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1、概率统计概率统计下页结束返回3.3 3.3 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布已知（已知（X，Y）的分布，求其函数）的分布，求其函数Z= g (X,Y)的分布的分布内容：内容：要点：要点：一、离散型一、离散型二、连续型（和的分布）二、连续型（和的分布）要求：要求：掌握基本方法掌握基本方法下页概率统计概率统计下页结束返回一、离一、离 散散 型型例例1 已知（已知（X, Y ) 的联合分布律的联合分布律-1, 0, 2, 3, 5, 且且求求 Z = X+Y的概率分布的概率分布.解：解： Z = X + Y 的所有可能取值为：的所有可能取值为：PZ= -1=PX+Y= -1=PX= -1
2、，Y=0=1/10PZ= 0=PX+Y=0=PX= -1，Y=1=1/20PZ= 2=PX+Y=2=PX= -1，Y=3+PX=2，Y=0= 3/20+3/10pk 1/10 1/20 9/20 0 4/10Z -1 0 2 3 5 1/10 1/20 3/20 3/10 0 4/10-1 2 0 1 3XY问题：问题：Z = XY 的概率分布？的概率分布？下页概率统计概率统计下页结束返回已知已知X和和Y的联合密度为的联合密度为 f (x,y),求求Z=g(X,Y)的密度的密度. Z=X+Y的分布函数是的分布函数是: FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z)( , )Df x y dxdy这里
3、积分区域这里积分区域D=(x, y): x+y z是直线是直线x+y =z 左下方的半平面左下方的半平面.( (一一) Z = X + Y ) Z = X + Y 的分布的分布二、连二、连 续续 型型下页概率统计概率统计下页结束返回 化成累次积分化成累次积分,得得( )( , )Zx y zFzf x y dxdy ( )( , )z yZFzf x y dx dy 固定固定z和和y,对方括号内的积分作变量代换对方括号内的积分作变量代换, 令令x=u-y,得得( )(, )zZFzf uy y du dy (, )zf uy y dy du 变量代换变量代换交换积分次序交换积分次序下页概率统计
4、概率统计下页结束返回由概率由概率密度与分布函数的关系密度与分布函数的关系, 即得即得Z=X+Y的概率的概率密度为密度为: 由由X和和Y的对称性的对称性, fZ (z)又可写成又可写成 ( )( )(, )ZZfzFzf zy y dy以上两式即是两个随机变量和的概以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式率密度的一般公式.( )( )( ,)ZZfzFzf x zx dx( )(, )zZFzf uy y dy du 下页概率统计概率统计下页结束返回当当X和和Y独立，设独立，设(X,Y)关于关于X,Y的的边缘密度分别为边缘密度分别为fX(x) , fY(y) , 则则上述两式化为上述两式化
5、为: ( )()( )ZXYfzfzy fy dy这两个公式称为这两个公式称为卷积公式卷积公式 .( )( )()ZXYfzfx fzx dx下面我们用下面我们用卷积公式卷积公式来求来求Z=X+Y的的概率密度概率密度下页卷积公式卷积公式 .( )(, )( )( ,)ZZfzf zy y dyfzf x zx dx概率统计概率统计下页结束返回1,0,1( )0,Xxfx其它1,0,1( )0,Yyfy其它 解解 X X 、Y Y 的概率密度的概率密度( )( )()ZXYfzfx fzx dx例例2 2 设设X、Y的相互独立，且都在的相互独立，且都在0，1上服从均匀上服从均匀分布，求分布，求
6、Z=X+Y的分布。的分布。 ，则有的密度函数为设随机变量zfYXZZ下页概率统计概率统计下页结束返回 z-1 0 z 1 2 u0 z-1 1 z 2 u10()Yfzx dxxzu11( )( )zzYYzzfu dufu duzzdu011121zzdu当当0z1时，时，fZ(z) =当当1z2时，时， fZ(z) =,01( )2,120,zzzfzzz当当其它所以所以法一法一下页( )( )()ZXYfzfx fzx dx概率统计概率统计下页结束返回, 20zz，或若 0zfZ01z 若， zZdxzf01z dxxzfxfzfYXZ10, 10 xzxxz0 xz1 xz0112 1
