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1、1复习：复习：拉普拉斯方程拉普拉斯方程 分离变数结果分离变数结果球坐标系球坐标系柱坐标系柱坐标系 l-阶连带阶连带勒让德方程勒让德方程 m-阶阶贝赛尔方程贝赛尔方程 m-阶虚阶虚宗量贝赛尔方程宗量贝赛尔方程2贝塞耳方程：贝塞耳方程：虚宗量贝塞耳方程：虚宗量贝塞耳方程：球贝塞耳方程：球贝塞耳方程：（一）三类柱函数（一）三类柱函数（一）三类柱函数（一）三类柱函数(1)阶贝塞耳方程阶贝塞耳方程整数整数 阶阶贝塞耳函数贝塞耳函数另一个解另一个解阶阶贝塞耳函数贝塞耳函数通解：通解：11.1 11.1 三类柱函数三类柱函数三类柱函数三类柱函数3其中其中-函数函数定义为定义为它有它有递推关系递推关系：当当
2、x 为为 正整数正整数(2)m 阶贝塞耳方程阶贝塞耳方程求和只能从求和只能从 开始开始。不再是通解不再是通解与与相互不独立。相互不独立。4诺依曼函数诺依曼函数阶贝塞耳方程的通解阶贝塞耳方程的通解又可以又可以写作写作m 阶贝塞耳方程的通解阶贝塞耳方程的通解只能只能写作写作为整数时为整数时0/0型型第一种和第二种第一种和第二种汉克尔函数汉克尔函数贝塞耳方程的通解贝塞耳方程的通解第一类柱函数：贝塞耳函数第一类柱函数：贝塞耳函数第二类柱函数：诺依曼函数第二类柱函数：诺依曼函数第三类柱函数：汉克尔函数第三类柱函数：汉克尔函数5图图（二）渐进行为（二）渐进行为（二）渐进行为（二）渐进行为0内解问题：只要零
3、阶和正阶贝塞尔函数内解问题：只要零阶和正阶贝塞尔函数研究圆柱外部研究圆柱外部问题问题：两个线性独立特解都要保留：两个线性独立特解都要保留67贝塞尔函数的图象8诺伊曼函数的图象（三）（三）（三）（三）递推公式递推公式递推公式递推公式诺依曼函数、汉克尔函数满足同样关系。诺依曼函数、汉克尔函数满足同样关系。写作写作基本递推公式基本递推公式基本递推公式基本递推公式推论一推论一推论一推论一推论二推论二推论二推论二9虚宗量贝塞耳方程虚宗量贝塞耳方程 阶虚宗量贝塞耳方程阶虚宗量贝塞耳方程定义：定义：通解：通解：10m 阶虚宗量贝塞耳方程阶虚宗量贝塞耳方程另一个独立解需要另外研究（含有对数项）另一个独立解需要
4、另外研究（含有对数项）图对于圆柱内部问题，如果柱侧有齐次边界条件，则对于圆柱内部问题，如果柱侧有齐次边界条件，则 00应排除应排除1111.2 11.2 贝塞耳方程贝塞耳方程贝塞耳方程贝塞耳方程柱坐标系下的解柱坐标系下的解 m-阶阶贝赛尔方程贝赛尔方程 m-阶虚阶虚宗量贝赛尔方程宗量贝赛尔方程拉普拉斯拉普拉斯方程方程12柱面柱面上的齐次边界条件上的齐次边界条件（一）（一）（一）（一）本征值问题本征值问题本征值问题本征值问题A.柱面的第一类齐次边界条件柱面的第一类齐次边界条件：仅有贝塞耳函数具有这种性质仅有贝塞耳函数具有这种性质（m 已定已定）对于确定的对于确定的 m，贝塞耳函数有一系列贝塞耳函
5、数有一系列零点零点：对于不同的对于不同的 n，有，有或或这就是贝塞耳方程这就是贝塞耳方程(另一种写法另一种写法)的离散本征值的离散本征值13B.第二类齐次边界条件第二类齐次边界条件：仅有贝塞耳函数具有这种性质，两个零点之间必有极值。仅有贝塞耳函数具有这种性质，两个零点之间必有极值。同样，同样，为贝塞耳函数的为贝塞耳函数的导数导数的零点序列，本征值为的零点序列，本征值为m=0 的情况的情况:即：即：C.第三类齐次边界条件第三类齐次边界条件：将是上述方程的解。将是上述方程的解。14（二）（二）（二）（二）正交关系正交关系正交关系正交关系贝塞耳方程贝塞耳方程(施图姆刘维尔本征值方程施图姆刘维尔本征值
6、方程)：正交关系正交关系（三）（三）（三）（三）模模模模对对三个不同三个不同的本征值序列成立的本征值序列成立三个不同三个不同的本征值序列，有的本征值序列，有三个不同的模三个不同的模。或或同一个同一个方程的方程的三个不同的三个不同的施图姆刘维尔本征值问题。施图姆刘维尔本征值问题。权重权重15A.第一类齐次边界条件第一类齐次边界条件：由由16B.第二类齐次边界条件第二类齐次边界条件：C.第三类齐次边界条件第三类齐次边界条件：（四）（四）广义傅立叶级数广义傅立叶级数指定指定的的m，次序次序由由n给出给出。权重权重 17几个有用的公式：几个有用的公式：由递推公式由递推公式傅立叶傅立叶-贝塞耳积分贝塞耳
7、积分的情况的情况18例例1利用递推公式求积分利用递推公式求积分例例2方程指定了为方程指定了为第一类边界条件第一类边界条件19或者单位1例4轴对称1.2.定解问题侧面绝热侧面绝热有限值2021例例5方程如方程如P.179P.179，习题，习题5 5（圆锥改为方锥）（圆锥改为方锥）1.1.分离变量分离变量2.2.贝塞耳方程贝塞耳方程零阶贝塞耳方程零阶贝塞耳方程解为解为的第一个零点为的第一个零点为223.3.初始条件定解初始条件定解23例6轴对称轴对称热传导问题热传导问题绝热绝热有限值有限值先将边界条件化为齐次，令先将边界条件化为齐次，令有限值有限值边界条件全是齐次的边界条件全是齐次的查查9.19.
