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1、2022年广东省广州市中考数学试卷&试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3分）（2022广州）如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是（）A圆锥B圆柱C棱锥D棱柱2（3分）（2022广州）下列图形中，是中心对称图形的是（）ABCD3（3分）（2022广州）代数式1x+1有意义时，x应满足的条件为（）Ax1Bx1Cx1Dx14（3分）（2022广州）点（3，5）在正比例函数ykx（k0）的图象上，则k的值为（）A15B15C35D535（3分）（2022广州）下列运算正确的是（）A38=2Ba+1a1a=a（a
2、0）C5+5=10Da2a3a56（3分）（2022广州）如图，抛物线yax2+bx+c（a0）的对称轴为x2，下列结论正确的是（）Aa0Bc0C当x2时，y随x的增大而减小D当x2时，y随x的增大而减小7（3分）（2022广州）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则（）AabBabC|a|b|D|a|b|8（3分）（2022广州）为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁4名志愿者中随机抽取2名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是（）A12B14C34D5129（3分）（2022广州）如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上，且CE1，ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是B
3、E，BF的中点，则MN的长为（）A62B32C23D62210（3分）（2022广州）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2022根小木棒，则n的值为（）A252B253C336D337二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。）11（3分）（2022广州）在甲、乙两位射击运动员的10次考核成绩中，两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为S甲21.45，S乙20.85，则考核成绩更为稳定的运动员是 （填“甲”、“乙”中的一个）12（3分）（2022广州）分解因式：3
4、a221ab 13（3分）（2022广州）如图，在ABCD中，AD10，对角线AC与BD相交于点O，AC+BD22，则BOC的周长为 14（3分）（2022广州）分式方程32x=2x+1的解是 15（3分）（2022广州）如图，在ABC中，ABAC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧DE的长是 （结果保留）16（3分）（2022广州）如图，在矩形ABCD中，BC2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60得到线段BP，连接PP，CP当点P落在边BC上时，PPC的度数为 ；当线段CP的长度最小时，PPC的度数为 三、解
5、答题（本大题共9小题，满分72分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（4分）（2022广州）解不等式：3x2418（4分）（2022广州）如图，点D，E在ABC的边BC上，BC，BDCE，求证：ABDACE19（6分）（2022广州）某校在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图频数分布表运动时间t/min频数频率30t6040.160t9070.17590t120a0.35120t15090.225150t1806b合计n1请根据图表中的信息解答下列问题：（1）频数分布表中的a ，b ，n ；（2）请
6、补全频数分布直方图；（3）若该校九年级共有480名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于120min的学生人数20（6分）（2022广州）某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示（1）求储存室的容积V的值；（2）受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16d25，求储存室的底面积S的取值范围21（8分）（2022广州）已知T（a+3b）2+（2a+3b）（2a3b）+a2（1）化简T；（2）若关于x的方程x2+2axab+10有两个相等的实数根，求T的值2
