《数学物理方法第十一章学习教案.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学物理方法第十一章学习教案.pptx（40页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、数学物理数学物理(wl)方法第十一章方法第十一章第一页，共40页。2 2复习：拉普拉斯方程复习：拉普拉斯方程 分离分离(fnl)(fnl)变数结果变数结果球坐标系球坐标系柱坐标系柱坐标系 l-阶连带阶连带(lindi)勒让勒让德方程德方程 m-阶阶贝赛尔方程贝赛尔方程(fngchng)m-阶虚宗阶虚宗量贝赛尔方程量贝赛尔方程第1页/共40页第二页，共40页。3 3贝塞耳方程贝塞耳方程(fngchng)：虚宗量贝塞耳方程虚宗量贝塞耳方程(fngchng)：球贝塞耳方程球贝塞耳方程(fngchng)：（一）三类柱函数（一）三类柱函数（一）三类柱函数（一）三类柱函数(1)阶贝塞耳方程阶贝塞耳方程整数
2、整数 阶阶贝塞耳函数贝塞耳函数另一个解另一个解阶阶贝塞耳函数贝塞耳函数通解：通解：11.1 11.1 三类柱函数三类柱函数三类柱函数三类柱函数第2页/共40页第三页，共40页。4 4其中其中-函数函数(hnsh)定义为定义为它有递推关系它有递推关系(gun x)：当当 x 为为 正整数正整数(2)m 阶贝塞耳方程阶贝塞耳方程(fngchng)求和只能从求和只能从 开始开始。不再是通解不再是通解与与相互不独立。相互不独立。第3页/共40页第四页，共40页。5 5诺依曼函数诺依曼函数(hnsh)阶贝塞耳方程阶贝塞耳方程(fngchng)的通解又可以写的通解又可以写作作m 阶贝塞耳方程的通解阶贝塞耳
3、方程的通解(tngji)只能只能写作写作为整数时为整数时0/0型型第一种和第二种第一种和第二种汉克尔函数汉克尔函数贝塞耳方程的通解贝塞耳方程的通解第一类柱函数：贝塞耳函数第一类柱函数：贝塞耳函数第二类柱函数：诺依曼函数第二类柱函数：诺依曼函数第三类柱函数：汉克尔函数第三类柱函数：汉克尔函数第4页/共40页第五页，共40页。6 6图图（二）渐进行（二）渐进行（二）渐进行（二）渐进行(jnxng)(jnxng)为为为为0内解问题：只要内解问题：只要(zhyo)零阶和正阶贝塞尔函数零阶和正阶贝塞尔函数研究圆柱研究圆柱(yunzh)外部问题：两个线性独立特解都要保留外部问题：两个线性独立特解都要保留第
4、5页/共40页第六页，共40页。7 77贝塞尔函数贝塞尔函数(hnsh)(hnsh)的图象的图象第6页/共40页第七页，共40页。8 88诺伊曼函数诺伊曼函数(hnsh)(hnsh)的图象的图象第7页/共40页第八页，共40页。9 9（三）（三）（三）（三）递推公式递推公式递推公式递推公式(gngsh)(gngsh)(gngsh)(gngsh)诺依曼函数诺依曼函数(hnsh)、汉克尔函数、汉克尔函数(hnsh)满足同样关系。满足同样关系。写作写作(xizu)基本递推公式基本递推公式基本递推公式基本递推公式推论一推论一推论一推论一推论二推论二推论二推论二第8页/共40页第九页，共40页。1010
5、虚宗量贝塞耳方程虚宗量贝塞耳方程(fngchng)阶虚宗量贝塞耳方程阶虚宗量贝塞耳方程(fngchng)(fngchng)定义定义(dngy)：通解：通解：第9页/共40页第十页，共40页。1111m 阶虚宗量贝塞耳方程阶虚宗量贝塞耳方程(fngchng)另一个另一个(y)独立解需要另外研究（含有对数项）独立解需要另外研究（含有对数项）图对于圆柱内部对于圆柱内部(nib)(nib)问题，如果柱侧有齐次边界条件，则问题，如果柱侧有齐次边界条件，则 00应排除应排除第10页/共40页第十一页，共40页。121211.2 11.2 贝塞耳方程贝塞耳方程贝塞耳方程贝塞耳方程(fngchng)(fngc
6、hng)柱坐标系下的解柱坐标系下的解 m-阶阶贝赛尔方程贝赛尔方程(fngchng)m-阶虚宗阶虚宗量贝赛尔方程量贝赛尔方程(fngchng)拉普拉斯拉普拉斯 方程方程第11页/共40页第十二页，共40页。1313柱面柱面上的齐次边界条件上的齐次边界条件（一）（一）（一）（一）本征值问题本征值问题本征值问题本征值问题(wnt)(wnt)A.柱面的第一类齐次边界条件柱面的第一类齐次边界条件：仅有贝塞耳函数仅有贝塞耳函数(hnsh)具有这种性质具有这种性质（m 已定已定）对于确定的对于确定的 m，贝塞耳函数，贝塞耳函数(hnsh)有一系列零点：有一系列零点：对于不同的对于不同的 n，有，有或或这就
7、是贝塞耳方程这就是贝塞耳方程(另一种写法另一种写法)的离散本征值的离散本征值第12页/共40页第十三页，共40页。1414B.第二类齐次边界条件第二类齐次边界条件：仅有贝塞耳函数具有这种性质，两个零点仅有贝塞耳函数具有这种性质，两个零点(ln din)之间必有极值。之间必有极值。同样同样(tngyng)，为贝塞耳函数的导数的零点为贝塞耳函数的导数的零点(ln din)序列，本征值为序列，本征值为m=0 的情况的情况:即：即：C.第三类齐次边界条件第三类齐次边界条件：将是上述方程的解。将是上述方程的解。第13页/共40页第十四页，共40页。1515（二）（二）（二）（二）正交关系正交关系正交关系
8、正交关系贝塞耳方程贝塞耳方程(fngchng)(fngchng)(施图姆刘维尔本征值方程施图姆刘维尔本征值方程(fngchng)(fngchng)：正交关系正交关系（三）（三）（三）（三）模模模模对三个不同的本征值序列对三个不同的本征值序列(xli)成立成立三个不同三个不同(b tn)的本征值序列，有三个不同的本征值序列，有三个不同(b tn)的模。的模。或或同一个同一个方程的方程的三个不同的三个不同的施图姆刘维尔本征值问题。施图姆刘维尔本征值问题。权重权重第14页/共40页第十五页，共40页。1616A.第一类齐次边界条件第一类齐次边界条件：由由第15页/共40页第十六页，共40页。1717
9、B.第二类齐次边界条件第二类齐次边界条件：C.第三类齐次边界条件第三类齐次边界条件：（四）（四）广义广义(gungy)(gungy)傅立叶级数傅立叶级数指定指定(zhdng)(zhdng)的的m m，次序由次序由n n给出。给出。权重权重(qu(qun n zhnzhn)第16页/共40页第十七页，共40页。1818几个有用几个有用(yu yn)的公式：的公式：由递推公式由递推公式(gngsh)傅立叶傅立叶-贝塞耳积分贝塞耳积分(jfn)(jfn)的情况的情况第17页/共40页第十八页，共40页。1919例例1利用利用(lyng)递推公式求积分递推公式求积分例例2方程方程(fngchng)指定
10、了为指定了为第一类边界条件第一类边界条件第18页/共40页第十九页，共40页。2020或者(huzh)单位(dnwi)1例4轴对称1.2.定解问题(wnt)侧面绝热侧面绝热有限值第19页/共40页第二十页，共40页。212121第20页/共40页第二十一页，共40页。2222例例5方程如方程如P.179P.179，习题，习题5 5（圆锥（圆锥(yunzhu)(yunzhu)改为方锥）改为方锥）1.1.分离分离(fnl)(fnl)变量变量2.2.贝塞耳方程贝塞耳方程(fngchng)(fngchng)零阶贝塞耳方程零阶贝塞耳方程解为解为的第一个零点为的第一个零点为22第21页/共40页第二十二页
11、，共40页。23233.3.初始条件定解初始条件定解23第22页/共40页第二十三页，共40页。2424例6轴对称轴对称热传导问题热传导问题(wnt)(wnt)绝热绝热有限有限(yuxin)(yuxin)值值先将边界条件化为齐次，令先将边界条件化为齐次，令有限有限(yuxin)(yuxin)值值边界条件全是齐次的边界条件全是齐次的查查9.19.1节表节表满足边界条件的解满足边界条件的解2424第23页/共40页第二十四页，共40页。2525亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程(fngchng)输运输运(sh yn)方程方程球坐标系球坐标系柱坐标系柱坐标系 :l-阶连带阶连带(lindi)勒让德勒让德方程方
