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1、11.3.1角平分线的角平分线的性质（性质（1）ADBCE人教版八年级数学人教版八年级数学(上上)不利用工具，请你将一张不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？有什么办法？AOBC活活 动动1 再再再再打打打打开开开开纸纸纸纸片片片片 ，看看看看看看看看折折折折痕与这个角有何关系？痕与这个角有何关系？痕与这个角有何关系？痕与这个角有何关系？（对折对折）1、如如图图，是是一一个个角角平平分分仪仪，其中其中AB=AD,BC=DC。将将点点A放放在在角角的的顶顶点点,AB和和AD沿沿着着角角的的两两边边放放下下,沿沿AC画画一一条条射射线线A
2、E,AE就就是是角角平平分分线线，你能说明它的道理吗你能说明它的道理吗?活活 动动2ADBCE 如如果果前前面面活活动动中中的的纸纸片片换换成成木木板板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？钢板等没法折的角，又该怎么办呢？p2、证明：在 ACD和和 ACB中中 AD=AB（已知）（已知）DC=BC（已知）（已知）CA=CA（公共边）（公共边）ACD ACB（SSS）CAD=CAB（全等三角形的（全等三角形的 对应边相等）对应边相等）AC平分平分 DAB（角平分线的定义）（角平分线的定义）ADBCE 根据角平分仪的制作原理根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角怎样作一个角的平分线？（不
3、用角平分仪或量角器）平分仪或量角器）OABCE活活 动动3NOMCENM分别以，为分别以，为圆心大于圆心大于 的长为的长为半径作弧两弧在半径作弧两弧在AOB的内部交于的内部交于如何用尺如何用尺如何用尺如何用尺规规作角的平分作角的平分作角的平分作角的平分线线？A A作法：作法：以为圆心，适当以为圆心，适当长为半径作弧，交于，长为半径作弧，交于，交于交于作射线作射线OC则射线即为所求则射线即为所求 1 1平分平角平分平角AOBAOB2 2通过上面的步骤，得到射线通过上面的步骤，得到射线OCOC以后，把以后，把它反向延长得到直线它反向延长得到直线CDCD，直线，直线CDCD与直线与直线ABAB是什么
4、关系？是什么关系？3 3结论：作平角的平分线即可平分平角，结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。线的方法。活活 动动4ABOCD探究角平分线的性质 (1)实验实验：将：将 AOB对折，再折出一个直对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？论？活活 动动5 (2)(2)猜猜想想:角角的的平平分分线线上上的的点点到到角角的的两边的距离相等两边的距离相等.证明：证明：OC平分平
5、分 AOB（已知）（已知）1=2（角平分线的定义）（角平分线的定义）PD OA，PE OB（已知）（已知）PDO=PEO（垂直的定义）（垂直的定义）在在 PDO和和 PEO中中 PDO=PEO（已证）（已证）1=2（已证）（已证）OP=OP（公共边）（公共边）PDO PEO（AAS）PD=PE（全等三角形的对应边相（全等三角形的对应边相等）等）P PA AOOB BC CE EDD12已知：如图，已知：如图，OCOC平分平分AOBAOB，点，点P P在在OCOC上，上，PDPDOAOA于点于点D D，PEOBPEOB于点于点E E求证求证:PD=PE:PD=PE探究角平分线的性质探究角平分线的
6、性质活活 动动5(3)验证验证猜想猜想角平分线上角平分线上的点到角两的点到角两边的距离相边的距离相等。等。(4)得到得到角平分线角平分线的性质：的性质：活活 动动5 利利用用此此性性质质怎怎样书写推理过程样书写推理过程?1=2,PD OA，PE OB（已知）（已知）PD=PE（全等三角（全等三角形的对应边相等）形的对应边相等）P PA AO OB BC CE ED D12用数学语言表述：OABED思考：思考：如图所示如图所示OC是是AOB 的的平分线平分线,P 是是OC上任意上任意一点一点,问问PE=PD?为什么为什么?CPPD,PE没有垂直没有垂直OA,OB,它们不它们不是角平分线上任一点这
7、个角两是角平分线上任一点这个角两边的距离边的距离,所以不一定相等直所以不一定相等直思考：思考：要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处路距离相等且离公路，铁路的交叉处米，应建在何处？（比例尺米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）公路铁路活活 如如 图图：在在 ABC中中，C=90 AD是是BAC的的平平分分线线，DEAB于于 E，F在在 AC上上，BD=DF；求证：求证：CF=EBACDEBF 分分析析:要要证证CF=EB,首首先先我我们们想想到到的的是是要要证证它它们所在的两个三角形全等们所在的两个三角形全等,即即RtCD
8、F RtEDB.现现已已有有一一个个条条件件BD=DF(斜斜边边相相等等),还还需需要我们找什么条件要我们找什么条件DC=DE(因因为为角角的的平平分分线线的的性性质质)再用再用HL证明证明.试试自己写试试自己写证明。你一证明。你一定行！定行！一、过程小结：一、过程小结：情境情境观察观察作图作图应用应用探究探究再应用再应用二、知识小结：二、知识小结：本节课学习了那些知识？本节课学习了那些知识？1 1：画一个已知角的角平分线；：画一个已知角的角平分线；(注意作图痕迹和几何语言的表达注意作图痕迹和几何语言的表达)及画一条已知直线的垂线；及画一条已知直线的垂线；2 2：角平分线的性质：角平分线的性质
9、：角的平分线上的点到角的两边的角的平分线上的点到角的两边的距离距离相等相等 3：角平分线的性质的应用：角平分线的性质的应用回味无穷w定理定理 角平分线上的点到这个角角平分线上的点到这个角的两边距离相等的两边距离相等.wOCOC是是AOBAOB的平分线的平分线,wP P是是OCOC上任意一点上任意一点PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是D,E(D,E(已知已知)PD=PE(PD=PE(角平分线上的点到这个角平分线上的点到这个角的两边距离相等角的两边距离相等).).w用尺规作角的平分线用尺规作角的平分线.小结 拓展OCB1A2PDE随堂练习随堂练习BOACDPE1.如图，如图，OC是是 AOB的平分线，的平分线，PD=PEPDOA，PEOB2.如图如图,在在ABC中，中，ACBC，AD为为BAC的平的平分线，分线，DEAB，AB7，AC3，求，求BE的长。的长。EDCBA动脑筋动脑筋3.在在RtABC中，中，BD平分平分ABC，DE AB于于E，则：，则：图中相等的线段有哪些？相等的角呢？图中相等的线段有哪些？相等的角呢？哪条线段与哪条线段与DE相等？为什么？相等？为什么？若若AB10，BC8，AC6，求求BE，AE的长和的长和AED的周长。的周长。EDCBA再再 见见