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1、函数模型及其应用函数模型及其应用例题：例题：例例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一方案一：每天回报：每天回报40元；元；方案二方案二：第一天回报：第一天回报10元，以后每天比前一天多元，以后每天比前一天多 回报回报10元；元；方案三方案三：第一天回报：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前元，以后每天的回报比前 一天翻一番。一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案呢？请问，你会选择哪种投资方案呢？投资方案选择原则：投资方案选择原则：投入资金相同，回报量多者为优投入资金相同
2、，回报量多者为优(1)比较三种方案每天回报量比较三种方案每天回报量(2)比较三种方案一段时间内的总回报量比较三种方案一段时间内的总回报量 哪个方案在某段时间内的总回报量最哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。多，我们就在那段时间选择该方案。我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。供依据。解：设第解：设第x天所得回报为天所得回报为y元，则元，则 方案一：每天回报方案一：每天回报40元；元；y=40(x N*)方案二：第一天回报方案二
3、：第一天回报10元，以后每天比前一天多回元，以后每天比前一天多回 报报10元；元；y=10 x(x N*)方案三：第一天回报方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前元，以后每天的回报比前一天翻一番。一天翻一番。y=0.42x-1 (x N*)x/天天方案一方案一方案二方案二方案三方案三y/元元增长量增长量/元元y/元元增长量增长量/元元y/元元增长量增长量/元元1400100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.6940
4、09010102.451.23040030010214748364.8107374182.4图112-1从每天的回报量来看：从每天的回报量来看：第第14天，方案一最多：天，方案一最多：每每58天，方案二最多：天，方案二最多：第第9天以后，方案三最多；天以后，方案三最多；有人认为投资有人认为投资14天选择方案一；天选择方案一；58天选择方案二；天选择方案二；9天以后选择方案天以后选择方案三？三？累积回报表累积回报表 天数天数方案方案1234567891011一一4080120160200240280320360400440二二103060100150210280360450550660三三0.4
5、1.22.8612.425.250.8102204.4409.2816.8结论结论 投资投资16天，应选择第一种投资方案；天，应选择第一种投资方案；投资投资7天，应选择第一或二种投资方案；天，应选择第一或二种投资方案；投资投资810天，应选择第二种投资方案；天，应选择第二种投资方案；投资投资11天（含天（含11天）以上，应选择第三天）以上，应选择第三种投资方案。种投资方案。解决实际问题的步骤：解决实际问题的步骤：实际问题实际问题读读懂懂问问题题抽抽象象概概括括数学问题数学问题演演算算推推理理数学问题的解数学问题的解还还原原说说明明实际问题的解实际问题的解例例2、某公司为了实现、某公司为了实现1
6、000万元利润的目万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到案：在销售利润达到10万元时，按销售利万元时，按销售利润进行奖励，且奖金润进行奖励，且奖金y(单位：万元单位：万元)随着随着销售利润销售利润x(单位：万元单位：万元)的增加而增加，的增加而增加，但资金数不超过但资金数不超过5万元，同时奖金不超过万元，同时奖金不超过利润的利润的25%。现有三个奖励模型：。现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中，其中哪个模型能符合公司的要求呢？哪个模型能符合公司的要求呢？(1)、由函数图象可以看出，它在区间、
7、由函数图象可以看出，它在区间10,1000上上递增，而且当递增，而且当x=1000时，时，y=log71000+14.555,所以它符合奖金不超过所以它符合奖金不超过5万元的要求。万元的要求。模型模型y=log7x+1(2)、再计算按模型、再计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不奖励时，奖金是否不超过利润的超过利润的25%，即当，即当x 10,1000时，是否有时，是否有成立。成立。令令f(x)=log7x+1-0.25x，x 10,1000.利用计算利用计算机作出函数机作出函数f(x)的图象，由图象可知它是递减的，的图象，由图象可知它是递减的，因此因此 f(x)f(10)-0.316
8、70,即即 log7x+11)和和幂函数幂函数y=xn(n0)，通过探索可以发，通过探索可以发现：现：在区间在区间(0,+)上，无论上，无论n比比a大多少，尽管大多少，尽管在在x的一定范围内，的一定范围内，ax会小于会小于xn，但由于，但由于ax的增长快于的增长快于xn的增长，因此总存在一个的增长，因此总存在一个x0，当，当xx0时，就会有时，就会有axxn.结论结论2：一般地，对于指数函数一般地，对于指数函数y=logax(a1)和幂函数和幂函数y=xn(n0)，通过探索可以发现：，通过探索可以发现：在区间在区间(0,+)上，随着上，随着x的增大，的增大，logax增大增大得越来越慢，图象就
9、像是渐渐地与得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样。轴平行一样。尽管在尽管在x的一定范围内，的一定范围内，logax可能会大于可能会大于xn，但由于但由于logax的增长慢于的增长慢于xn的增长，因此总存在的增长，因此总存在一个一个x0，当，当xx0时，就会有时，就会有logax1)，y=logax(a1)和和y=xn(n0)都是增函数。都是增函数。(2)、随着、随着x的增大，的增大，y=ax(a1)的增长速度越来越的增长速度越来越快，会远远大于快，会远远大于y=xn(n0)的增长速度。的增长速度。(3)、随着、随着x的增大，的增大，y=logax(a1)的增长速度越来的增长速度越来越慢，
10、会远远小于越慢，会远远小于y=xn(n0)的增长速度。的增长速度。总存在一个总存在一个x0，当，当xx0时，就有时，就有logaxxnax练习：练习：P98 1、21、四个变量 随变量 变化的数据如下表：1.0051.01511.04611.14071.42952.310751551301058055305337331758.294.478545053130200511305051305302520151050关于x呈指数型函数变化的变量是 .2、某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么每轮病毒发作时，这台计算机都可能感染没被感染的20台计算机。现在10台计算
11、机在第1轮病毒发作时被感染，问在第5轮病毒发作时可能有多少台计算机被感染？解：设第解：设第1轮病毒发作时有轮病毒发作时有a1台电脑被感染台电脑被感染，第第2轮，第轮，第3轮轮依次有依次有a2,a3,台电脑台电脑被感染，依题意有被感染，依题意有a5=10204=1600000答答:在第在第5轮病毒发作时会有轮病毒发作时会有160万台被感染万台被感染.实际实际问题问题读懂问题读懂问题将问题将问题抽象化抽象化数学数学模型模型解决解决问题问题基础基础过程过程关键关键目的目的几种常见函数的增长情况：几种常见函数的增长情况：常数函数常数函数一次函数一次函数指数函数指数函数没有增长没有增长直线上升直线上升指数爆炸指数爆炸