7、2（10分）（2022广州）如图，AB是O的直径，点C在O上，且AC8，BC6（1）尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧AC于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sinACD的值23（10分）（2022广州）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度如图，在某一时刻，旗杆AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE，CD1.6m，BC5CD（1）求BC的长；（2）从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆AB的高度条件：CE1.0m；条件：从D处看旗杆顶部A的仰角为54.46注：如果选择条件和条
8、件分别作答，按第一个解答计分参考数据：sin54.460.81，cos54.460.58，tan54.461.4024（12分）（2022广州）已知直线l：ykx+b经过点（0，7）和点（1，6）（1）求直线l的解析式；（2）若点P（m，n）在直线l上，以P为顶点的抛物线G过点（0，3），且开口向下求m的取值范围；设抛物线G与直线l的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单位长度后得到的点Q也在G上时，求G在4m5x4m5+1的图象的最高点的坐标25（12分）（2022广州）如图，在菱形ABCD中，BAD120，AB6，连接BD（1）求BD的长；（2）点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），点
9、F在边AD上，且BE=3DF当CEAB时，求四边形ABEF的面积；当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+3CF的值是否也最小？如果是，求CE+3CF的最小值；如果不是，请说明理由2022年广东省广州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3分）（2022广州）如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是（）A圆锥B圆柱C棱锥D棱柱【分析】根据基本几何体的展开图判断即可【解答】解：圆锥的侧面展开图是扇形，判断这个几何体是圆锥，故选：A【点评】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握基本几何体的展
10、开图是解题的关键2（3分）（2022广州）下列图形中，是中心对称图形的是（）ABCD【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可【解答】解：A不是中心对称图形，故此选项不合题意；B不是中心对称图形，故此选项不合题意；C是中心对称图形，故此选项符合题意；D不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：C【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合3（3分）（2022广州）代数式1x+1有意义时，x应满足的条件为（）Ax1Bx1Cx1Dx1【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案【解答】解：代数式1x+1有意义时，x+10，解得
11、：x1故选：B【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键4（3分）（2022广州）点（3，5）在正比例函数ykx（k0）的图象上，则k的值为（）A15B15C35D53【分析】直接把已知点代入，进而求出k的值【解答】解：点（3，5）在正比例函数ykx（k0）的图象上，53k，解得：k=53，故选：D【点评】此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，正确得出k的值是解题关键5（3分）（2022广州）下列运算正确的是（）A38=2Ba+1a1a=a（a0）C5+5=10Da2a3a5【分析】直接利用立方根的性质以及分式的加减运算法则、二次根式的加减
12、运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别判断得出答案【解答】解：A38=2，故此选项不合题意；Ba+1a1a=1，故此选项不合题意；C5+5=25，故此选项不合题意；Da2a3a5，故此选项符合题意；故选：D【点评】此题主要考查了立方根的性质以及分式的加减运算、二次根式的加减运算、同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键6（3分）（2022广州）如图，抛物线yax2+bx+c（a0）的对称轴为x2，下列结论正确的是（）Aa0Bc0C当x2时，y随x的增大而减小D当x2时，y随x的增大而减小【分析】根据图象得出a，c的符号即可判断A、B，利用二次函数的性质即可判断C、D【解答】解：图象开口
13、向上，a0，故A不正确；图象与y轴交于负半轴，c0，故B不正确；抛物线开口向上，对称轴为直线x2，当x2时，y随x的增大而减小，x2时，y随x的增大而增大，故C正确，D不正确；故选：C【点评】此题主要考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键7（3分）（2022广州）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则（）AabBabC|a|b|D|a|b|【分析】根据a，b两数的正负以及绝对值大小即可进行判断【解答】解：Aa0，b0，ab，故不符合题意；Ba0，b0，ab，故不符合题意；C由数轴可知|a|b|，故符合题意；D由C可知不符合题意故选：C【点评】本题主要考查数轴上点的特征以及有理
