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1、- 1 -2017-20192017-2019 学年蒙城一中高三第五次月考学年蒙城一中高三第五次月考数学试题（理科）数学试题（理科）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的1. 设全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为，所以，故选 C. 点睛：集合是高考中必考的知识点，一般考查集合的表示、集合的运算比较多对于集合的表示，特别是描述法的理解，一定要注意集合中元素是什么，然后看清其满足的性质，将
2、其化简；考查集合的运算，多考查交并补运算，注意利用数轴来运算，要特别注意端点的取值是否在集合中，避免出错2. 已知复数，则复数 的共轭复数（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为 ，所以，故选 D.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分3. 已知则是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A- 2 -【解析】
3、由得，因为 是减函数，所以成立，当时，成立，因为正负不确定，不能推出，故是“”的充分不必要条件，故选 A.4. 平面向量 与 的夹角为 120，则（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 【答案】C【解析】由得，故选 C. 5. 设满足条件，则的最小值是（ ）A. 14 B. 10 C. 6 D. 4【答案】D【解析】作出可行域如下图：由可得：，平移直线，则当直线经过点时，直线的截距最小，此时 z 的最小值为 4，故选 D. 6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）- 3 -A. B. C. D. 【答案】B【解析】作出立体图形为：故该几何体的体积为：7. 已知是定义在上的偶函
4、数，且在上是增函数，设，则的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为是定义在上的偶函数，且在上是增函数，所以在上是减函数，且， 因为， ，所以 ，根据函数的增- 4 -减性知，故选 B. 点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值 的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小8. 设等比数列的前 项和为，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C则 则 则 则 故选 C9. 在
5、锐角中，角所对的边分别为，若，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由三角形面积公式知，化简得：， 因为，所以是锐角） ，根据余弦定理得：，所以 联立解得 ，故选 A. 10. 若将函数的图象向左平移个单位，所得的图象关于 轴对称，则的最小值是（ ）- 5 -A. B. C. D. 【答案】B.11. 已知分别是双曲线的左右焦点，过的直线 与双曲线的左、右两支分别交于点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A. B. 4 C. D. 【答案】A【解析】因为ABF2为等边三角形，不妨设 AB=BF2=AF2=m，A 为双曲线上一点，F1AF2A=F1AAB=F1B=2a，
6、B 为双曲线上一点，则 BF2BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，由ABF2=60，则F1BF2=120，在F1BF2中应用余弦定理得：4c2=4a2+16a222a4acos120，得 c2=7a2，则 e2=7，解得 e=故答案选：A点睛点睛：这个题目考查的是双曲线的定义的应用，圆锥曲线中求离心率的题型中，常见的方法有定义法的应用，特殊三角形的三边关系的应用，图形中位线的应用，焦半径范围的应用，点在曲线上的应用。12. 已知函数的图象在点处的切线为 ，若 也与函数，的图象相切，- 6 -则必满足（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设 与函数，的图象的切点为,则由得,所以
7、.令,则由零点存在定理得,选 D.点睛：(1)求曲线的切线要注意“过点 P 的切线”与“在点 P 处的切线”的差异，过点 P 的切线中，点 P 不一定是切点，点 P 也不一定在已知曲线上，而在点 P 处的切线，必以点 P 为切点.(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上）13. 在内随机取一个数 ，满足方程有解的概率为_【答案】
8、【解析】方程有解时，即，所以方程有解的概率，故填 . 点睛：解决此类概率问题，首先要分析试验结果是不是无限个，其次要分析每个结果是不是等可能的，符合以上两点才是几何概型问题，确定是几何概型问题后，要分析时间的度量是用长度还是面积，体积等，然后代入几何概型概率公式即可.14. 的展开式中的系数是_ （用数值作答）【答案】【解析】二项式展开式的通项为，令得。故展开式中的系数为。- 7 -答案：15. 设，若对于任意的正数，都有，则满足，则 的取值范围是_【答案】【解析】由可得：，故，当且仅当，即时等号成立，所以只需，即. 点睛：解决此类问题，需要观察条件和结论，结合二者构造新的式子，对待求式子进行
9、变形，方能形成使用均值不等式的条件，本题注意到条件为，且含有所以把条件构造为，从而解决问题.16. 已知，若关于 的方程恰好有 4 个不相等的实数解，则实数 的取值范围为_【答案】【解析】，当时， ，故当时，当时，所以函数在上递增在上递减，当时有最大值，同理可知，当时，函数为减函数， 作出 大致图象如下图： 因为恰好有 4 个不相等的实数解，则关于的一元二次方程必有一大于 的根和一大于 0 小于 的根，设， ；则原问题等价于- 8 -有两根，且 ， 故需满足，解得，故填. 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分
