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1、第四节一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法第一类（对面积）曲面积分 第十一章 所谓曲面光滑：曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.若的密度是均匀的，即则一、第一类（对面积）曲面积分的概念与性质一、第一类（对面积）曲面积分的概念与性质引例引例:设光滑曲面形构件具有连续面密度求质 量 M.若曲面为不均匀的，则类似求平面薄板质量的思想,采用“大化小,常代变,近似和,求极限”分割：分割：用一组曲线网将 分成n 个小曲面 近似并作和，近似并作和，求质量的近似值取极限，取极限，求质量的精确值
2、其中,表示 n 小块曲面的直径的最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).定义：定义：设曲面设曲面 是光滑的，是光滑的，f(x,y,z)在在 上有界上有界首先，用任意一组曲线网将首先，用任意一组曲线网将 分成分成 n 个小曲面个小曲面 直径分别为：直径分别为：其次，在每个小曲面其次，在每个小曲面并取并取若若上上任意取一点任意取一点作作乘积乘积并作和并作和存在，且与存在，且与 的分法及点的分法及点 的的取法无关，取法无关，则称该则称该极限为极限为 f(x,y,z)在在 上上对面积的曲面积分对面积的曲面积分，或第一类曲面积分.其中 f(x,y,z)叫做被积 曲面形构件的质量为曲面面积曲面面
3、积为记作函数,叫做积分曲面.即几点说明：几点说明：对面积的曲面积分具有以下两个主要特征对面积的曲面积分具有以下两个主要特征 积分和是在曲面积分和是在曲面 上作出的；上作出的；积分和中的微元素是小块曲面的面积。积分和中的微元素是小块曲面的面积。则对面积的曲面积分存在.对积分域的可加性.则有 不等式性质.在光滑曲面 上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.积分的存在性.若 是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面若若在在 上，上，及及定理定理:设有光滑曲面f(x,y,z)在 上连续,存在,且有二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分计算的关键是曲面积元素曲面积元素
4、dS即：第一类曲面积分的计算分解为二重积分的计算二重积分的计算曲面积元素曲面积元素设光滑曲面则面积 S 可看成曲面上各点处小切平面的面积 d A 无限积累而成.设d A对应在 D 上的投影为 d,(称为面积元素)则根据面积元素公式得曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即（2）确定在xoy 面上的投影区域（3）将曲面方程及代入中即可。（1）确定 的方程:一投、二代、三换若若光滑曲面说明说明:1)如果曲面方程为3)若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下dS 的表达式,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分.2）若）若 是是 xoy 面上的一个闭区域面上的一个闭区域 D 时，则时，则 例例1.计算
5、曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.解解:思考思考:若 是球面被平行平面 z=h 截出的上下两部分,则例例2.计算其中 是由平面坐标面所围成的四面体的表面.解解:设上的部分,则与 原式=分别表示 在平面 在前3个曲面上被积函数为0例例3.设计算解解:锥面与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的投影域为则 思考思考:若例3 中被积函数改为计算结果如何?解：解：依对称性求曲面积分依对称性求曲面积分例例4.计算 为抛物面 （）.为第一卦限部分曲面例例5.解解:平面及所围成的空间立体的表面.解解:（1）（2）例例5.平面及所围成的空间立体的表面.对称性解解:（3）显然关于xoz
6、面对称，被积函数关于y为偶函数，所以为位于xoz面右边的半片即例例5.平面及所围成的空间立体的表面.解解:例例5.及所围成的空间立体的表面.平面（3）若不若不利用对利用对称性，如何称性，如何计算？计算？例例6.解解：方法方法1 1 关于三个坐标面均对称而被积函数关于x,y,z均是偶函数所以例例6.解解：方法方法2 2 坐标轮换性 的方程关于x,y,z 对称，故重要技巧：重要技巧：利用曲面方程化简被积函数。例例6.解解：例例7.计算其中 是球面利用对称性可知解解:显然球心为半径为利用重心公式例例8.计算其中 是介于平面之间的圆柱面分析分析:若将曲面分为前后(或左右)则解解:取曲面面积元素两片,则计算较繁.内容小结内容小结1.定义:2.计算:设则(曲面的其他两种情况类似)注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式简化计算的技巧.例例1.设一卦限中的部分,则有().(2000 考研)备用题备用题 1.已知曲面壳求此曲面壳在平面 z1以上部分 的的面密度质量 M.解解:在 xoy 面上的投影为 故2.设 是四面体面,计算解解:在四面体的四个面上同上平面方程投影域作业