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1、一选择题（共一选择题（共 7 小题）小题）1已知如图等腰ABC，AB=AC，BAC=120，ADBC 于点 D，点 P 是 BA 延长线上一点，点 O 是线段 AD上一点，OP=OC，下面的结论：APO+DCO=30；OPC 是等边三角形；AC=AO+AP；SABC=S四边形AOCP其中正确的有（）个ABCD2如图，四边形 ABCD 是直角梯形，ABCD，ADAB，点 P 是腰 AD 上的一个动点，要使 PC+PB 最小，则点P 应该满足（）APB=PCBPA=PDCBPC=90DAPB=DPC3如图，ABC 是等腰直角三角形，DEF 是一个含 30角的直角三角形，将 D 放在 BC 的中点上
2、，转动DEF，设 DE，DF 分别交 AC，BA 的延长线于 E，G，则下列结论：AG=CEDG=DEBGAC=CESBDGSCDE=SABC其中总是成立的是（）ABCD4如图：ABC 中，ACB=90，CAD=30，AC=BC=AD，CECD，且 CE=CD，连接 BD，DE，BE，则下列结论：ECA=165，BE=BC；ADBE；=1其中正确的是（）ABCD5如图，BCAM，A=90，BCD=75，点 E 在 AB 上，CDE 为等边三角形，BM 交 CD 于 F，下列结论：ADE=45，AB=BC，EFCD，若AMB=30，则 CF=DF其中正确的有（）ABCD6如图，在ABC 中，AB
3、=AC，BAC=90，直角EPF 的顶点 P 是 BC 的中点，两边 PE、PF 分别交 AB、AC于点 E、F，连接 EF 交 AP 于 G给出四个结论：AE=CF；EF=AP；EPF 是等腰直角三角形；AEP=AGF其中正确的结论有（）A1 个B2 个C3 个D4 个7如图，AM、BE 是ABC 的角平分线，AM 交 BE 于 N，ALBE 于 F 交 BC 于 L，若ABC=2C，下列结论：BE=EC；BF=AE+EF；AC=BM+BL；MAL=ABC，其中正确的结论是（）ABCD二解答题（共二解答题（共 8 小题）小题）8如图，在ABC 中，AB=AC，E 在线段 AC 上，D 在 A
4、B 的延长线，连 DE 交 BC 于 F，过点 E 作 EGBC 于G（1）若A=50，D=30，求GEF 的度数；wW w.（2）若 BD=CE，求证：FG=BF+CG9如图，直角坐标系中，点 B（a，0），点 C（0，b），点 A 在第一象限若 a，b 满足（at）2+|bt|=0（t0）（1）证明：OB=OC；（2）如图 1，连接 AB，过 A 作 ADAB 交 y 轴于 D，在射线 AD 上截取 AE=AB，连接 CE，F 是 CE 的中点，连接 AF，OA，当点 A 在第一象限内运动（AD 不过点 C）时，证明：OAF 的大小不变；（3）如图 2，B与 B 关于 y 轴对称，M 在线
5、段 BC 上，N 在 CB的延长线上，且 BM=NB，连接 MN 交 x 轴于点 T，过 T 作 TQMN 交 y 轴于点 Q，求点 Q 的坐标10如图 1，在平面直角坐标系中，点 A（4，4），点 B、C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，S四边形OBAC=16（1）COA 的值为_；（2）求CAB 的度数；（3）如图 2，点 M、N 分别是 x 轴正半轴及射线 OA 上一点，且 OHMN 的延长线于 H，满足HON=NMO，请探究两条线段 MN、OH 之间的数量关系，并给出证明11如图，已知 A（a，b），ABy 轴于 B，且满足+（b2）2=0，（1）求 A 点坐标；（2）分别以 AB，
6、AO 为边作等边三角形ABC 和AOD，如图 1 试判定线段 AC 和 DC 的数量关系和位置关系（3）如图 2 过 A 作 AEx 轴于 E，F，G 分别为线段 OE，AE 上的两个动点，满足FBG=45，试探究的值是否发生变化？如果不变，请说明理由并求其值；如果变化，请说明理由12（2013日照）问题背景：如图（a），点 A、B 在直线 l 的同侧，要在直线 l 上找一点 C，使 AC 与 BC 的距离之和最小，我们可以作出点 B 关于 l 的对称点 B，连接 A B与直线 l 交于点 C，则点 C 即为所求（1）实践运用：如图（b），已知，O 的直径 CD 为 4，点 A 在O 上，AC
