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1、第四节 第一类曲面积分分布图示 引例 曲面状物质的质量 第一类曲面积分的概念 第一类曲面积分的计算 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 内容小结 课堂练习 习题10-4 返回内容要点 一、第一类曲面积分的概念与性质定义1 设曲面是光滑的, 函数在上有界, 把任意分成n小块(同时也表示第i小块曲面的面积),在上任取一点作乘积并作和 如果当各小块曲面的直径的最大值时, 这和式的极限存在, 则称此极限值为在上第一类曲面积分或对面积的曲面积分，记为 (4.2)其中称为被积函数，称为积分曲面.二、对面积的曲面积分的计算法 (4.3)例题选讲对面积的曲面积分的计算法例1 计算曲面积分 其中是球
2、面被平面截出的顶部.解 的方程为在面上的投影区域又利用极坐标故有 例2 (E01) 计算 其中为平面被柱面所截得的部分.解 积分曲面其投影域故 例3 (E02) 计算其中是由平面及所围四面体的整个边界曲面(见图10-4-4).解 记边界曲面在及上的部分依次为及则有注意到在上，被积函数故上式右端前三项积分等于零.在上，所以从而其中是在面上的投影区域.例4 计算 其中为抛物面解 根据抛物面对称性,及函数关于坐标面对称,有例5 计算 其中是圆柱面平面及所围成的空间立体的表面.解 在面上得投影域于是 将投影到面上，得投影域 所以 例6 计算 为内接于球面的八面体表面.解 被积函数关于三个坐标面和原点均
3、对称.积分曲面也具有对称性,故原积分其中在面上的投影为而所以例7 (E03) 求球面含在圆柱体内部的那部分面积.解 如图10-4-5所示，根据对称性知，所求曲面面积是第一卦限上面积的4倍.的投影区域曲面方程故所以 例8 设有一颗地球同步轨道卫星, 距地面的高度为km，运行的角速度与地球自转的角速度相同. 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径km).解 取地心为坐标原点，地心到通讯卫星重心的连线为轴，建立如图坐标系.卫星覆盖的曲面是上半球面倍半顶角为的圆锥面所截得的部分. 的方程为它在面上的投影区域于是通讯卫星的覆盖面积为将代入上式得 由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为 由以上结果可知，卫星覆盖了全球三分之一以上的面积，故使用三颗相隔角度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面.课堂练习 求半径为的球的表面积.