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1、2022 年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高三数学试卷高三数学试卷考试时间：考试时间：2022 年年 11 月月 1 日下午日下午 15：00-17：00试卷满分：试卷满分：150 分分一、单项选择题一、单项选择题：（本题共（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求一项符合题目要求。）1命题“,|NxZx”的否定为（）A,|NxZx B,|NxZx C,|NxZx D,|NxZx 2己知集合20.5log(43),38
2、40Ax yxBxxx，则AB（）A3,24B2,23C2,13D3,143下列函数中周期为，且为偶函数的是（）Acos|yxBtan2xy C|cos|yxDsin 42yx4已知ABC的外接圆圆心为 O，且20,|ABACOAABAO ，则向量BC 在向量BA 上的投影向量为（）ABA BBA C14BC D14BC 5 已知函数()f x的定义域为 R，()(2)(2),()(2)()g xfxfx h xfxf x，则下述正确的是（）A()g x的图象关于点(1,0)对称B()g x的图象关于 y 轴对称C()h x的图象关于直线1x 对称D()h x的图象关于点(1,0)对称6 在A
3、BC中，角 A，B，C，所对的边分别为 a，b，c，23ABC，D 点为 AC 上一点且,32DBCBD，则2ac的最小值为（）A2 3B9 3C6 3D37已知22,1 ln2,eaebcee ，则（）AcbaBabcCacbDcab8己知函数333,1()3log(1),1xxf xxx，则函数1()()3()2F xf f xf x的零点个数是（）A6B5C4D3二、多项选择题二、多项选择题：（本题共（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符分。在每小题给出的选项中，有多项符合要求。全部选对的得合要求。全部选对的得 5 分，部分选对
4、的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分。）9若,a bR，则使“1ab”成立的一个必要不充分条件是（）Aln()1abB|1abC331abD1a be10水车是我国劳动人民创造发明的一种灌溉工具，作为中国农耕文化的组成部分，充分体现了中华民族的创造力，见证了中国农业文明水车的外形酷似车轮，在轮的边缘装有若干个水斗，借助水势的运动惯性冲动水车缓缓旋转，将水斗内的水逐级提升如图，某水车轮的半径为 6 米，圆心距水面的高度为 4 米，水车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动 2 圈，当其中的一个水斗 A 到达最高点时开始计时，设水车转动 t（分钟）时水斗 A 距离水面的高度（
5、水面以上为正，水面以下为负）为()f t（米），下列选项正确的是（）A()6cos44(0)f tttB()6sin 4(0)2f tttC若水车的转速减半，则其周期变为原来的12D在旋转一周的过程中，水斗 A 距离水面高度不低于 7 米的时间为 10 秒11设等比数列 na的公比为 q，其前和项和为nS，前 n 项积为nT，且满足条件11a，202220231aa，20222023110aa，则下列选项正确的是（）A01qB202220231SS C2022T是数列 nT中的最大项D40431T12己知函数2()1xf xx，令111,2nnxxf x，则下列正确的选项为（）A数列 nx的通
6、项公式为1*12,21nnnxnNB122136nxxxnC若数列 na为等差数列1234566aaaaaa，则12612f af af aD123112nx xxxe三、填空题（本题共三、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分。）13已知,4 均为锐角，则(1 tan)(1 tan)_14已知向量,a b不共线，且向量ab与(21)ab的方向相反，则实数的值为_15若项数为 n 的数列 na满足：1(1,2,3)iniaain 我们称其为 n 项的“对称数列”例如：数列 1，2，2，1 为 4 项的“对称数列”；数列 1，2，3，2，1 为 5 项的“对称
7、数列”设数列 nc为21(2)kk项的“对称数列”，其中123,kc c cc是公差为 2 的等差数列，数列 nc的最大项等于 8 记数列 nc的前21k 项和为21kS，若2132kS，则k _16若不等式21sinln(1)13xxxexaxx 恒成立，则 a 的取值范围为_四、解答题（本题共四、解答题（本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17（本题满分 10 分）已知等差数列 na和等比数列 nb满足1222,4,2lognnabab，*nN（1）求数列 na，nb的通项公式：（2）设数列 na中不在