7、D=30，B 为弧 AD 的中点，P 为直径 CD 上一动点，则 BP+AP 的最小值为_（2）知识拓展：如图（c），在 RtABC 中，AB=10，BAC=45，BAC 的平分线交 BC 于点 D，E、F 分别是线段 AD 和 AB 上的动点，求 BE+EF 的最小值，并写出解答过程13（2013六盘水）（1）观察发现如图（1）：若点 A、B 在直线 m 同侧，在直线 m 上找一点 P，使 AP+BP 的值最小，做法如下：作点 B 关于直线 m 的对称点 B，连接 AB，与直线 m 的交点就是所求的点 P，线段 AB的长度即为 AP+BP 的最小值如图（2）：在等边三角形 ABC 中，AB=
8、2，点 E 是 AB 的中点，AD 是高，在 AD 上找一点 P，使 BP+PE 的值最小，做法如下：作点 B 关于 AD 的对称点，恰好与点 C 重合，连接 CE 交 AD 于一点，则这点就是所求的点 P，故 BP+PE 的最小值为_（2）实践运用如图（3）：已知O 的直径 CD 为 2，的度数为 60，点 B 是的中点，在直径 CD 上作出点 P，使 BP+AP的值最小，则 BP+AP 的值最小，则 BP+AP 的最小值为_（3）拓展延伸如图（4）：点 P 是四边形 ABCD 内一点，分别在边 AB、BC 上作出点 M，点 N，使 PM+PN+MN 的值最小，保留作图痕迹，不写作法14（2
9、013抚顺）在 RtABC 中，ACB=90，A=30，点 D 是 AB 的中点，DEBC，垂足为点 E，连接 CD（1）如图 1，DE 与 BC 的数量关系是_；（2）如图 2，若 P 是线段 CB 上一动点（点 P 不与点 B、C 重合），连接 DP，将线段 DP 绕点 D 逆时针旋转 60，得到线段 DF，连接 BF，请猜想 DE、BF、BP 三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点 P 是线段 CB 延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图 3 中补全图形，并直接写出 DE、BF、BP 三者之间的数量关系15（2013东营）（1）如图（1），已知：在ABC 中，BAC=90，A
10、B=AC，直线 m 经过点 A，BD直线 m，CE直线 m，垂足分别为点 D、E证明：DE=BD+CE（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB=AC，D、A、E 三点都在直线 m 上，并且有BDA=AEC=BAC=，其中为任意锐角或钝角请问结论 DE=BD+CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由（3）拓展与应用：如图（3），D、E 是 D、A、E 三点所在直线 m 上的两动点（D、A、E 三点互不重合），点 F 为BAC 平分线上的一点，且ABF 和ACF 均为等边三角形，连接 BD、CE，若BDA=AEC=BAC，试判断DEF 的形状参考答案与试题解析参
11、考答案与试题解析一选择题（共一选择题（共 7 小题）小题）1已知如图等腰ABC，AB=AC，BAC=120，ADBC 于点 D，点 P 是 BA 延长线上一点，点 O 是线段 AD上一点，OP=OC，下面的结论：APO+DCO=30；OPC 是等边三角形；AC=AO+AP；SABC=S四边形AOCP其中正确的有（）个ABCD考点：等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质4387773分析：利用等边对等角，即可证得：APO=ABO，DCO=DBO，则APO+DCO=ABO+DBO=ABD，据此即可求解；证明POC=60且 OP=OC，即可证得OPC 是等边三角形；首
12、先证明OPACPE，则 AO=CE，AC=AE+CE=AO+AP过点 C 作 CHAB 于 H，根据 S四边形AOCP=SACP+SAOC，利用三角形的面积公式即可求解解答：解：连接 OB，AB=AC，ADBC，BD=CD，BAD=BAC=120=60，OB=OC，ABC=90BAD=30，OP=OC，OB=OC=OP，APO=ABO，DCO=DBO，APO+DCO=ABO+DBO=ABD=30；故正确；APC+DCP+PBC=180，APC+DCP=150，APO+DCO=30，OPC+OCP=120，POC=180（OPC+OCP）=60，OP=OC，OPC 是等边三角形；故正确；在 AC