14、数的大小比较及运算法则，解题的关键在于正确判断a，b的正负，以及绝对值的大小8（3分）（2022广州）为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁4名志愿者中随机抽取2名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是（）A12B14C34D512【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中甲被抽中的结果有6种，再由概率公式求解即可【解答】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中甲被抽中的结果有6种，甲被抽中的概率为612=12，故选：A【点评】本题考查的用树状图法求概率树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比9
15、（3分）（2022广州）如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上，且CE1，ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（）A62B32C23D622【分析】连接EF，由正方形ABCD的面积为3，CE1，可得DE=31，tanEBC=CEBC=13=33，即得EBC30，又AF平分ABE，可得ABF=12ABE30，故AF=AB3=1，DFADAF=31，可知EF=2DE=2（31）=62，而M，N分别是BE，BF的中点，即得MN=12EF=622【解答】解：连接EF，如图：正方形ABCD的面积为3，ABBCCDAD=3，CE1，DE=31，tanEBC=CE
16、BC=13=33，EBC30，ABEABCEBC60，AF平分ABE，ABF=12ABE30，在RtABF中，AF=AB3=1，DFADAF=31，DEDF，DEF是等腰直角三角形，EF=2DE=2（31）=62，M，N分别是BE，BF的中点，MN是BEF的中位线，MN=12EF=622故选：D【点评】本题考查正方形性质及应用，涉及含30角的直角三角形三边关系，等腰直角三角形三边关系，解题的关键是根据已知求得EBC3010（3分）（2022广州）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒若按照这样的方法拼成的第n个
17、图形需要2022根小木棒，则n的值为（）A252B253C336D337【分析】根据图形特征，第1个图形需要6根小木棒，第2个图形需要62+214根小木棒，第3个图形需要63+2222根小木棒，按此规律，得出第n个图形需要的小木棒根数即可【解答】解：由题意知，第1个图形需要6根小木棒，第2个图形需要62+214根小木棒，第3个图形需要63+2222根小木棒，按此规律，第n个图形需要6n+2（n1）（8n2）个小木棒，当8n22022时，解得n253，故选：B【点评】本题主要考查了图形的变化规律，解决问题的关键是由特殊找到规律：第n个图形需要（8n2）个小木棒是解题的关键二、填空题（本大题共6小
18、题，每小题3分，满分18分。）11（3分）（2022广州）在甲、乙两位射击运动员的10次考核成绩中，两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为S甲21.45，S乙20.85，则考核成绩更为稳定的运动员是 乙（填“甲”、“乙”中的一个）【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的即可【解答】解：两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为S甲21.45，S乙20.85，S甲2S乙2，考核成绩更为稳定的运动员是乙；故答案为：乙【点评】此题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题的关键12（3分）（2022广州）分解因式：3a221ab3a（a7b）【分析】直接提取公因式3a，进而分解因式得
19、出答案【解答】解：3a221ab3a（a7b）故答案为：3a（a7b）【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键13（3分）（2022广州）如图，在ABCD中，AD10，对角线AC与BD相交于点O，AC+BD22，则BOC的周长为 21【分析】根据平行四边形对角线互相平分，求出OC+OB的长，即可解决问题【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，AOOC=12AC，BOOD=12BD，ADBC10，AC+BD22，OC+BO11，BOC的周长OC+OB+BC11+1021故答案为：21【点评】本题考查平行四边形的性质以及三角形周长等知识，解题的关键是记住平行四边形的对角