8、数列 nb中的项按从小到大的顺序构成数列 nc，记数列 nc的前 n 项和为nS，求50S18（本题满分 12 分）在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足cos3 sin2aCaCbc（1）求角 A；（2）己知26ABAC，M 点为 BC 的中点，N 点在线段 AC 上且1|3ANAC，点 P 为 AM 与 BN 的交点，求MPN的余弦值19（本题满分 12 分）如图，在三棱柱111ABCABC中，1113,ABACAAABACAABAAC，D 是棱11BC的中点（1）证明：BC 平面1A AD；（2）若三棱锥11BABD的体积为928，求平面1ABD与平面11CBBC
9、的夹角20（本题满分 12 分）在一次数学随堂小测验中，有单项选择题和多项选择题两种单项选择题，每道题四个选项中仅有一个正确，选择正确得 5 分，选择错误得 0 分；多项选择题，每道题四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 分，有选择错误的得分，有选择错误的得 0 分分（1）小明同学在这次测验中，如果不知道单项选择题的答案就随机猜测己知小明知道单项选择题的正确答案和随机猜测的概率都是12问小明在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，求他知道这道单项选择题正确答案的概率（2）小明同学在做多选题时，选择一个选项的概率为25，选择两个选项的概率
10、为25，选择三个选项的概率为15己知某个多项选择题有三个选项是正确的，小明在完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，记小明做这道多项选择题所得的分数为 X，求 X 的分布列及数学期望21（本题满分 12 分）设点 P 为圆22:4C xy上的动点，过点 P 作 x 轴垂线，垂足为点 Q，动点 M 满足23MQPQ （点 P、Q 不重合）（1）求动点 M 的轨迹方程 E；（2）若过点(4,0)T的动直线与轨迹 E 交于 A、B 两点，定点 N 为31,2，直线 NA 的斜率为1k，直线 NB 的斜率为2k，试判断12kk是否为定值若是，求出该定值；若不是，请说明理由22（本题
11、满分 12 分）己知函数()sin(1)ln,f xaxx aR（1）讨论函数()f x在(0,1)x上的单调性（2）证明：22221111111sinsinsinsinln2234(1)21nnn2022 年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高三数学参考答案高三数学参考答案一、单选题一、单选题1-4ADCA5-8CBDB二、多选题二、多选题9BCD10AD11ACD12ACD三、填空题三、填空题1321412154k 或5k 161a 四、解答题四、解答题17解析：（1）设等差数列 na的公差为 d，等比数列 nb的公比为
12、q，由1222,4,2lognnabab，可得122,4ba，则*2,2,2,2,nnndqan bnN；5 分（2）由（1）11222 2nnnnba即nb是数列 na中的第12n项设数列 na的前 n 项和为nP，数列 nb的前 n 项和为nQ，因为764632,baba所以数列 nc的前 50 项是由数列 na的前 56 项去掉数列 nb的前 6 项后构成的，所以6505662 1 2(2 112)56306621 2SPQ10 分18解析：（1）cos3sin2aCaCbcsincos3sinsinsin2sinsin()2sinACACBCACCsincos3sinsinsin2si
13、nsincoscossin2sinACACBCACACC化简得：2sincossin3sinsinCACAC3 分2cos3sin2sin6AAA，求得sin16A62A即3A5 分（2）M点为 BC 的中点1()2AMABAC 1|,3ANACBNANAB 13BNACAB 7 分221111112223236AM BNABACACABABAB ACAC 2221|()13|134AMAMABACAM 2221|4|23BNBNACABBN 10 分213cos,13|132AM BNAM BNAMBN 即MPN的余弦值为131312 分19解析：（1）证明：（1）取 BC 中点 O，连接
14、AO，1AO，1AC，因为ABAC，所以AOBC，因为1111,A ABA AC ABAC AAAA，所以11AABAAC2 分所以11ABAC，所以1AOBC，因为11,AOAOO AO AO平面1A AOD，所以BC 平面1A AOD，即BC 平面1A AD6 分（2）连接 OD，则平面1AAO即为平面1AADO，由（1）知BC 平面1AADO，因为BC 平面 ABC，且BC 平面11BCC B，故平面1AADO 平面 ABC，平面1AADO 平面11BCC B，过 O 作1OMAD于 M，则OM 平面 ABC，过1A作1AHOD于 H，则1AH 平面11BCC B，因为11DOBBAA知