13、 上截取 AE=PA，PAE=180BAC=60，APE 是等边三角形，PEA=APE=60，PE=PA，APO+OPE=60，OPE+CPE=CPO=60，APO=CPE，OP=CP，在OPA 和CPE 中，OPACPE（SAS），AO=CE，AC=AE+CE=AO+AP；故正确；过点 C 作 CHAB 于 H，PAC=DAC=60，ADBC，CH=CD，SABC=ABCH，S四边形AOCP=SACP+SAOC=APCH+OACD=APCH+OACH=CH（AP+OA）=CHAC，SABC=S四边形AOCP；故正确故选 D点评：本题考查了等腰 三角形的判定与性质，关键是正确作出辅助线2如图，
14、四边形 ABCD 是直角梯形，ABCD，ADAB，点 P 是腰 AD 上的一个动点，要使 PC+PB 最小，则点P 应该满足（）APB=PCBPA=PDCBPC=90DAPB=DPC考点：轴对称-最短路线问题；直角梯形4387773wW w.专题：压轴题；动点型分析：首先根据轴对称的知识，可知 P 点的位置是连接点 B 和点 C 关于 AD 的对称点 E 与 AD 的交点，利用轴对称和对顶角相等的性质可得解答：解：如图，作点 C 关于 AD 的对称点 E，连接 BE 交 AD 于 P，连接 CP根据轴对称的性质，得DPC=EPD，根据对顶角相等知APB=EPD，所以APB=DPC故选 D点评：
15、此题的关键是应知点 P 是怎样确定的要找直线上一个点和直线同侧的两个点的距离之和最小，则需要利用轴对称的性质进行确定3如图，ABC 是等腰直角三角形，DEF 是一个含 30角的直角三角形，将 D 放在 BC 的中点上，转动DEF，设 DE，DF 分别交 AC，BA 的延长线于 E，G，则下列结论：AG=CEDG=DEBGAC=CESBDGSCDE=SABC其中总是成立的是（）ABCD考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质4387773专题：开放型分析：连 DA，由ABC 是等腰直角三角形，D 点为 BC 的中点，根据等腰直角三角形的性质得 ADBC，AD=DC，ACD=CAD=45，得到GA
16、D=ECD=135，由EDF=90，根据同角的余角相等得到1=2，所以DAGDCE，AG=EC，DG=DE，由此可分别判断解答：解：连 DA，如图，ABC 是等腰直角三角形，D 点为 BC 的中点，ADBC，AD=DC，ACD=CAD=45，GAD=ECD=135，又DEF 是一个含 30角的直角三角形，EDF=90，1=2，DAGDCE，AG=EC，DG=DE，所以正确；AB=AC，BGAC=BGAB=AG=EC，所以正确；SBDGSCDE=SBDGSADG=SADB=SABC所以正确故选 B点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点
17、到旋转中心的距离相等也考查了等腰直三角形的性质，特别是斜边上的中线垂直斜边并且等于斜边的一半4如图：ABC 中，ACB=90，CAD=30，AC=BC=AD，CECD，且 CE=CD，连接 BD，DE，BE，则下列结论：ECA=165，BE=BC；ADBE；=1其中正确的是（）ABCD考点：等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形4387773分析：根据：CAD=30，AC=BC=AD，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出ECA=165，从而得证结论正确；根据 CECD，ECA=165，利用 SAS 求证ACDBCE 即可得出结论；根
18、据ACB=90，CAD=30，AC=BC，利用等腰三角形的性质和ACDBCE，求出CBE=30，然后即可得出结论；过 D 作 DMAC 于 M，过 D 作 DNBC 于 N由CAD=30，可得 CM=AC，求证CMDCND，可得 CN=CM=AC=BC，从而得出 CN=BN然后即可得出结论解答：解：CAD=30，AC=BC=AD，ACD=ADC=（18030）=75，CECD，DCE=90，ECA=165正确；CECD，ECA=165（已证），BAE=ECAACB=16590=75，ACDBCE（SAS），BE=BC，正确；ACB=90，CAD=30，AC=BC，CAB=ACB=45BAD=B
19、ACCAD=4530=15，ACDBCE，CBE=30，ABF=45+30=75，AFB=1801575=90，ADBE证明：如图，过 D 作 DMAC 于 M，过 D 作 DNBC 于 NCAD=30，且 DM=AC，AC=AD，CAD=30，ACD=75，NCD=90ACD=15，MDC=DMCACD=15，CMDCND，CN=CM=AC=BC，CN=BNDNBC，BD=CD正确所以 4 个结论都正确故选 D点评：此题主要考查等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含 30 度角的直角三角形等知识点的理解和掌握，此题有一定的拔高难度，属于难题5如图，BCAM，A=9