20、线互相平分，属于中考基础题14（3分）（2022广州）分式方程32x=2x+1的解是 x3【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答【解答】解：32x=2x+1，3（x+1）4x，解得：x3，检验：当x3时，2x（x+1）0，x3是原方程的根，故答案为：x3【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验15（3分）（2022广州）如图，在ABC中，ABAC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧DE的长是 2（结果保留）【分析】连接OD，OE，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得ACOE，再根据切线的性质和平角的定义
21、可得DOE90，然后利用弧长公式进行计算即可解答【解答】解：连接OD，OE，OCOE，OCEOEC，ABAC，ABCACB，A+ABC+ACBCOE+OCE+OEC，ACOE，圆O与边AB相切于点D，ADO90，A+AOD90，COE+AOD90，DOE180（COE+AOD）90，劣弧DE的长是904180=2故答案为：2【点评】本题考查了切线的性质，弧长的计算，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键16（3分）（2022广州）如图，在矩形ABCD中，BC2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60得到线段BP，连接PP，CP当点P落在边BC上时，PPC的度数为
22、120；当线段CP的长度最小时，PPC的度数为 75【分析】如图，以AB为边向右作等边ABE，连接EP利用全等三角形的性质证明BEP90，推出点P在射线EP上运动，如图1中，设EP交BC于点O，再证明BEO是等腰直角三角形，可得结论【解答】解：如图，以AB为边向右作等边ABE，连接EPBPP是等边三角形，ABEPBP60，BPBP，BABE，ABPEBP，在ABP和EBP中，BA=BEABP=EBPBP=BP，ABPEBP（SAS），BAPBEP90，点P在射线EP上运动，如图1中，设EP交BC于点O，当点P落在BC上时，点P与O重合，此时PPC18060120，当CPEP时，CP的长最小，此
23、时EBOOCP30，EO=12OB，OP=12OC，EPEO+OP=12OB+12OC=12BC，BC2AB，EPABEB，EBPEPB45，BPC45+90135，PPCBPCBPP1356075故答案为：120，75【点评】本题考查旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题三、解答题（本大题共9小题，满分72分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（4分）（2022广州）解不等式：3x24【分析】移项，合并同类项，系数化为1即可求解【解答】解：移项
24、得：3x4+2，合并同类项得：3x6，系数化为1得：x2【点评】本题考查一元一次不等式的解法，解题关键是熟知不等式的性质以及解一元一次不等式的基本步骤18（4分）（2022广州）如图，点D，E在ABC的边BC上，BC，BDCE，求证：ABDACE【分析】根据等角对等边可得ABAC，然后利用SAS证明ABDACE，即可解答【解答】证明：BC，ABAC，在ABD和ACE中，AB=ACB=CBD=CE，ABDACE（SAS）【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定，以及等腰三角形的判定与性质是解题的关键19（6分）（2022广州）某校在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每
25、天体育运动时间”的调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图频数分布表运动时间t/min频数频率30t6040.160t9070.17590t120a0.35120t15090.225150t1806b合计n1请根据图表中的信息解答下列问题：（1）频数分布表中的a14，b0.15，n40；（2）请补全频数分布直方图；（3）若该校九年级共有480名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于120min的学生人数【分析】（1）根据“频率频数总数”可得n的值，进而得出a、b的值；（2）根据a的值即可补全频数分布直方图；（3）利用样本估计总体解答即可【解答】解：（1）由题
26、意可知，n40.140，a400.3514，b6400.15，故答案为：14；0.15；40；（2）补全频数分布直方图如下：（3）4809+640=180（人），答：估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于120min的学生人数为180人【点评】本题考查频数分布表、频数分布直方图的意义和制作方法，从统计图表中获取数量和数量关系是正确计算的前提，样本估计总体是统计中常用的方法20（6分）（2022广州）某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示（1）求储存室的容积V的