15、DOBC，在ABC中：13,3 2ABACA ABC，所以1119224BDBSDB DO11111119238BA BDABDBBDBVVSAH所以132AH 6 分方法一（空间向量法）：设MOD，则1DAH，在1RtAHD中11322cos23 22AHAD所以3 23 2sin,cos22DMDOOMOD又13 22AD，所以，所以点 M 与点1A重合以 O为原点，分别以,OA OB OM 分别为 x，y，z 轴正方向建立空间直角坐标系，13 23 23 23 2,0,0,0,0,0,0,0,0,2222ABCA，13 2 3 2 3 23 23 2,0,22222BD8 分设面1ABD
16、的法向量为1111,nx y z，则有111111113 23 23 23 23 20,022222n BAyzn BDxyz 令110,1xy则11z，所以1(0,1,1)n 设面11CBBC的法向量为2222,nxy z，则有22212223 203 23 23 2022nCBynCBxyz 令220,1yx则21z 所以2(1,0,1)n 10 分设二面角的夹角为，则有12121cos2n nnn ，即312 分方法二（几何法）：过 H 做HEBD，连接1AE，1AH 面11BCC B，1AHDB，则DB 面1AHE，1AEBD，则1AEH即为所求二面角8 分在1RtADH中，1133
17、2,22AHAD，则32DH 在tRDOB中，3 23 63,22ODOBDB由tRDEH与tRDOB相似可得：HEDHOBDB32HE，则22113AEAHHE10 分11cos2AEH，即平面1ABD与平面11CBBC的夹角为312 分20解析：（1）设事件 A 为“题回答正确”，事件 B 为“知道正确答案”，则1115()()()()()12248P AP B P A BP B P A B，3 分所以11()()()42()5()()58P ABP B P A BP B AP AP A5 分（2）设事件iA表示小明选择了i个选项，事件 C 表示选择的选项是正确的，则2312242321(
18、2)5452CP XP ACP A CC，334111(5)520P XP ACC，9(0)1(2)(5)20P XP XP X，（或者1233123234421219(0)545520CCP XP ACP A CP ACCC）随机变量 X 的分布列如下：X025P92012120115()252204E X 12 分21解析：（1）设点 P 为00,xy，动点 M 为(,)x y，则 Q 点为0,0 x00,0,MQxxyPQy 00232,3 0,MQPQxxyy 求得：0023xxyy 又2222004443xyxy 即点 M 的轨迹方程为：221(0)43xyy4 分（2）设直线 AB
19、 方程为：4xmy则224143xmyxy消 x 得223424360mymy22(24)4 36 340mm 2m或2m设 A 点11,x y，B 点22,xy则1212222436,3434myyyymm 求得：121232my yyy 8 分1212121221212123332392223339my ymyyyykkmymym y ym yy1212123923392m yym yym yy1212392392m yym yy1 12kk的值为定值，定值为112 分22解析：（1）11cos(1)()cos(1),01axxfxaxxxx 01cos(1)0 xx 当0a 时01()0
20、 xfx 此时()f x在(0,1)内单调递增；当01a时010cos(1)1,()0 xxfx 此时()f x在(0,1)内单调递增；当1a 时令()1cos(1),01h xaxxx()cos(1)sin(1)h xaxxx 1,cos(1)0,sin(1)0()0()axxh xh x 在(0,1)上为减函数又(0)10,(1)10hha ()h x在(0,1)上存在唯一零点0 x，使得0001cos 10h xaxx 当00,xx时()0,()0h xfx，()f x递增；当0,1xx时()0,()0h xfx，()f x递减5 分综上：当1a 时，此时()f x在(0,1)内单调递增
21、；当1a 时，当00,xx时，()0,()0h xfx，()f x递增；当0,1xx时，()0,()0h xfx，()f x递减其中0 x为方程00cos 11axx的根6 分（2）由（1）知当1a 时，()sin(1)lnf xxx在区间(0,1)上单调递增则()(1)0f xf，即1sin(1)lnln(01)xxxx 7 分所以22*2212(1)sinsin 1ln,(1)(1)(2)nnnnNnnn n8 分因此222222221111234(1)sinsinsinsinln234(1)1 32 43 5(2)nnn n111ln2ln2lnln2ln22nnnnnn解法一：令11()ln,12g xxxxx，则2111()12g xxx2222222121(1)()0222xxxxxg xxxx ()g x在0 x 上为减函数1x()(1)0g xg，即11ln,(1,)2xxxx上恒成立1111ln2lnln2lnln2221nnnnnnnn1 11ln221nn得证12 分解法二：222222221111234(1)sinsinsinsinln234(1)1 32 43 5(2)nnn n11ln2ln2ln22nnnn*111 11ln0,ln2lnln2ln22221nnnNnnnn得证12 分