20、0，BCD=75，点 E 在 AB 上，CDE 为等边三角形，BM 交 CD 于 F，下列结论：ADE=45，AB=BC，EFCD，若AMB=30，则 CF=DF其中正确的有（）ABCD考点：直角梯形；等边三角形的性质；含 30 度角的直角三角形；等腰直角三角形4387773分析：由 BCAM 得CDA=105，根据等边三角形的性质得CDE=60，则EDA=10560=45；过 C 作CGAM，则四边形 ABCG 为矩形，于是DCG=90BCD=15，而BCE=7560=15，易证得RtCBERtCGD，则 BC=CG，得到 AB=BC；由于 AG=BC，而 AGMD，则 CF：FD=BC：M
21、D1，不能得到 F 点是 CD 的中点，根据等边三角形的性质则不能得到EFCD；若AMB=30，则CBF=30，在 RtAMB 中根据含 30 度的直角三角形三边的关系得到BM=2AB，则 BM=2BC，易得BFC=75，所以 BF=BC，得 MF=BF，由 CBAM 得 CF：FD=BF：MF=1，即可有 CF=DF解答：解：BCAM，BCD+CDA=180，BCD=75，CDA=105，CDE 为等边三角形，CDE=60，EDA=10560=45，所以正确；过 C 作 CGAM，如图，A=90，四边形 ABCG 为矩形，DCG=90BCD=15，而CDE 为等边三角形，DCE=60，CE=
22、CD，BCE=7560=15，RtCBERtCGD，BC=CG，AB=BC，所以正确；AG=BC，而 AGMD，CF：FD=BC：MD1，F 点不是 CD 的中点，EF 不垂直 CD，所以错误；若AMB=30，则CBF=30，在 RtAMB 中，BM=2AB，BM=2BC，BCD=75，BFC=1803075=75，BF=BC，MF=BF，而 CBAM，CF：FD=BF：MF=1，CF=FD，所以正确故选 B点评：本题考查了直角梯形的性质：有一组对边平行，另一组对边不平行，且有一个直角也考查了矩形和等边三角形的性质、含 30 度的直角三角形三边的关系以及相似三角形的判定与性质6如图，在ABC
23、中，AB=AC，BAC=90，直角EPF 的顶点 P 是 BC 的中点，两边 PE、PF 分别交 AB、AC于点 E、F，连接 EF 交 AP 于 G给出四个结论：AE=CF；EF=AP；EPF 是等腰直角三角形；AEP=AGF其中正确的结论有（）A1 个B2 个C3 个D4 个考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形4387773分析：根据等腰直角三角形的性质得：APBC，AP=BC，AP 平分BAC 所以可证C=EAP；FPC=EPA；AP=PC即证得APE 与CPF 全等根据全等三角形性质判断结论是否正确解答：解：AB=AC，BAC=90，直角EPF 的顶点 P 是 BC 的中点，A
24、PBC，AP=BC=PC，BAP=CAP=45=CAPF+FPC=90，APF+APE=90，FPC=EPAAPECPF（ASA）AE=CF；EP=PF，即EPF 是等腰直角三角形；ABC 是等腰直角三角形，P 是 BC 的中点，AP=BC，EF 不是ABC 的中位线，EFAP，故错误；AGF=EGP=180APEPEF=180APE45，AEP=180APEEAP=180APE45，AEP=AGF故正确的有、，共三个因此选 C点评：此题考查全等三角形的判定和性质，综合性较强7如图，AM、BE 是ABC 的角平分线，AM 交 BE 于 N，ALBE 于 F 交 BC 于 L，若ABC=2C，下
25、列结论：BE=EC；BF=AE+EF；AC=BM+BL；MAL=ABC，其中正确的结论是（）ABCD考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质4387773分析：根据角平分线定义求出ABE=EBC=C，根据等角对等边求出 BE=CE，即可判断；证ABEACB，推出 AB2=AEAC，求出 AF2=AB2BF2=AE2EF2，把 AB2=AEAC 代入入上式即可求出 BF=AE+EF，即可判断；延长 AB 到 N，使 BN=BM，连接 MN，证AMCAMN，AFBBLF，推出 AB=BL，即可判断；设LAC=x，LAM=y，则BAM=MAC=（x+y），证AFBBLF 推出BAF=BL
