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1、基本不等式基本不等式【学习目标】【学习目标】1.理解基本不等式的内容及其证明.2.能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小求取值范围等问题.【要点梳理】【要点梳理】要点一、基本不等式要点一、基本不等式1.对公式a b 2ab及22a bab的理解.2（1）成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数；（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b时取等号”.2.由公式a b 2ab和22a bab可以引申出常用的常用结论2ba 2（a,b同号）；abba 2（a,b异号）；aba ba2b2a b2a2b2ab(a 0,b 0)或ab ()(a
2、 0,b 0)112222ab2ab2a2b2a bab可以变形为：ab ().要点诠释：要点诠释：a b 2ab可以变形为：ab，22222要点二、基本不等式要点二、基本不等式abab 方法一：几何面积法方法一：几何面积法a a+b b的证明的证明2 2如图，在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为a、b，那么正方形的边长为a2b2.这样，4 个直角三角形的面积的和是2ab，正方形ABCD的面积为a b.由于 4 个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：22a2b2 2ab.当直角三角形变为等腰直角三角形，即a b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有a2b2
3、2ab.22得到结论：如果a,bR+，那么a b 2ab（当且仅当a b时取等号“=”）特别的，如果a 0，b 0,我们用a、b分别代替a、b，可得：如果a 0，b 0,则ab 2 ab，（当且仅当a b时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果a 0，b 0,ab 方法二：代数法方法二：代数法a2b22ab (ab)2 0，当a b时，(ab)2 0；当a b时，(ab)2 0.所以(a2b2)2ab，（当且仅当a b时取等号“=”）.要点诠释：要点诠释：特别的，如果a 0，b 0,我们用a、b分别代替a、b，可得：如果a 0，b 0,则ab 2 ab，（当且仅当a b时取等号“=”）.通常
4、我们把上式写作：ab，（当且仅当a b时取等号“=”）2a b，（当且仅当a b时取等号“=”）.2a b要点三、基本不等式要点三、基本不等式ab 的几何意义的几何意义2如图，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC a,BC b，过点C作DC AB交圆于点如果a 0，b 0,ab D，连接AD、BD.2易证RtACD RtDCB，那么CD CACB，即CD ab.这个圆的半径为a ba bab，其中当且仅当点C与圆心重合，即，它大于或等于CD，即22a b时，等号成立.要点诠释：要点诠释：1.在数学中，我们称a b为a,b的算术平均数，称ab为a,b的几何平均数.因此基本不等式可叙2述为：两
5、个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2.如果把a b看作是正数a,b的等差中项，ab看作是正数a,b的等比中项，那么基本不等式可以2叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.要点四、用基本不等式要点四、用基本不等式ab a b求最大（小）值求最大（小）值2在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等一正二定三取等.一正：一正：函数的解析式中，各项均为正数；二定：二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；三取等：三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.要点诠释：要点诠释：a bab成立的条件是不同的，前者要求a，b 都是实数，后者2(3
6、)(2)2(3)(2)是不成立要求 a，b 都是正数.如(3)2(2)2 2(3)(2)是成立的，而21两个不等式：a b 2ab与22的.2两个不等式：a b 2ab与号这句话的含义要有正确的理解.当 a=b 取等号，其含义是a b 仅当 a=b 取等号，其含义是综合上述两条，a=b 是22abab都是带有等号的不等式，对于“当且仅当时，取“=”2abab；2abab a b.2a bab的充要条件.23基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各