10、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17. 已知各项均不为零的数列的前 项和为，且对任意，满足（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，数列的前 项和为，求证：【答案】 （1）（2）见解析【解析】试题分析：由，可以得到的大小和的递推关系为，因此为等比数列，从而求得，再根据求出的通项，它是等差数列和等比数列的乘积，利用错位相减法求它的前 项和.（1）当时，.，当时，两式相减得，因， ，故，数列是首项为4，公比为 4 的等比数列，.（2） ，两式相减得：.所以.- 9 -18. 如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直且，（1）求证：平面（2）求二面角的余弦值【答案】 （1）见解析（2）【解
11、析】试题分析：（1）设与交于点 ，由，可证四边形为平行四边形，从而得到，即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求平面BDE 和平面 ABE 的法向量，利用法向量夹角公式即可计算. 试题解析：（1）设与交于点 ，四边形为平行四边形，平面，平面，平面（2）平面平面，平面平面，所以平面，又因为，以 为原点，分别为，建立如图所示的空间直角坐标系，- 10 -则，计算得余弦值为19. 某大型娱乐场有两种型号的水上摩托，管理人员为了了解水上摩托的使用及给娱乐城带来的经济收入情况，对该场所最近 6 年水上摩托的使用情况进行了统计，得到相关数据如表：（1）请根据以上数据，用最小二乘法求水上摩托使用率 关于年份代
12、码 的线性回归方程，并预测该娱乐场 2019 年水上摩托的使用率；（2）随着生活水平的提高，外出旅游的老百姓越来越多，该娱乐场根据自身的发展需要，准备重新购进一批水上摩托，其型号主要是目前使用的型、型两种，每辆价格分别为 1万元、1.2 万元.根据以往经验，每辆水上摩托的使用年限不超过四年.娱乐场管理部对已经淘汰的两款水上摩托的使用情况分别抽取了 50 辆进行统计，使用年限如条形图所示：已知每辆水上摩托从购入到淘汰平均年收益是 0.8 万元，若用频率作为概率，以每辆水上摩托纯利润（纯利润=收益购车成本）的期望值为参考值，则该娱乐场的负责人应该选购型水上摩托还是型水上摩托？- 11 -附：回归直
13、线方程为，其中，.参考数据，【答案】 （1）25%（2）应该选购型水上摩托.【解析】试题分析：（1）根据所给数据求出回归方程，利用回归方程预测，即 2019 年水上摩托的使用率；（2） ）分别由频率估计概率，结合直方图可知水上摩托每辆可使用 1 年、2 年、3 年和 4 年的概率，计算型和型摩托纯利润的期望，比较大小即可得出结论.试题解析：（1）由表格数据可得，水上摩托使用率 关于年份代码 的线性回归方程为.当时，故预测该娱乐场 2019 年水上摩托的使用率为 25%.（2）由频率估计概率，结合条形图知型水上摩托每辆可使用 1 年、2 年、3 年和 4 年的概率分别为 0.2，0.3，0.3，
14、0.2，每辆型水上摩托可产生的纯利润期望值（万元）.由频率估计概率，结合条形图知型水上摩托每辆可使用 1 年、2 年、3 年和 4 年的概率分别为 0.1，0.2，0.4 和 0.3，每辆型水上摩托可产生的纯利润期望值（万元）- 12 -.应该选购型水上摩托.20. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆 经过点.（1）求椭圆 的方程；（2）设不与坐标轴平行的直线 交椭圆 于两点，记直线 在 轴上的截距为 ，求 的最大值.【答案】 （1）（2）.【解析】试题分析：(1)结合题意可求得，则椭圆的方程为.(2)联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理讨论可得直线 在 轴上的截距的最大值为.试题解析：（1
15、）因为，所以椭圆的方程为，把点 的坐标代入椭圆的方程，得，所以，椭圆的方程为.（2）设直线 的方程为，联立方程组 得，由，得，所以，- 13 -所以 由，得，令，所以，即，当且仅当，即时，上式取等号，此时，满足，所以 的最大值为.21. 已知函数，.（1）若在时取到极值，求 的值及的图象在处的切线方程；（2）若在时恒成立，求 的取值范围.【答案】 （1）（2）.【解析】试题分析：（1）对求导，由在时取到极值，可求得 的值，再根据导数的几何意义，即可求出切线方程；（2）由定义域可得，再对 进行分类讨论，分别求出不同情况时的单调性及最小值，即可求出 的取值范围.试题解析：(1),在时取到极值,解得
16、故在处的切线方程为:(2)由定义域知:对于恒成立,可得当时,在上,恒成立,所以此时在递减注意到,故此时不恒成立当时,在区间上,恒成立,所以此时在递增- 14 -,故此时恒成立当时,的单调减区间为,单调增区间为在处取得最小值,只需恒成立设设,在递减,又所以即,解得综上可知,若恒成立,只需 的取值范围是.点睛：本题主要考查了函数性质的综合应用问题，其中解答中涉及到利用到时研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值，以及不等关系的证明，同时着重考查了分类讨论思想的应用，合理构造新函数，正确利用导数研究函数的性质是解答的关键请考生在请考生在 2222、2323 两题中任选一题作答，如果多做，则按所
17、做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（ 为参数） ，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程；（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;（2）设 为曲线上的动点，求点 到曲线上的距离的最小值.【答案】 （1），（2）.【解析】试题分析：（1）消参数即可得普通方程，利用极坐标化为直角坐标公式化为普- 15 -通方程；（2）根据点到直线距离公式及三角函数有界性可求出最小值.试题解析：（1）由曲线（ 为参数） ，曲线的普通方程为：，由曲线，展开可得：，化为：.（2）椭圆上的点到直线 的距离为其中，所以当时， 的最小值为.23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数.（）当时，求函数的定义域；（）若关于 的不等式的解集是 ，求 的取值范围.【答案】 （1）或（2）.【解析】试题分析：（1）函数去绝对值号化为分段函数即可求解；（2）分离参数得：在 上恒成立，利用绝对值性质即可得到 m 范围内.试题解析：（1）由题意，令解得或，函数的定义域为或（2），即.- 16 -由题意，不等式的解集是 ，则在 上恒成立.而，故.点睛：恒成立问题是常见数学问题，一般可考虑分离参数处理，分离参数后问题转化为求最值，可考虑均值不等式、函数最值，绝对值的性质、三角函数等方法来处理.