26、F，BAF=BAM+MAL=x+y+y，BLA=C+LAC=C+x，得出方程 x+y+y=C+x，求出C=2y，ABC=4y，即可判断解答：解：BE 是ABC 的角平分线，EBC=ABE=ABC，ABC=2C，ABE=EBC=C，BE=EC，正确；ABE=ACB，BAC=EABABEACB，=，AB2=AEAC，在 RtAFB 与 RtAFE 中，由勾股定理得：AF2=AB2BF2=AE2EF2，把 AB2=AEAC 代入入上式得：AEACBF2=AE2EF2，则 BF2=ACAEAE2+EF2=AE（ACAE）+EF2=AEEC+EF2=AEBE+EF2，即（BEEF）2=AEBE+EF2，
27、BE22BEEF+EF2=AEBE+EF2，BE22BEEF=AEBE，BE2EF=AE，BEEF=AE+EF，即 BF=AE+EF，正确；延长 AB 到 N，使 BN=BM，连接 MN，则BMN为等腰三角形，BNM=BMN，BNM 的一个外角ABC=BNM+BMN=2BNM，则BNM=ACB，在AMC 与AMN中，AMCAMN（AAS），AN=AC=AB+BN=AB+BM，又ALBE，AFB=LFB=90，在AFB 与LFB 中，AFBBLF（ASA），AB=BL，则 AN=AC=AB+BN=AB+BM=BM+BL，即 AC=BM+BL，正确；设LAC=x，LAM=y，AM 平分BAC，BA
28、M=MAC=（x+y）AFBBLF，BAF=BLF，BAF=BAM+MAL=x+y+y，BLA=C+LAC=C+x，x+y+y=C+x，C=2y，ABC=2C，ABC=4y，即MAL=ABC，正确故选 C点评：本题考查了勾股定理，相似三角形的性质和判定，角平分线性质，相似三角形的性质和判定等知识点的综合运用二解答题（共二解答题（共 8 小题）小题）8如图，在ABC 中，AB=AC，E 在线段 AC 上，D 在 AB 的延长线，连 DE 交 BC 于 F，过点 E 作 EGBC 于G（1）若A=50，D=30，求GEF 的度数；（2）若 BD=CE，求证：FG=BF+CG考点：等腰三角形的性质；
29、全等三角形的判定与性质4387773专题：证明题分析：（1）根据等腰三角形两底角相等求出C，再根据直角三角形两锐角互余求出CEG，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出CEF，然后计算即可得解；（2）过点 E 作 EHAB 交 BC 于 H，根据两直线平行，同位角相等可得ABC=EHC，内错角相等可得D=FEH，然后求出EHC=C，再根据等角对等边可得 EC=EH，然后求出 BD=EH，再利用“角角边”证明BDF 和HEF 全等，根据全等三角形对应边相等可得 BF=FH，根据等腰三角形三线合一的性质可得CG=HG，即可得证解答：（1）解：A=50，wW w.C=（180A）=
30、（18050）=65，EGBC，CEG=90C=9065=25，A=50，D=30，CEF=A+D=50+30=80，GEF=CEFCEG=8025=55；（2）证明：过点 E 作 EHAB 交 BC 于 H，则ABC=EHC，D=FEH，AB=AC，ABC=C，EHC=C，EC=EH，BD=CE，BD=EH，在BDF 和HEF 中，BDFHEF（AAS），BF=FH，又EC=EH，EGBC，CG=HG，FG=FH+HG=BF+CG点评：本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，主要利用了等腰三角形两底角相等的性质，等角对等边的性质，（2）作辅助线构造出全等三角形是解题的关键9如图，
31、直角坐标系中，点 B（a，0），点 C（0，b），点 A 在第一象限若 a，b 满足（at）2+|bt|=0（t0）（1）证明：OB=OC；（2）如图 1，连接 AB，过 A 作 ADAB 交 y 轴于 D，在射线 AD 上截取 AE=AB，连接 CE，F 是 CE 的中点，连接 AF，OA，当点 A 在第一象限内运动（AD 不过点 C）时，证明：OAF 的大小不变；（3）如图 2，B与 B 关于 y 轴对称，M 在线段 BC 上，N 在 CB的延长线上，且 BM=NB，连接 MN 交 x 轴于点 T，过 T 作 TQMN 交 y 轴于点 Q，求点 Q 的坐标考点：全等三角形的判定与性质；非负