7、项的“和”为定值，则“积”有最大值.4利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：各项都是正数；和（或积）为定值；各项能取得相等的值.5基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；在定义域内，求出函数的最大或最小值；写出正确答案.【典型例题】【典型例题】类型一：对公式类型一：对公式a b 2ab及及例例 1.1.下列结论正确的是()A当 x0 且 x1 时，lgxB当 x0 时，x C当 x2 时，x22abab的理解的理解21 2
8、lgx1 2x1的最小值为 2x1D当 00 且 x1 时，lg x 的正负不确定，lgx11 2或lgx 2；lgxlgxC 中，当 x2 时，x15；xmin2113在(0,2上递增，x.故选 B.xxmax2D 中，当 0 x2 时，y x【总结升华】在用基本不等式求函数的最值时，必须同时具备三个条件：一一“正正”二二“定定”三三“取等取等”，缺一不可.举一反三：举一反三：【变式 1】a 0，b 0，给出下列推导，其中正确的有（填序号）.（1）ab1的最小值为2 2；ab1a1b（2）(ab)()的最小值为4；（3）a 1的最小值为2.a 4【答案】（1）；（2）（1）a 0，b 0，a
9、b112 2 ab 2 2（当且仅当a b 时取等号）.2abab1a1b2 4（当且仅当a b时取等号）.ab（2）a 0，b 0，(ab)()2 ab（3）a 0，a（当且仅当a4 111 a44 2(a4)4 2，a4a4a41，a 3时取等号）即a 4 1a41 2a 0，与a 3矛盾，上式不能取等号，即aa4【变式 2】给出下面四个推导过程：a,bR，aba b 2 2；bab a x,yR，lgxlg y 2 lgxlg y；aR，a 0，44a 2a 4；aa x,yR，xy 0，xyxyxy()()2()()2.yxyxyx其中正确的推导为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】
10、a,bR，b a,R，符合基本不等式的条件，故推导正确.a b虽然x,yR，但当x(0,1)或y(0,1)时，lg x,lg y是负数，的推导是错误的.由aR,不符合基本不等式的条件，44a 2a 4是错误的.aa由xy 0,得y xxyxy,均为负数，但在推导过程中，将整体提出负号后，()()均变为正yxx yyx数，符合基本不等式的条件，故正确.选 D.类型二：利用基本不等式证明不等式类型二：利用基本不等式证明不等式例例 2.2.已知a 3，求证:4 a 7a 3【思路点拨】对于“和”式求最小值时，要设法配凑得“积”为定值，常采用“配分母”的办法.【解析】444a(a3)3 2(a3)3
11、2 4 3 7a3a3a34 a3即a 5,等号成立）.a 3（当且仅当【总结升华】注意凑出条件，再利用基本不等式证明.举一反三：举一反三：【变式】已知x、y都是正数，求证：yx 2.xy【答案】x、y都是正数，yx 0，0，xyyxxyx y 2 2（当且仅当即x y时,等号成立）xyyxy x故yx 2.xy例例 3.3.已知a、b、c都是正数，求证：(ab)(bc)(ca)8abc【思路点拨】要把基本不等式和不等式左右两边的结构形式一起来考虑。【解析】a、b、c都是正数ab 2 ab 0（当且仅当a b时，取等号）bc 2 bc 0（当且仅当b c时，取等号）ca 2 ca 0（当且仅当
12、c a时，取等号）(ab)(bc)(ca)2 ab2 bc2 ca 8abc（当且仅当a b c时，取等号）即(ab)(bc)(ca)8abc.【总结升华】1.在运用a bab时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质，进行变形.22.三个式子必须都为非负且能同时取得等号时，三个式子才能相乘，最后答案才能取得等号.3.在利用基本不等式证明的过程中，常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.举一反三：举一反三：【高清课堂：【高清课堂：基本不等式 392186 例题 3】【变式】已知 a0，b0，c0，求证：【答案】证明：a0，b0，c0，bccaa
13、b abc.abcbcacabc2 2 2c，ababacaba2bc 2 2a，bcbcbcabab2c 2 2b.acacbccaab abc.abc22类型三：利用基本不等式求最值类型三：利用基本不等式求最值例例 4.4.若实数 x，y 满足 xy1，则 x 2y 的最小值为【思路点拨】要求最小值的式子中有两个未知数x、y,先利用已知条件转化为一个未知数，然后利用ab 2 ab求最小值。【答案】2 2【解析】xy1，y x2 2y2 x2当且仅当x21x222 2 x 2 2x2x22，即x 42时取等号，2x故答案为：2 2【总结升华】1.形如f(x)AxB（x 0，A 0，B 0）的
14、函数的最值可以用基本不等式求最值；x2.利用基本不等式求最值时,每一项都必须为正数,若为负数,则添负号变正.举一反三：举一反三：【变式 1】若x 0,求f(x)4x9的最大值.x【答案】因为x 0,所以x 0,由基本不等式得:999 f(x)(4x)(4x)()2(4x)()2 36 12,xxx93即x 时,取等号）x239故当x 时,f(x)4x取得最大值12.2x（当且仅当4x 【变式 2】已知x 0，当x取什么值时，函数f(x)x 2281的值最小？最小值是多少？x2【答案】x 0，x 0，f(x)x 281281 2 x 218x2x81即x 3时，取等号）x2812故当x 3时，x