8、1节表节表满足边界条件的解满足边界条件的解2424亥姆霍兹亥姆霍兹方程方程输运方程输运方程球坐标系球坐标系柱坐标系柱坐标系 :l-阶连带阶连带勒让德方程勒让德方程 :m-阶阶贝赛尔方程贝赛尔方程但但 :l阶球贝阶球贝赛尔方程赛尔方程(k 0)则则但但则则25本征值本征值26母函数母函数3.5 例例5：在原点邻域上把在原点邻域上把展开展开绝对收敛绝对收敛正幂项正幂项负幂项负幂项取取取取27积分表示与加法公式积分表示与加法公式28诺依曼函数诺依曼函数例例7空心园长柱体，热传导问题空心园长柱体，热传导问题边界条件齐次化，令代入边界条件代入边界条件非零解非零解本征值本征值本征函数本征函数(完备完备)2
9、9例例8 8声波发射问题：长园柱面，径向速度分布声波发射问题：长园柱面，径向速度分布求声振动的速度势求声振动的速度势汉克尔函数汉克尔函数波动方程在柱坐标系中分离变数形式的解波动方程在柱坐标系中分离变数形式的解柱函数柱函数向外发散的波向外发散的波向内会聚的波向内会聚的波查表查表且且柱函数柱函数应取应取只取唯一值只取唯一值 ，无需叠加，无需叠加30若若即即P347,P347,习题习题15153111.4 11.4 11.4 11.4 虚宗量贝塞耳方程虚宗量贝塞耳方程虚宗量贝塞耳方程虚宗量贝塞耳方程上下底齐次边界条件上下底齐次边界条件拉普拉斯拉普拉斯方程方程如果所研究区域包含圆柱轴如果所研究区域包含
10、圆柱轴只用只用如果所研究区域伸向无限远如果所研究区域伸向无限远只用只用32例例1，求柱内稳定温度分布求柱内稳定温度分布边界条件边界条件齐次化齐次化对于对于本征值本征值对于对于与上下底边界不相容，舍去与上下底边界不相容，舍去33例例3，求柱壳外的静电势，求柱壳外的静电势令令对于对于舍去舍去对于对于本征值本征值34P362P362，习题，习题4 4 （P346P346，习题，习题6 6）有限1.1.2.舍去35有限有限对于对于对于对于本征函数本征函数3611.5 11.5 球贝塞耳方程球贝塞耳方程球贝塞耳方程球贝塞耳方程球坐标系亥姆霍兹方程分离变量球坐标系亥姆霍兹方程分离变量l l 阶球贝塞耳方程
11、（施图姆刘维尔型）阶球贝塞耳方程（施图姆刘维尔型）阶贝塞耳方程阶贝塞耳方程 l l 阶球贝塞耳方程的两个线性独立解（下列五种任取两种）阶球贝塞耳方程的两个线性独立解（下列五种任取两种）球贝塞耳函数球贝塞耳函数球诺依曼函数球诺依曼函数球汉克尔函数球汉克尔函数37递推关系，渐近公式递推关系，渐近公式球形区域内的本征值问题球形区域内的本征值问题38例例1：求球内温度的变化求球内温度的变化令令与与无关无关与与无关无关 :l l-阶连带勒让德阶连带勒让德方程方程 :l l阶球贝赛尔方阶球贝赛尔方程程(k k 0 0)查表（球坐标系下输运方程）查表（球坐标系下输运方程）常数，不满足边界条件，舍去常数，不满足边界条件，舍去本征值本征值39初始条件初始条件按球贝赛尔函数展开按球贝赛尔函数展开40