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1、 4.1 二次曲线的射影定义四、二阶曲线的切线四、二阶曲线的切线注：Sp=0常用的等价写法(3)式与解析几何中的切线方程一致三、二次曲线的射影定义三、二次曲线的射影定义二、二次曲线的几何结构二、二次曲线的几何结构一、二次曲线的代数定义一、二次曲线的代数定义 4.1 二次曲线的射影定义五、二级曲线的切点五、二级曲线的切点设 1.定义定义.一般地,过平面上一点有的两条直线.若过平面上某点P有且仅有的一条直线,则称P为的一个切点切点.4.1 二次曲线的射影定义五、二级曲线的切点五、二级曲线的切点设 1.定义定义.一般地,过平面上一点有的两条直线.若过平面上某点P有且仅有的一条直线,则称P为的一个切点
2、切点.2.切点方程切点方程观点观点：用两条相交直线描述点.方法方法：取一直线lli,以动直线mmi与之相交,有交点lm.目标目标：若P=lm为切点,求其方程.过程过程：与二阶曲线的切线完全对偶,可以求出切点方程.结论结论：一般一般(在l上的切点)：特殊特殊(l属于)：也有各种常用的等价写法,请自行补出.4.1 二次曲线的射影定义五、二级曲线的切点五、二级曲线的切点 例2 (P.110,Ex.6)如果两个三点形ABC与ABC同时内接于一条二次曲线,求证它们也同时外切于一条二次曲线.证.设交点D,E;D,E如图.因为A,B,C,A,B,C在同一条二次曲线上,据二阶曲线的射影定义,有又 由二级曲线的
3、射影定义,这两个射影点列的对应点连线以及点列的底共六条直线属于同一条二级曲线,这六条直线恰好是已知两个三点形的六条边.结论成立.注：本题的逆命题成立.(见P.110,Ex.5)4.1 二次曲线的射影定义五、二级曲线的切点五、二级曲线的切点 例2 (P.110,Ex.6)如果两个三点形ABC与ABC同时内接于一条二次曲线,求证它们也同时外切于一条二次曲线.注：假设P.110,Ex.5已经证明.则有：两个三点形ABC与ABC同时内接于一条二次曲线它们也同时外切于一条二次曲线.注：(P.110,Ex.7)若已知两条二次曲线与以及内接于并外切于 的一个三点形.试讨论是否存在其他三点形也满足此条件?若存
4、在,有多少?答：存在,有无穷多.(依据：P.110,Ex.5,6;推论4.1,4.1.)4.1 二次曲线的射影定义六、二阶曲线与二级曲线的统一六、二阶曲线与二级曲线的统一 定理4.3(Maclaurin)一条非非退化退化二阶曲线的全体切线构成一条非退化二级曲线.定理4.3(Maclaurin)一条非非退化退化二级曲线的全体切点构成一条非退化二阶曲线.证明：设则u=u1,u2,u3为上P(pi)处的切线u与Sp=0为同一直线展开,得 4.1 二次曲线的射影定义六、二阶曲线与二级曲线的统一六、二阶曲线与二级曲线的统一 定理4.3(Maclaurin)一条非非退化退化二阶曲线的全体切线构成一条非退化
5、二级曲线.定理4.3(Maclaurin)一条非非退化退化二级曲线的全体切点构成一条非退化二阶曲线.证明：对偶地,可证明定理4.3.注：本定理提供了二次曲线的点坐标、线坐标方程互化方法.利用(4.13),可将非退化二次曲线的点坐标方程写为线坐标方程;利用(4.13)的对偶,可将非退化二次曲线的线坐标方程写为点坐标方程;推论4.4 若bij=Aij(0),则S=0与T=0表示同一条二次曲线.4.1 二次曲线的射影定义六、二阶曲线与二级曲线的统一六、二阶曲线与二级曲线的统一 例3 求证：x1x3x22=0与4u1u3u22=0表示同一条二次曲线.证明.第一步.验证已知两条二次曲线为非退化.第二步.
6、将aij,u1,u2,u3代入(4.13)式,展开即得4u1u3u22=0.4.1 二次曲线的射影定义七、二阶曲线束七、二阶曲线束 定理4.4 平面上两条相异的二阶曲线一般有四个交点.证明.设1：f aijxixj=0,2：gbijxixj=0,则联立即为1与2的交点,显然,在复数范围内一般有四个解.定义4.5 设f=0,g=0为平面上两条相异的二阶曲线.则称由所决定的二阶曲线的全体为以f=0,g=0的四个交点为基点基点的二阶二阶曲线束曲线束.若f=0,g=0的四个交点相异,则称为二阶曲线的四点形四点形束束.定理4.5 经过平面上任一点P(非基点),必有一条二阶曲线属于已知束f +g=0.证明
7、.因为P不是f=0与g=0的交点,故fpp与gpp不同时为零.不妨设gpp0.令则f+0g=0为过P且属于 f+g=0的二阶曲线.4.1 二次曲线的射影定义七、二阶曲线束七、二阶曲线束 定理4.6 平面上任一二阶曲线束中必有三条退化的二阶曲线,它们是以四个基点为顶点的完全四点形的三双对边三双对边.注：如图,三条相异的退化二阶曲线为：实用性很强的两种极限形式如下：只有两条相异.只有两条相异.4.1 二次曲线的射影定义七、二阶曲线束七、二阶曲线束例4 (P.108,例4.3,请自学,体会如何应用二阶曲线束解题).例5 已知二阶曲线过点A(1,0,1),C(0,0,1),E(3,2,1),并与直线l1:x13x2 x3=0,l2:2x1x2=0相切.求的方程.解 易见Al1,Cl2.于是分别与l1,l2相切于点A,C.第一步.于是,过A,B,C,D四点的二阶曲线束的方程为：即第二步.将E(3,2,1)代入,得=2.故的方程为令A=B,C=D.则今日作业今日作业P.110:1,5,9The Class is over.Goodbye!