32、数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；坐标与图形性质；等腰直角三角形4387773分析：（1）根据 a=t，b=t，推出 a=b 即可；（2）延长 AF 至 T，使 TF=AF，连接 TC，TO，证TCFAEF，推出 CT=AE，TCF=AEF，再证TCOABO，推出 TO=AO，TOC=AOB，求出TAO 为等腰直角三角形即可；（3）连接 MQ，NQ，BQ，BQ，过 M 作 MHCN 交 x 轴于 H，证NTBMTH，推出 TN=MT，证NQBMQB，推出NBQ=CBQ，求出BQB是等腰直角三角形即可解答：（1）解：a，b 满足（at）2+|bt|=0（t0）at=0，bt=0，a=t，b
33、=t，a=b，B（t，0），点 C（0，t）OB=OC；（2）证明：延长 AF 至 T，使 TF=AF，连接 TC，TO，F 为 CE 中点，CF=EF，在TCF 和AEF 中TCFAEF（SAS），CT=AE，TCF=AEF，TCAD，TCD=CDA，AB=AE，TC=AB，ADAB，OBOC，COB=BAD=90，ABO+ADO=180，ADO+ADC=180，ADC=ABC，TCD=CDA，TCD=ABO，在TCO 和ABO 中TCOABO（SAS），TO=AO，TOC=AOB，AOB+AOC=90，TOC+AOC=90，TAO 为等腰直角三角形，OAF=45；（3）解：连接 MQ，NQ
34、，BQ，BQ，过 M 作 MHCN 交 x 轴于 H，B 和 B关于关于 y 轴对称，C 在 y 轴上，CB=CB，CBB=CBB，MHCN，MHB=CBB，MHB=CBB，MH=BM，BM=BN，MH=BN，MHCN，NBT=MHT，在NTB和MTH 中NTBMTH，TN=MT，又 TQMN，MQ=NQ，CQ 垂直平分 BB，BQ=BQ，在NQB和MQB 中NQBMQB（SSS），NBQ=CBQ，而NBQ+CBQ=180CBQ+CBQ=180BCB+BQB=180，又BCB=90，BQB=90BQB是等腰直角三角形，OQ=OB=t，Q（0，t）点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图
35、形性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，相等垂直平分线，偶次方，绝对值等知识点的综合运用10如图 1，在平面直角坐标系中，点 A（4，4），点 B、C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，S四边形OBAC=16（1）COA 的值为45；（2）求CAB 的度数；（3）如图 2，点 M、N 分别是 x 轴正半轴及射线 OA 上一点，且 OHMN 的延长线于 H，满足HON=NMO，请探究两条线段 MN、OH 之间的数量关系，并给出证明考点：全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质4387773分析：（1）过 A 作 ANOC 于 N，AMOB 于 M，得出正方形 NOMA，根据正方形性质
36、求出COA=COB，代入求出即可；（2）求出 CN=BM，证ANCAMB，推出NAC=MAB，求出CAB=NAM，即可求出答案；（3）求出HON=NMO=22.5，延长 OH 至点 P 使 PH=OH，连接 MP 交 OA 于 L，求出HON=NMO=LMN，求出 OL=ML，证OLPMLN，推出 MN=OP，即可得出答案解答：解：（1）过 A 作 ANOC 于 N，AMOB 于 M，则ANO=AMO=COB=90，A（4，4），AN=AM=4，四边形 NOMA 是正方形，COA=COB=90=45故答案为：45；（2）四边形 NOMA 是正方形，AM=AN=4，OM=ON=4，OCAN+OB
37、AM=16，OC+OB=8=ON+OM，即 ONOC=OBOM，CN=BM，在ANC 和AMB 中，ANCAMB（SAS），NAC=MAB，CAB=CAM+MAB=NAM=360909090=90，即CAB=90；（3）MN=2OH，证明：在 RtOMH 中，HON+NMO+NOM=90，又NOM=45，HON=NMO，HON=NMO=22.5，延长 OH 至点 P 使 PH=OH，连接 MP 交 OA 于 L，OM=MP，OMP=2OMN=45，HON=NMO=LMN，OLM=90=PLO，OL=ML，在OLP 和MLN 中，OLPMLN（ASA），MN=OP，OP=2HO，MN=2HO点评