15、 2的值最小为 18.x（当且仅当x 2例例 5.5.已知 x0，y0，且191，求 x+y 的最小值.xy【思路点拨】要求x y的最小值，根据基本不等式，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请认真体会.【解析】方法一：方法一：19 19y9x1，x y (x y)10 xyxyxyx0，y0，y9xy 9x 2 6xyxy（当且仅当y9x，即 y=3x 时，取等号）xy又191，x=4，y=12xy当 x=4，y=12 时，x+y 取最小值 16.方法二：方法二：由19y1，得x xyy9x0，y0，y9x y yy9999 y y y1(y9)10y9y9y9
16、y9y9，y90，y999 2(y9)6y9y99，即 y=12 时，取等号，此时 x=4）y9（当且仅当y9 当 x=4，y=12 时，x+y 取最小值 16.【总结升华】方法一是条件最值常用的变形方法，方法二利用了代数消元的方式变为函数的最值来求.举一反三：举一反三：【变式 1】(2015福建)若直线xy1(a 0，b 0)过点(1，1)，则 a+b 的最小值等于()abA2 B3 C4 D5111，ab11ba则a b (a b)()2，abab【答案】由已知得因为 a0，b0，所以bab a 2 2，aba bbab a 2 2，aba b因为 a0，b0，所以故 a+b4，当ba，即
17、 a=b=2 时取等号ab11的最小值为_；xy【高清课堂：【高清课堂：基本不等式 392186 例题 1】【变式 2】已知 x0，y0，且 2xy1，则【答案】3 2 2【变式 3】（2016湖南校级模拟）设二次函数 f（x）=ax24x+c（xR）的值域为0，+），则的最小值为（）A3B19ca9C5D72【答案】由题意知，a0，=14ac=0，ac=4，c0，则19199 2 3，当且仅当时取等号，cacaac19的最小值是 3。ca则故选 A。类型四：利用基本不等式解应用题类型四：利用基本不等式解应用题例例 6.6.围建一个面积为 360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用
18、旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙长度为 x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元).（）将 y 表示为 x 的函数：（）试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.【思路点拨】对于应用题要通过阅读、理解所给定的材料寻找量与量之间的内在联系建立起数学模型，然后利用不等式的知识解决题目所提出的问题。【解析】（）设矩形的另一边长为am，则y 45x 180(x 2)2a180 225x 360a 360由已知 xa=360,得 a=36
19、0,x3602360(x 0)所以 y=225x+x3602 2 225360210800()x 0,225xx36023602 y 225x 360 10440.当且仅当 225x=时，等号成立.xx即当 x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440 元.【总结升华】用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.举一反三：举一反三：【变式 1】某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每
20、张卡240 元.并规定不记名，每卡每次只限1 人，每天只限 1 次.某班有 48 名学生，教师准备组织学生集体冬泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次去游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少学生，每次的包车费为40 元.要使每个学生游 8 次，每人最少交多少钱？【答案】设购买 x 张游泳卡，活动开支为y 元，则y 48840240 x 3840.（当且仅当 x=8 时取“=”）x此时每人最少交 80 元.【变式 2】某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形.要求框架围成的总面积为8m.问x、y分别为多少(精确到 0.001m)时用料最省?【解析】由题意可得x y 21xx 8，22x2848x(0 x 4 2).y xx4于是，框架用料长度为l 2x2y22x23163(2)x 2 16(2)4 64 2.2x2当(2)x 3216，即x x432284 2时等号成立.此时，x 2.343，y 2 2 2.828.故当x约为 2.343 m，y约为 2.828 m 时用料最省.