27、值；（2）受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16d25，求储存室的底面积S的取值范围【分析】（1）设底面积S与深度d的反比例函数解析式为S=Vd，把点（20，500）代入解析式求出V的值；（2）由d的范围和图像的性质求出S的范围【解答】解：（1）设底面积S与深度d的反比例函数解析式为S=Vd，把点（20，500）代入解析式得500=V20，V100002）由（1）得S=10000d，S随d的增大而减小，当16d25时，400S625，【点评】此题主要考查反比例函数的性质和概念，解答此题的关键是找出变量之间的函数关系，难易程度适中21（8分）（2022广州）已知T（a+3b）2+（2a+3b
28、）（2a3b）+a2（1）化简T；（2）若关于x的方程x2+2axab+10有两个相等的实数根，求T的值【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式化简T；（2）根据根的判别式可求a2+ab，再代入计算可求T的值【解答】解：（1）T（a+3b）2+（2a+3b）（2a3b）+a2a2+6ab+9b2+4a29b2+a26a2+6ab；（2）关于x的方程x2+2axab+10有两个相等的实数根，（2a）24（ab+1）0，a2+ab1，T616【点评】本题考查了整式的混合运算，根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的实数根；当0时，方
29、程有两个相等的实数根；当0时，方程无实数根22（10分）（2022广州）如图，AB是O的直径，点C在O上，且AC8，BC6（1）尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧AC于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sinACD的值【分析】（1）利用尺规作图，作线段AC的垂直平分线即可；（2）根据垂径定理、勾股定理可求出直径AB10，AEEC3，由三角形中位线定理可求出OE，即点O到AC的距离，在直角三角形CDE中，求出DE，由勾股定理求出CD，再根据锐角三角函数的定义可求出答案【解答】解：（1）分别以A、C为圆心，大于12AC为半径画弧，在AC的两
30、侧分别相交于P、Q两点，画直线PQ交劣弧AC于点D，交AC于点E，即作线段AC的垂直平分线，由垂径定理可知，直线PQ一定过点O；（2）AB是O的直径，ACB90，在RtABC中，且AC8，BC6AB=AC2+BC2=10，ODAC，AECE=12AC4，又OAOB，OE是ABC的中位线，OE=12BC3，由于PQ过圆心O，且PQAC，即点O到AC的距离为3，连接OC，在RtCDE中，DEODCE532，CE4，CD=DE2+EC2=22+42=25sinACD=DECD=225=55【点评】本题考查尺规作图，直角三角形的边角关系以及三角形中位线定理，掌握直角三角形的边角关系以及三角形的中位线定
31、理是解决问题的前提23（10分）（2022广州）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度如图，在某一时刻，旗杆AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE，CD1.6m，BC5CD（1）求BC的长；（2）从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆AB的高度条件：CE1.0m；条件：从D处看旗杆顶部A的仰角为54.46注：如果选择条件和条件分别作答，按第一个解答计分参考数据：sin54.460.81，cos54.460.58，tan54.461.40【分析】（1）根据已知BC5CD，进行计算即可解答；（2）若选择条件，根据同一时刻的物高与影长是成比
32、例的，进行计算即可解答；若选择条件，过点D作DFAB，垂足为F，根据题意可得DCBF1.6m，DFBC8m，然后在RtADF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，进行计算即可解答【解答】解：（1）BC5CD，CD1.6m，BC51.68（m），BC的长为8m；（2）若选择条件：由题意得：ABBC=DCCE，AB8=1.61，AB12.8，旗杆AB的高度为12.8m；若选择条件：过点D作DFAB，垂足为F，则DCBF1.6m，DFBC8m，在RtADF中，ADF54.46，AFDFtan54.4681.411.2（m），ABAF+BF11.2+1.612.8（m），旗杆AB的高度约为12.8m
33、【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键24（12分）（2022广州）已知直线l：ykx+b经过点（0，7）和点（1，6）（1）求直线l的解析式；（2）若点P（m，n）在直线l上，以P为顶点的抛物线G过点（0，3），且开口向下求m的取值范围；设抛物线G与直线l的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单位长度后得到的点Q也在G上时，求G在4m5x4m5+1的图象的最高点的坐标【分析】（1）用待定系数法求解析式即可；（2）设抛物线的解析式为ya（xm）2+7m，将点（0，3）代入可得am2+7m3，再由a=m10m20，求m的取值即可；