38、：本题考查了坐标与图形性质，等腰三角形的性质和判定，正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，题目综合性比较强，有一定的难度11如图，已知 A（a，b），ABy 轴于 B，且满足+（b2）2=0，（1）求 A 点坐标；（2）分别以 AB，AO 为边作等边三角形ABC 和AOD，如图 1 试判定线段 AC 和 DC 的数量关系和位置关系（3）如图 2 过 A 作 AEx 轴于 E，F，G 分别为线段 OE，AE 上的两个动点，满足FBG=45，试探究的值是否发生变化？如果不变，请说明理由并求其值；如果变化，请说明理由考点：全等三角形的判定与性质；非负数的性质：偶次方；非负数的性质
39、：算术平方根；坐标与图形性质；等边三角形的性质4387773专题：探究型分析：（1）根据二次根式以及偶次方都是非负数，两个非负数的和是 0，则每个数一定同时等于 0，即可求解；（2）连接 OC，只要证明 OC 是AOD 的角平分线即可判断 AC=CD，求出ACD 的度数即可判断位置关系；（3）延长 GA 至点 M，使 AM=OF，连接 BM，由全等三角形的判定定理得出BAMBOF，FBGMBG，故可得出 FG=GM=AG+OF，由此即可得出结论解答：解：（1）根据题意得：a2=0 且 b2=0，解得：a=2，b=2，则 A 的坐标是（2，2）；（2）AC=CD，且 ACCD如图 1，连接 OC
40、，CD，A 的坐标是（2，2），AB=OB=2，ABC 是等边三角形，OBC=30，OB=BC，BOC=BCO=75，在直角ABO 中，BOA=45，AOC=BOCBOA=7545=30，OAD 是等边三角形，DOC=AOC=30，即 OC 是AOD 的角平分线，OCAD，且 OC 平分 AD，AC=DC，ACO=DCO=60+75=135，ACD=360135135=90，ACCD，故 AC=CD，且 ACCD（3）不变延长 GA 至点 M，使 AM=OF，连接 BM，在BAM 与BOF 中，BAMBOF（SAS），ABM=OBF，BF=BM，OBF+ABG=90FBG=45，MBG=45，
41、在FBG 与MBG 中，FBGMBG（SAS），FG=GM=AG+OF，=1点评：本题考查的是全等三角形的判定与性质，涉及到非负数的性质及等边三角形的性质等知识，难度适中12（2013日照）问题背景：如图（a），点 A、B 在直线 l 的同侧，要在直线 l 上找一点 C，使 AC 与 BC 的距离之和最小，我们可以作出点 B 关于 l 的对称点 B，连接 A B与直线 l 交于点 C，则点 C 即为所求wW w.（1）实践运用：如图（b），已知，O 的直径 CD 为 4，点 A 在O 上，ACD=30，B 为弧 AD 的中点，P 为直径 CD 上一动点，则 BP+AP 的最小值为2（2）知识拓
42、展：如图（c），在 RtABC 中，AB=10，BAC=45，BAC 的平分线交 BC 于点 D，E、F 分别是线段 AD 和 AB 上的动点，求 BE+EF 的最小值，并写出解答过程考点：轴对称-最短路线问题4387773分析：（1）找点 A 或点 B 关于 CD 的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和 MN 的交点 P 就是所求作的位置根据题意先求出CAE，再根据勾股定理求出 AE，即可得出 PA+PB 的最小值；（2）首先在斜边 AC 上截取 AB=AB，连结 BB，再过点 B作 BFAB，垂足为 F，交 AD 于 E，连结 BE，则线段 BF 的长即为所求解答：解：（1）作点 B
43、 关于 CD 的对称点 E，连接 AE 交 CD 于点 P此时 PA+PB 最小，且等于 AE作直径 AC，连接 CE根据垂径定理得弧 BD=弧 DEACD=30，AOD=60，DOE=30，AOE=90，CAE=45，又 AC为圆的直径，AEC=90，C=CAE=45，CE=AE=AC=2，即 AP+BP 的最小值是 2故答案为：2；（2）如图，在斜边 AC 上截取 AB=AB，连结 BBAD 平分BAC，点 B 与点 B关于直线 AD 对称过点 B作 BFAB，垂足为 F，交 AD 于 E，连结 BE，则线段 BF 的长即为所求（点到直线的距离最短）在 RtAFB中，BAC=45，AB=A
44、B=10，BF=ABsin45=ABsin45=10=5，BE+EF 的最小值为点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及锐角三角函数关系等知识，根据已知得出对应点 P 位置是解题关键13（2013六盘水）（1）观察发现如图（1）：若点 A、B 在直线 m 同侧，在直线 m 上找一点 P，使 AP+BP 的值最小，做法如下：作点 B 关于直线 m 的对称点 B，连接 AB，与直线 m 的交点就是所求的点 P，线段 AB的长度即为 AP+BP 的最小值如图（2）：在等边三角形 ABC 中，AB=2，点 E 是 AB 的中点，AD 是高，在 AD 上找一点 P，使 BP+PE 的值最小，做法
