《二次曲线的类型.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二次曲线的类型.ppt（19页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2 二次曲线的类型二次曲线的类型 记空间中二次曲面的一般方程为记空间中二次曲面的一般方程为 (2.1)其中其中 不全为不全为0.记记F(x,y,z)的二次部分为的二次部分为 (2.2)利用利用矩阵的乘法可以把矩阵的乘法可以把F(x,y,z)，(x,y,z)写成写成下列形式下列形式:记记 ,.分别称为二次曲面分别称为二次曲面F(x,y,z)=0和和(x,y,z)的矩阵，的矩阵，它们是实对称的。它们是实对称的。记记 则则 A 可以分块可以分块 写成写成:二次曲面的方程二次曲面的方程(2.1)可表示成可表示成:(x,y,z)可以表示为可以表示为:记记:则有则有:由代数知识知道由代数知识知道(参见附录
2、参见附录)，实对称矩阵可用正交，实对称矩阵可用正交 矩阵对角化。即对实对称矩阵矩阵对角化。即对实对称矩阵 ，存在正交矩阵存在正交矩阵T，使使 为对角矩阵，且对角线上的元素为为对角矩阵，且对角线上的元素为 的特征值的特征值 即方程即方程:的根的根,它们全为实数它们全为实数.因此因此:对二次曲面的方程对二次曲面的方程(2.3)，我们作如下的右手直角，我们作如下的右手直角坐坐标变换，保持原点不动，从旧坐标系标变换，保持原点不动，从旧坐标系 到新坐标系到新坐标系 的过渡矩阵为的过渡矩阵为T,即即:将将(2.5)代入二次曲面的方程代入二次曲面的方程(2.3)中得中得:记记 .因此经过直角坐标变换因此经过
3、直角坐标变换(2.4)，曲面曲面方程变为方程变为:(2.6)由以上知道，我们总能找到适当的右手直角坐标由以上知道，我们总能找到适当的右手直角坐标 系使二次曲面的方程具有系使二次曲面的方程具有(2.6)的形式。因的形式。因而不妨设二而不妨设二 次曲面的方程就是次曲面的方程就是(2.6)的形式，并将方程中的符号的形式，并将方程中的符号 “”去掉。去掉。二次曲面分类二次曲面分类：在在(2.6)的基础之上，通过配方，再作移轴，就可的基础之上，通过配方，再作移轴，就可 将方程将方程(2.6)进一步化简，并了进一步化简，并了解其所对应的曲面。解其所对应的曲面。情形情形1 都不为都不为0.作移轴作移轴:则有
4、则有:令常数项为令常数项为 ,得得:(2.7)(1)1 同号同号,则同于形式则同于形式 虚椭球面虚椭球面 2 异号异号,则同于形式则同于形式:单叶双曲面单叶双曲面 (2)3 同号同号,则同于形式则同于形式:椭球面椭球面 4 异号异号,则同于形式则同于形式:双叶双曲面双叶双曲面 (3)5 同号同号,则同于形式则同于形式:一点一点 6 异号异号,则同于形式则同于形式:二次锥面二次锥面 情形情形2 中只有一个为中只有一个为0.不妨设不妨设 ,作移轴作移轴:则有则有 (2.8)(1),再作移轴再作移轴:那么那么(2.8)化简为化简为:(2.9)7 则同于形式则同于形式:椭圆抛物面椭圆抛物面 8 则同于
5、形式则同于形式:双曲抛物面双曲抛物面 (2)则则(2.8)变为变为:(2.10)9 同号但与同号但与 异号异号,则同于形式则同于形式:椭圆柱面椭圆柱面 10 同号同号,则同于形式则同于形式:虚椭圆柱面虚椭圆柱面 11 则同于形式则同于形式:双曲柱面双曲柱面 (3)12 则同于形式则同于形式:一对相交于一条一对相交于一条 实直线的虚平面实直线的虚平面 13 则同于形式则同于形式:一对相交平面一对相交平面 情形情形3 中有两个为中有两个为0.不妨设不妨设 作移轴作移轴:则有则有 (2.11)(1)中至少有一个不为中至少有一个不为0,作变换作变换:通过此变换通过此变换,(2.11)可化简成形式可化简
6、成形式:14 抛物柱面抛物柱面 （2）15 与与 异号异号,则同于形式则同于形式:一对平行平面一对平行平面 16 与与 同号同号,则同于形式则同于形式:一对虚的平行平面一对虚的平行平面 17 ,则同于形式则同于形式:一对重合平面一对重合平面 综合以上结论综合以上结论,我们有我们有 定理定理2.1 选取适当的坐标系，二次曲面方程总选取适当的坐标系，二次曲面方程总 可以化简为以下五个简化方可以化简为以下五个简化方程中的一个程中的一个 (1)(2)(3)(4)(5)二次曲面总共有二次曲面总共有17种曲面种曲面.类似于空间二次曲面的讨论，读者自行研究平类似于空间二次曲面的讨论，读者自行研究平 面上的二
7、次曲线方程有如下结论。面上的二次曲线方程有如下结论。记平面上的二次曲记平面上的二次曲 线方程为线方程为:记记 经过类似于二次曲面方程的化简过程可以得到经过类似于二次曲面方程的化简过程可以得到:定理定理 平面上的二次曲线方程可化简为以平面上的二次曲线方程可化简为以 下三个简化方程之一：下三个简化方程之一：(1)(2)(3)二次曲线共分为二次曲线共分为9种，它们的方程形式如下：种，它们的方程形式如下：(1)椭圆椭圆:(2)虚椭圆虚椭圆:(3)交于一实点的二虚直线交于一实点的二虚直线:(4)双曲线双曲线:(5)两条相交直线两条相交直线:(6)抛物线抛物线:(7)一对平行直线一对平行直线:(8)一对虚平行直线一对虚平行直线:(9)一对重合直线一对重合直线: