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1、2021 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学试卷（共 6 页）第 1页2021 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学试卷（共 6 页）第 2页2021 年年秋秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中期中联考联考高高三三数学数学试卷试卷命题学校命题学校：孝感高中孝感高中 命题教师命题教师：陈文科陈文科 张享昌张享昌 秦小蓉秦小蓉 审题教师审题教师：钱钱程程考试时间：2021 年 11 月 4 日下午 15:0017:00试卷满分：150 分一、单项选择题一、单项选择题：（本题共本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共
2、4040 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求符合题目要求。）1 设集合2|log4Axx，1|02xBxx，则AB（）A|22xx B|01xxC|21xx D|01xx2 已知平面向量(1,1),(2,0)ab，若2abakb，则k的值为（）A2B34C12D23 函数ln 22()xxf xx的图象大致为（）ABCD4 若1cos63，则sin26（）A79B2 23C79D4 295 已知偶函数 fx在,0上单调递增，则满足1(21)()2fxf的x的取值范围是（）A1,4B1,4 C31,44 D3144，6 已知等比数列 na的前n项
3、和为nS，若48=3=9SS，则16S的值为（）A12B30C45D817 已知函数321()(0,0)3f xaxxbx ab的一个极值点为2，则11ab的最小值为（）A74B94C85D782021 年 7 月 24 日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见，这个政策就是我们所说的“双减”政策，“双减”政策极大缓解了教育的“内卷”现象，而“内卷”作为高强度的竞争使人精疲力竭数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如下图（1
4、）所示如下图（2）所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为 4，取正方形ABCD各边的四等分点HGFE,，作第 2 个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的四等分点QPNM,，作第 3 个正方形MNPQ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案设正方形ABCD边长为1a，后续各正方形边长依次为23,naaa，；如图（2）阴影部分，设直角三角形AEH面积为1b，后续各直角三角形面积依次为23,nbbb，下列说法错误的是（）A从正方形ABCD开始，连续 3 个正方形的面积之和为1294B11044nnaC使得不等式12nb 成立的n的最大值为
5、4D数列 nb的前n项和4nS 二、多项选择题二、多项选择题：（本题共本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分在每小题给出的选项中，有多项符合要分在每小题给出的选项中，有多项符合要求全部选对的得求全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分。）9 下列命题为真命题的是（）A命题:p“2R320 xxx，”的否定为:p“2R+320 xxx，”B若,a b m为实数，则“22ambm”是“ab”的充分不必要条件C平面向量a，b的夹角为锐角的充要条件是0a b D若,a b为实数，则11ab是12ab
6、ab的充要条件图（1）图（2）2021 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学试卷（共 6 页）第 3页2021 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学试卷（共 6 页）第 4页10已知函数 22sinfxx，下列说法正确的是（）A fx的最小正周期为B fx是奇函数C fx的单调递增区间为,2kkkZD fx的图象关于点14,对称11已知数列 na的前n项和为nS，下列说法正确的是（）A若2111nSnn，则=212nanB若2+11nan，则数列na的前 10 项和为 49C若2+11nan，则nS的最大值为 25D若数列 na为等差数列，且1011101110120,0aaa，则当0
7、nS 时，n的最大值为 202112已知函数 1ln1xf xxx，下列结论成立的是（）A函数 f x在定义域内无极值B函数 fx在点 2,2Af处的切线方程为5ln282yxC函数 fx在定义域内有且仅有一个零点D函数 f x在定义域内有两个零点12,x x，且12=1x x三三、填空题、填空题：（本题共本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分。）13将函数 yfx的图象向左平移6个单位长度后得到 sin2g xx的图象，则=6f_14已知函数3(1 2),3()2,3xa xa xf xx，若单调递增数列 na满足()naf n，则实数a的取值范围为_
8、15在ABC中，4AB，3AC，3A，点O为ABC的外心，若AOABAC，、R，则=_16若集合U1,2,3,2,UnnnnnNA B，且满足集合A中最大的数大于集合B中最大的数，则称有序集合对,A B为“兄弟集合对”当3n 时，这样的“兄弟集合对”有_对；当3n 时，这样的“兄弟集合对”有_对（用含有n的表达式作答）四、解答题四、解答题：（本题共本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17（本小题 10 分）已知数列 na的各项均为正数，其前n项和为nS，且2421nnnaSa（1）求,nna S；（2）
9、设12 2+1+5nnnnnnaabSSn，为奇数，为偶数，求数列 nb的前 8 项和8T18（本小题 12 分）小C和小D两个同学进行摸球游戏，甲、乙两个盒子中各装有 6 个大小和质地相同的球，其中甲盒子中有 1 个红球，2 个黄球，3 个蓝球，乙盒子中红球、黄球、蓝球均为 2个，小C同学在甲盒子中取球，小D同学在乙盒子中取球（1）若两个同学各取一个球，求取出的两个球颜色不相同的概率；（2）若两个同学第一次各取一个球，对比颜色后分别放入原来的盒子；第二次再各取一个球，对比颜色后再分别放入原来的盒子，这样重复取球三次记球颜色相同的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望2021 年秋鄂东南教改
10、联盟学校期中联考 高三数学试卷（共 6 页）第 5页2021 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学试卷（共 6 页）第 6页19 （本 小 题 12 分）如 图，在 四 棱 锥BCDEA-中，四 边 形BCDE为 平 行 四 边 形，且452CBEBC，三角形ABE为等腰直角三角形，且90,2BAEAB（1）若点O为棱BE的中点，证明：平面ACD 平面AOC；（2）若平面ABE 平面BCDE，点F为棱BC的中点，求直线AF与平面ADE所成角的正弦值20（本小题 12 分）在锐角三角形ABC中，内角CBA,的对边分别为cba,，且bBAbBc33)cos(33sin（1）求角C的大小；（2）
11、若3c，角A与角B的内角平分线相交于点D，求ABD面积的取值范围21（本小题 12 分）已知双曲线C：)0,0(12222babyax的左焦点为F，右顶点为)0,1(A，点P是其渐近线上的一点，且以PF为直径的圆过点A，2PO，点O为坐标原点（1）求双曲线C的标准方程；（2）当点P在x轴上方时，过点P作y轴的垂线与y轴相交于点B，设直线)0(:kmmkxyl与双曲线C相交于不同的两点NM,，若BNBM，求实数m的取值范围22（本小题 12 分）已知函数21()(1)+ln02f xaxaxx a（1）讨论函数()f x的单调性；（2）当1a 时，判断函数()()(1)ln1g xf xxxx的
12、零点个数2021 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学参考答案（共 8 页）第 1页2021 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学参考答案（共 8 页）第 2页2021 年年秋秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中期中联考联考高高三三数学参考答案数学参考答案一、单选题一、单选题14DBAA58DCBC二、多选题二、多选题9AB10ACD11CD12ABD三、填空题三、填空题130142151 a151251614nn2324(第一空 2 分，第二空 3 分)四、解答题17解：（1）由原式可得：1242nnnaaS当1n时，；1124112
13、11aaaa当2n时，124 12412112 nnnnnnaaSaaS两式作差可得：121224nnnnnaaaaa所以1112nnnnnnaaaaaa又因为001nnnaaa，则，所以21nnaa（3 分）122)1(1nnan22)121(nnnSn12 nan2nSn（5 分）（2）为偶数，为奇数nnSSnnnnnaabnnnnn12,242422251221（7 分）所以8218bbbT 86427531bbbbbbbb1511737957351338.（10 分）18（1）1222322+=6363633（4 分）（2）由题意可知:1(3,)3X BX的所有可能取值为 0,1,2,
14、303128(0)3327P X1213124(1)339P XC2123122(2)339P XC311(3)327P X（8 分）分布列为：期望1()313E X （12 分）19（1）证明：因为ABE为等腰直角三角形点 O 为棱的中点所以BEAO 又因为90,2BAEAB所以2BO又因为 在BOC中45,2,2CBOBCBO所以2cos222CBOBCBOBCBOCO所以222BCCOBO所以BECO 又因为OCOAO所以AOCBE平面又因为BCDE为平行四边形所以CDBE/X0123P82749291272021 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学参考答案（共 8 页）第 3页2
15、021 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学参考答案（共 8 页）第 4页所以AOCCD平面又因为ACDCD平面所以AOCACD平面平面.（6 分）（2）因为BEBCDEABEBCDEABE平面，平面平面平面，BEAO 所以BCDEAO平面又因为OCBE 以O点为坐标原点，分别以OAOEOC,所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则 0,22,22,0,2,0,0,22,2,2,0,0FEDA所以,),2,22,22(),2,2,0(),2,22,2(AFAEAD设平面ADE的一个法向量为zyxn,则由,0,0AEnADn可得.022,02y222zyzx令1z
16、，得1,1,1n（10 分）设直线AF与平面ADE所成角为3223322222,cossinAFn所以直线AF与平面ADE所成角的正弦值为322（12 分）20（1）解：bbBc33B)(Acos33sin由正弦定理可得：sinB33B)sinBcos(A33sinsinBCBCBBCsin33cossin33sinsin0sinB33cos33sinCC21)6sin(CC 为锐角3,66C66C3C（5 分）（2）解：由题意可知32ADB，设DAB,3ABD220又2,023B4,12（6 分）在ABD中，由正弦定理可得：ABDADADBABsinsin即：3sin32sin3AD3sin
17、2ADsin)3sin(2321sin21ADABSABD2sin23cossin234362sin23（10 分）4,1232,3621,2362sin43,4334362sin23三角形面积的取值范围为43,433（12 分）xyz2021 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学参考答案（共 8 页）第 5页2021 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学参考答案（共 8 页）第 6页21（1）)0,(),0,(aAcF 双曲线渐近线方程为xaby以PF为直径的圆过点AAFPA 不妨取点P在xaby 上,byaxpp2|PO422ba1a32b双曲线 C 的标准方程为：1322yx（4
18、 分）（2）由题意可知)0,3(B设2211,yxNyxM,线段MN中点00,yxQ,联立1322yxmkxy得0323222mkmxxk依题意：0334)2(032222mkkmk即0303222kmk（6 分）222122133,32kmxxkkmxx，,33,322002210kmmkxykkmxxx（8 分）|BM|=|BN|BQMNkkkmkmxykBQ1333332200，mk33432又033432mk（10 分）由得：4330334mm或（12 分）22解：（1）21()(1)+ln02f xaxaxx a 函数的定义域为0+，21-(1)(1)1()=a xxaxaxafxx
19、x（2 分）当1a 时，0 x，()0fx，当且仅当=1x时，()=0fx，()f x在0+，单调递增；当1a 时，101xxa 或，()0fx，()f x在10,+a1，单调递增，在11a，单调递减；当10a 时，101xxa 或，()0fx，()f x在10,1,+a-，单调递增，在11a，单调递减；综上所述：当1a 时，()f x在0+，单调递增；当1a 时，()f x在10,+a1，单调递增，在11a，单调递减；当10a 时，()f x在10,1,+a-，单调递增，在11a，单调递减；（5 分）（2）21()()(1)ln1(2)+ln112g xf xxxxaxax xxa ，()+
20、ln1g xaxxa（6 分）设()()ln1h xg xxaxa1()0h xax所以()ln1h xxaxa在0+，单调递增(1)10h (2)ln21ln20ha 01,2x000()ln1=0h xxaxa00ln=+1xaxa当00 xx时，()0h x，当0 xx时，()0h x 2021 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学参考答案（共 8 页）第 7页2021 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学参考答案（共 8 页）第 8页()g x在00,x单调递减，在0 x，单调递增（8 分）22min000000011()()(2)ln1=122g xg xaxaxxxaxx，
21、01,2x 设 21=12xaxx=10 xax()x在1,2单调递减(1)=02ag0()0g x在1,2成立（此处可以直接用(1)=02ag说明有小于零的点）（9 分）lnyxx在10,e单调递减，在1+e，单调递增1lnxxe 取10 x，设211111111()(2)ln1(2)102g xaxaxxxaxe 1112exa111012exa 1()0g x10 xx()=0g x22x 取，设22222222222111()(2)ln1(2)(2(2)0222g xaxaxxxaxaxx axa 22(2)0axa2222axa2222axa2()0g x2xx()=0g x（也可以找到大于 2 的点证明函数值大于 0，此处用极限说明扣 1 到 2 分）（11 分）()g x在定义域内有两个零点（12 分）