v.的函数的概率分布的函数的概率分布其中问题 已知r.v.(X,Y)的密度函数，g(x,y)为已知的连续函数.求 密度函数.第8页，共21页，
4、编辑于2022年，星期三1.和的分布和的分布：Z=X+Y 设(X,Y)的联合d.f.为 f(x,y),则 zzx+y=z或或即第9页，共21页，编辑于2022年，星期三特别地，若X,Y 相互独立，则或或称之为函数 f X(z)与 f Y(z)的卷积 zzx+y=z第10页，共21页，编辑于2022年，星期三解法一 从分布函数出发(必须掌握)x+y=z(1)当z 0 时，1yx1(2)当0 z 1 时，yx11x+y=zzz例3 已知(X,Y)的联合d.f.为Z=X+Y,求 f Z(z)第11页，共21页，编辑于2022年，星期三x+y=z(3)当1 z 2 时，z-11yx1zz1yx1x+y
5、=z22(4)当2 z 时，综合上述可得第12页，共21页，编辑于2022年，星期三例3 已知(X,Y)的联合d.f.为Z=X+Y,求 f Z(z)解法二解法二（图形定限法）（图形定限法）显然X,Y 相互独立,且y1x1第13页，共21页，编辑于2022年，星期三z1z=xz-1=xx21第14页，共21页，编辑于2022年，星期三例4 若X和Y 是两个相互独立的随机变量,具有相同的分布 N(0,1),求 Z=X+Y 的概率密度.解：由卷积公式第15页，共21页，编辑于2022年，星期三令令得得可见 Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).第16页，共21页，编辑于2022年，星期三 正态随机
6、变量的结论正态随机变量的结论q 若X,Y 相互独立,则q 若相互独立，则有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.第17页，共21页，编辑于2022年，星期三2.平方和的分布平方和的分布:Z=X 2+Y 2设(X,Y)的联合 d.f.为 f(x,y)，则第18页，共21页，编辑于2022年，星期三例如，X N(0,1),Y N(0,1),X,Y 相互独立，Z=X 2+Y 2,则自由度为2的 2分布称为第19页，共21页，编辑于2022年，星期三已知(X,Y)的联合d.f.为f(x,y)，令Z=X/Y,求 f Z(z).3.商的分布商的分布：Z=X/Y 第20页，共21页，编辑于2022年，星期三小小 结结熟练掌握两个随机变量的函数的概率分布的求法作业：作业：P96 28、29、30第21页，共21页，编辑于2022年，星期三