7、11zZdxzfz212z若，的密度函数为综上所述，我们可得YXZ ,012,120,Zzzfzzz其它下页法二法二概率统计概率统计下页结束返回 例例3 3 设设X X和和Y Y是两个互相独立的随机变量，且是两个互相独立的随机变量，且X XN N（0 0，1 1），），Y Y N N（0 0，1 1），求），求Z Z = = X X + +Y Y 的概率密度。的概率密度。解解 由于由于X、Y互相独立，由卷积公式互相独立，由卷积公式( )( )()zxyfzfx fzx dxdxexzx2)(222212zxtdxeezxz22)2(421dteetz22421224411222zzee 221
8、( )2xXfxedxeexzx2)(2222121 即即 Z=X+YN（0，2）下页概率统计概率统计下页结束返回 （2）如果）如果Xi(i=1,2,n)为为 n 个互相独立的个互相独立的 随机随机 变量，且变量，且 Xi N( i，i2)，则，则 一般地一般地（1）若若X1 ，X2N ， 且且X1、X2相互独立，则有相互独立，则有 ),(211N),(222nininiiiiNX1112),(),(222121X1+X2N注意注意：1. 卷积公式的条件及选择；卷积公式的条件及选择；2. 一般地，如求一般地，如求 XY，X/Y，max(X,Y) 可考虑分布函数法可考虑分布函数法下页概率统计概率
9、统计下页结束返回（二）（二）Z= X/Y Z= X/Y 与与 Z=XY Z=XY 的的概率概率分布分布设（设（X、Y）是二维连续型随机向量，概率密度为）是二维连续型随机向量，概率密度为f(x,y)求求 Z=X / Y的概率分布。的概率分布。 ( )/( , )zDF zP ZzP X Yzf x y dxdy解解00( , )( , )y zy zf x y dxdyf x y dxdy yux 令00(, )(, )zzf yu y ydudyf yu y ydudy 00(, )(, )zzf yu y ydudyf yu y ydudy (,) |zfyu yy dy du( )(, )
10、|zfzf yz yy dy( )()( )|zXYfzfyz fyy dy故故Z=X / Y的概率密度为的概率密度为特别地，当特别地，当X、Y相互独立时有相互独立时有zyxD:x/y=z下页概率统计概率统计下页结束返回补充例补充例1. 设设X,Y相互独立服从同一分布相互独立服从同一分布,且且PX=i=1/3 (i=1,2,3) 令令Z=max(X,Y). 求求Z的概率分布的概率分布解：解：先求先求X,Y的联合分布律。因为的联合分布律。因为X,Y独立，独立， 所以所以 PX=iY=j=PX=iPY=j 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1 2 3 1 2
11、3XYZ =max(X,Y)的所有可能取值为的所有可能取值为1,2,3PZ=1=PX=1,Y=1=1/9PZ=2=PX=1,Y=2+PX=2,Y=1+PX=2,Y=2=1/3PZ=3=PX=3,Y=1+PX=3,Y=2+PX=3,Y=3 +PX=1,Y=3+PX=2,Y=3=5/9 Z 1 2 3 P 1/9 1/3 5/9 下页概率统计概率统计下页结束返回补充补充例 2(课后习题17).的分布律机变量，试求随分布，令的与参数为相互独立，且分别服从与设随机变量ZYXZYXPoisson21，的取值都是与由随机变量210YX，的取值也是可知随机变量210YXZnZPnYXP0,nkPXk ynk
12、解:所以下页概率统计概率统计下页结束返回nkknYkXP0，nkknkeknek02121! nkknYPkXP0nkknkknke021!121nkknkknknne021!21nkknkknCne021!21nne21!2121!,21ennZPn即分布的服从参数为分布的定义，知由PoissonPoisson21YXZ，210n下页概率统计概率统计下页结束返回补充补充例例3 (99数学数学4积的分布积的分布）设随机向量（，）在矩形）设随机向量（，）在矩形(x,y)| 0 x2,0y1上均匀分布，试求边长和的矩形上均匀分布，试求边长和的矩形面积的概率分布。面积的概率分布。21xy=2解：解：
13、设面积的分布函数为设面积的分布函数为FS(s),则则 FS(s)PSs若若 0s2,则则 FS(s)PSsPs =1-Ps21112ssxdxdy 211(1)2ssdxx 111ln2ln222ssssS2,则则 FS(s)PSs=1 所以所以1(ln2ln )02( )( )20ssf sF s其它下页概率统计概率统计下页结束返回补充补充4(课后习题课后习题19) M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布的分布 设设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为为FX(x)和和FY(y),我们来求我们来求M=max(X,Y)及及N