45、如下：作点 B 关于 AD 的对称点，恰好与点 C 重合，连接 CE 交 AD 于一点，则这点就是所求的点 P，故 BP+PE 的最小值为（2）实践运用如图（3）：已知O 的直径 CD 为 2，的度数为 60，点 B 是的中点，在直径 CD 上作出点 P，使 BP+AP的值最小，则 BP+AP 的值最小，则 BP+AP 的最小值为（3）拓展延伸如图（4）：点 P 是四边形 ABCD 内一点，分别在边 AB、BC 上作出点 M，点 N，使 PM+PN+MN 的值最小，保留作图痕迹，不写作法考点：圆的综合题；轴对称-最短路线问题4387773专题：压轴题分析：（1）观察发现：利用作法得到 CE 的
46、长为 BP+PE 的最小值；由 AB=2，点 E 是 AB 的中点，根据等边三角形的性质得到 CEAB，BCE=BCA=30，BE=1，再根据含 30 度的直角三角形三边的关系得 CE=；（2）实践运用：过 B 点作弦 BECD，连结 AE 交 CD 于 P 点，连结 OB、OE、OA、PB，根据垂径定理得到 CD 平分 BE，即点 E 与点 B 关于 CD 对称，则 AE 的长就是 BP+AP 的最小值；由于的度数为 60，点 B 是的中点得到BOC=30，AOC=60，所以AOE=60+30=90，于是可判断OAE 为等腰直角三角形，则 AE=OA=；（3）拓展延伸：分别作出点 P 关于
47、AB 和 BC 的对称点 E 和 F，然后连结 EF，EF 交 AB 于 M、交 BC 于 N解答：解：（1）观察发现如图（2），CE 的长为 BP+PE 的最小值，在等边三角形 ABC 中，AB=2，点 E 是 AB 的中点CEAB，BCE=BCA=30，BE=1，CE=BE=；故答案为；（2）实践运用如图（3），过 B 点作弦 BECD，连结 AE 交 CD 于 P 点，连结 OB、OE、OA、PB，BECD，CD 平分 BE，即点 E 与点 B 关于 CD 对称，的度数为 60，点 B 是的中点，BOC=30，AOC=60，EOC=30，AOE=60+30=90，OA=OE=1，AE=O
48、A=，AE 的长就是 BP+AP 的最小值故答案为；（3）拓展延伸如图（4）点评：本题考查了圆的综合题：弧、弦和圆心角之间的关系以及圆周角定理在有关圆的几何证明中经常用到，同时熟练掌握等边三角形的性质以及轴对称最短路径问题14（2013抚顺）在 RtABC 中，ACB=90，A=30，点 D 是 AB 的中点，DEBC，垂足为点 E，连接 CD（1）如图 1，DE 与 BC 的数量关系是DE=BC；（2）如图 2，若 P 是线段 CB 上一动点（点 P 不与点 B、C 重合），连接 DP，将线段 DP 绕点 D 逆时针旋转 60，得到线段 DF，连接 BF，请猜想 DE、BF、BP 三者之间的
49、数量关系，并证明你的结论；（3）若点 P 是线段 CB 延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图 3 中补全图形，并直接写出 DE、BF、BP 三者之间的数量关系考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形4387773分析：（1）由ACB=90，A=30得到B=60，根据直角三角形斜边上中线性质得到 DB=DC，则可判断DCB为等边三角形，由于 DEBC，DE=BC；（2）根据旋转的性质得到PDF=60，DP=DF，易得CDP=BDF，则可根据“SAS”可判断DCPDBF，则 CP=BF，利用 CP=BCBP，DE=BC 可得到 BF+BP=DE；（3）
50、与（2）的证明方法一样得到DCPDBF 得到 CP=BF，而 CP=BC+BP，则 BFBP=BC，所以 BFBP=DE解答：解：（1）ACB=90，A=30，B=60，点 D 是 AB 的中点，DB=DC，DCB 为等边三角形，DEBC，DE=BC；故答案为 DE=BC（2）BF+BP=DE理由如下：线段 DP 绕点 D 逆时针旋转 60，得到线段 DF，PDF=60，DP=DF，而CDB=60，CDBPDB=PDFPDB，CDP=BDF，在DCP 和DBF 中，DCPDBF（SAS），CP=BF，而 CP=BCBP，BF+BP=BC，DE=BC，BC=DE，BF+BP=DE；（3）如图，与