12、程 :m-阶阶贝赛尔方程贝赛尔方程但但 :l阶球贝赛阶球贝赛尔方程尔方程(k 0)则则但但则则25第24页/共40页第二十五页，共40页。2626本征值本征值26第25页/共40页第二十六页，共40页。2727母函数母函数(hnsh)3.5 例例5：在原点邻域：在原点邻域(ln y)上把上把展开展开(zhn ki)绝对收敛绝对收敛正幂项正幂项负幂项负幂项取取取取27第26页/共40页第二十七页，共40页。2828积分表示与加法积分表示与加法(jif)公式公式28第27页/共40页第二十八页，共40页。2929诺依曼函数诺依曼函数(hnsh)例例7空心空心(kng xn)园长柱体，热传导园长柱体
13、，热传导问题问题边界条件齐次化，令代入边界条件代入边界条件非零解非零解本征值本征值本征函数本征函数(完备完备(wnbi)(wnbi)29第28页/共40页第二十九页，共40页。3030例例8 8声波发射声波发射(fsh)(fsh)问题：长园柱面，径向速度问题：长园柱面，径向速度分布分布求声振动求声振动(zhndng)(zhndng)的速度势的速度势汉克尔函数汉克尔函数(hnsh)波动方程在柱坐标系中分离变数形式的解波动方程在柱坐标系中分离变数形式的解柱函数柱函数向外发散的波向外发散的波向内会聚的波向内会聚的波查表查表且且柱函数柱函数应取应取只取唯一值只取唯一值 ，无需叠加，无需叠加30第29页
14、/共40页第三十页，共40页。3131若若即即P347,P347,习题习题(xt)15(xt)1531第30页/共40页第三十一页，共40页。323211.4 11.4 11.4 11.4 虚宗量贝塞耳方程虚宗量贝塞耳方程虚宗量贝塞耳方程虚宗量贝塞耳方程(fngchng)(fngchng)(fngchng)(fngchng)上下上下(shngxi)(shngxi)底齐次边界条件底齐次边界条件拉普拉斯方程拉普拉斯方程(fngchng)(fngchng)如果所研究区域包含圆柱轴如果所研究区域包含圆柱轴只用只用如果所研究区域伸向无限远如果所研究区域伸向无限远只用只用32第31页/共40页第三十二页，
15、共40页。3333例例1，求柱内稳定温度，求柱内稳定温度(wnd)分布分布边界条边界条件齐次件齐次化化对于对于(duy)(duy)本征值本征值对于对于(duy)(duy)与上下底边界不相容，舍去与上下底边界不相容，舍去33第32页/共40页第三十三页，共40页。3434例例3，求柱壳外的静电势，求柱壳外的静电势令令对于对于(duy)(duy)舍去舍去对于对于(duy)(duy)本征值本征值34第33页/共40页第三十四页，共40页。3535P362P362，习题，习题(xt)4 (xt)4 （P346 P346，习题，习题(xt)6(xt)6）有限(yuxin)1.1.2.舍去35第34页/共
16、40页第三十五页，共40页。3636有限(yuxin)有限(yuxin)对于对于(duy)(duy)对于对于本征函数本征函数36第35页/共40页第三十六页，共40页。373711.5 11.5 球贝塞耳方程球贝塞耳方程球贝塞耳方程球贝塞耳方程(fngchng)(fngchng)球坐标系亥姆霍兹方程球坐标系亥姆霍兹方程(fngchng)(fngchng)分离变量分离变量l l 阶球贝塞耳方程阶球贝塞耳方程(fngchng)(fngchng)（施图姆刘维尔型）（施图姆刘维尔型）阶贝塞耳方程阶贝塞耳方程 l l 阶球贝塞耳方程的两个线性独立解（下列五种任取两种）阶球贝塞耳方程的两个线性独立解（下列
17、五种任取两种）球贝塞耳函数球贝塞耳函数球诺依曼函数球诺依曼函数球汉克尔函数球汉克尔函数37第36页/共40页第三十七页，共40页。3838递推关系递推关系(gun x)(gun x)，渐，渐近公式近公式球形区域球形区域(qy)(qy)内的本征值内的本征值问题问题38第37页/共40页第三十八页，共40页。3939例例1：求球内温度：求球内温度(wnd)的变化的变化令令与与无关无关(wgun)(wgun)与与无关无关(wgun)(wgun):l l-阶阶连带勒让德方程连带勒让德方程 :l l阶阶球贝赛尔方程球贝赛尔方程(k k 0 0)查表（球坐标系下输运方程）查表（球坐标系下输运方程）常数，不满足边界条件，舍去常数，不满足边界条件，舍去本征值本征值39第38页/共40页第三十九页，共40页。4040初始条件初始条件按球贝赛尔函数按球贝赛尔函数(hnsh)展开展开40第39页/共40页第四十页，共40页。