34、由题意求出Q点的横坐标为m+12，联立方程组y=x+7y=a(xm)2+7m，整理得ax2+（12ma）x+am2m0，根据根与系数的关系可得m+m+12=2m1a，可求a2，从而可求m2或m=52，确定抛物线的解析式后即可求解【解答】解：（1）将点（0，7）和点（1，6）代入ykx+b，b=7k+b=6，解得k=1b=7，yx+7；（2）点P（m，n）在直线l上，nm+7，设抛物线的解析式为ya（xm）2+7m，抛物线经过点（0，3），am2+7m3，a=m10m2，抛物线开口向下，a0，a=m10m20，m10且m0；抛物线的对称轴为直线xm，Q点与Q关于xm对称，Q点的横坐标为m+12，
35、联立方程组y=x+7y=a(xm)2+7m，整理得ax2+（12ma）x+am2m0，P点和Q点是直线l与抛物线G的交点，m+m+12=2m1a，a2，y2（xm）2+7m，2m2+7m3，解得m2或m=52，当m2时，y2（x2）2+5，此时抛物线的对称轴为直线x2，图象在85x135上的最高点坐标为（2，5）；当m=52时，y2（x+52）2+192，此时抛物线的对称轴为直线x=52，图象在2x1上的最高点坐标为（2，9）；综上所述：G在4m5x4m5+1的图象的最高点的坐标为（2，9）或（2，5）【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，会用待定系数法求函数的解
36、析式，分类讨论是解题的关键25（12分）（2022广州）如图，在菱形ABCD中，BAD120，AB6，连接BD（1）求BD的长；（2）点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），点F在边AD上，且BE=3DF当CEAB时，求四边形ABEF的面积；当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+3CF的值是否也最小？如果是，求CE+3CF的最小值；如果不是，请说明理由【分析】（1）过点D作DHAB交BA的延长线于H，根据菱形120内角得邻补角是60，利用三角函数即可解答；（2）设CEAB交AB于M点，过点F作FNAB交BA的延长线于N，因为利用即可求解S四边形ABEFSBEM+S梯形EMNFSAFN，
37、所以先解直角三角形求出上面求各部分面积需要的边长即可解答；设DFx，则BE=3DF=3x，过点C作CHAB于点H，过点F作FGCH于点G，过点E作EYCH于点Y，作EMAB于M点，过点F作FNAB交BA的延长线于N，所以四边形EMHY、FNHG是矩形，对边相等，方法同，用含x的式子表示计算面积需要的各边长并代入到S四边形ABEFSBEM+S梯形EMNFSAFN中，根号里面化简、合并、配成二次函数的顶点式即可求出最值，从而解答在计算CE+3CF的最小值时，有两种方法，参照解答过程【解答】解：（1）过点D作DHAB交BA的延长线于H，如图：四边形ABCD是菱形，ADAB6，BAD120，DAH60
38、，在RtADH中，DHADsinDAH632=33，AHADcosDAH612=3，BD=DH2+BH2=(33)2+(6+3)2=63；（2）设CEAB交AB于M点，过点F作FNAB交BA的延长线于N，如图：菱形ABCD中，ABBCCDAD6，ADBC，BAD120，ABC+BAD180，ABC180BAD60，在RtBCM中，BMBCcosABC612=3，BD是菱形ABCD的对角线，DBA=12ABC30，在RtBEM中，MEBMtanDBM333=3，BE=BMcosDBM=332=23，BE=3DF，DF2，AFADDF4，在RtAFN中，FAN180BAD60，FNAFsinFAN
39、432=23，ANAFcosFAN412=2，MNAB+ANBM6+235，S四边形ABEFSBEM+S梯形EMNFSAFN=12EMBM+12（EM+FN）MN12ANFN=1233+12（3+23）512223 =323+152323 73；当四边形ABEF的面积取最小值时，CE+3CF的值是最小，理由：设DFx，则BE=3DF=3x，过点C作CHAB于点H，过点F作FGCH于点G，过点E作EYCH于点Y，作EMAB于M点，过点F作FNAB交BA的延长线于N，如图：EYFGAB，FNCH，四边形EMHY、FNHG是矩形，FNGH，FGNH，EYMH，EMYH，由可知：ME=12BE=32x
40、，BM=32BE=32x，AN=12AF=12（ADDF）312x，FN=32AF=633x2，CH=32BC33，BH=12BC3，AMABBM632x，AHABBH3，YHME=32x，GHFN=633x2，EYMHBMBH=32x3，CYCHYH3332x，FGNHAN+AH6x2，CGCHGH33633x2=32x，MNAB+ANBM6+312x32x92x，S四边形ABEFSBEM+S梯形EMNFSAFN=12EMBM+12（EM+FN）MN12ANFN=1232x32x+12（32x+633x2）（92x）12（312x）633x2=34x2332x+93=34（x3）2+2734，340，当x3时，四边形ABEF的面积取得最小值，方法一：CE+3CF=CY2+EY2+3FG2+CG2=(3332x)2+(32x3)2+3(612x)2+(32x)2 =279x+34x2+94x29x+9+3366x+14x2+34x2 =3x218x+36+3366x+x2 =3(x3)2+9+3(x3)2+81，（x3）20，当且仅当x3时，（x3）20，CE+3CF=3(x3)2+9+3(x3)2+8112，当且仅当x3时，CE+3CF12，即当x3时，CE+3CF的最小值为12，当四边形ABEF的面积