14、=min(X,Y)的分布函数的分布函数.又由于又由于X和和Y 相互独立相互独立,于是得到于是得到M=max(X,Y)的分布函数为的分布函数为: 即有即有FM(z)=P(Mz)=P(Xz)P(Yz)=P(Xz,Yz)由于由于M=max(X,Y)不大于不大于z等价于等价于X和和Y都不大于都不大于z，故有，故有 分析：分析：P(Mz)=P(Xz,Yz)下页 类似地，可得类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是的分布函数是即有即有=1- -P(Xz,Yz)FN(z)=P(Nz)=1- -P(Nz)=1- - P(Xz)P(Yz)FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z) FM(z)= FX(z
15、)FY(z) 具体见下例具体见下例概率统计概率统计下页结束返回例例 设随机向量（，）在矩形设随机向量（，）在矩形(x,y)| 0 x1,0y2上均匀分布，试求上均匀分布，试求Z= min（，（，)概率密度概率密度 。设设Z= min（，（，)的分布函数为的分布函数为F(z),则则 FZ(z)=1-1-FX(z)1-FY(z)12解：解：容易判定和相互独立，且容易判定和相互独立，且111000)(xxxxxFX2120200)(yyyyyFY2121110)21)(1 (100)(zzzzzzzFZ301( )( )20zzf zF z其它下页概率统计概率统计下页结束返回作业： 80页页 18结
16、束其它, 0 1 , 0,2)(yyyfY补充题：补充题：设设X、Y相互独立相互独立 , fX(x)和和fY(y)如下如下 , 求求Z=X+Y的密度函数的密度函数.其它, 0 1 , 0, 1)(xxfX概率统计概率统计下页结束返回其它, 0 1 , 0,2)(yyyfY解一：解一：用分布函数法用分布函数法例例. .设设X、Y相互独立相互独立 , fX(x)和和fY(y)如下如下 , 求求Z=X+Y的密度函数的密度函数.其它, 0 1 , 0, 1)(xxfXzyxdxdyyxf),(现考虑现考虑f(x,y)0的区域与的区域与x+y z的取值，分四种情况计算的取值，分四种情况计算.当当z2时，
17、时，Fz(z)=1；下页)(zYXPzFZ1xyxy011220 xy2xy当当0z1时，时，zxzZzydydxzF003; 3/2)(概率统计概率统计下页结束返回其它, 0 1 , 0,2)(yyyfY解解1：用分布函数法用分布函数法例例. .设设X、Y相互独立相互独立 , fX(x)和和fY(y)如下如下 , 求求Z=X+Y的密度函数的密度函数.其它, 0 1 , 0, 1)(xxfXzyxdxdyyxf),(现考虑现考虑f(x,y)0的区域与的区域与x+y z的取值，分四种情况计算的取值，分四种情况计算.当当10的区域与的区域与x+y z的取值，分四种情况计算的取值，分四种情况计算.下
18、页)(zYXPzFZ概率统计概率统计下页结束返回 z-1 0 z 1 2 u0 z-1 1 z 2 u10( )( )()()ZXYYfzfx fzx dxfzx dxxzu11( )( )zzYYzzfu dufu duzzdu011121zzdu当当0z1时，时，fZ(z) =当当1z2时，时， fZ(z) =所以所以下页其它当当,021,210,)(22zzzzzzfz当当z2时，时， fZ(z) =100zzdu解解2：概率统计概率统计下页结束返回,20zz，或若 0zfZ，若10 z zZzdxxzzf02)(2 dxxzfxfzfYXZ10, 10 xzxxz0 xz1 xz011
19、2 2112)(2zzdxxzzfzZ，若21 z的密度函数为综上所述，我们可得YXZ下页其它当当,021,210,)(22zzzzzzfz例：例：设设X、Y相互独立，相互独立，fX(x)和和fY(y)如下，用卷积公式求如下，用卷积公式求Z=X+Y的概率密度函数的概率密度函数.其它,01 ,0,2)(yyyfY其它,01 ,0, 1)(xxfX解3:概率统计概率统计下页结束返回的密度函数量，试求随机变的指数分布，令服从分布，上的均匀，服从区间相互独立，与设随机变量ZYXZYXYX110由题意，可知 其它,010 ,1xxfX 0,00,yyeyfyY ，则有的密度函数为设随机变量zfYXZZ dxxzfxfzfYXZ练习解:下页概率统计概率统计下页结束返回，若0z 0zfZ，若10 z 1,ZZXYYZfzfx fzx dxfu du 0, 10 xzx 0zuZfze du ze1，若1z 1zuZzfze du zzee1 1,10 ,10,01zeezezzfzzzZ的密度函数为所以， Z下页