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1、基本不等式基本不等式【考纲要求】【考纲要求】1.了解基本不等式ab ab的证明过程，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“”2ab解决最大（小）值问题.2取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2.会用基本不等式ab 3.会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题【知识网络】【知识网络】重要不等式a b 2ab22基本不等式基本不等式a bab2最大（小）值问题基本不等式的应用【考点梳理】【考点梳理】考点一：重要不等式及几何意义考点一：重要不等式及几何意义1重要不等式：如果a,bR，那么a b 2ab（当且仅当a b时取等号“=”）.2基本不等式：22ab）.ab（当
2、且仅当a b时取等号“=”2ab22要点诠释：要点诠释：a b 2ab和ab两者的异同：2如果a,b是正数，那么（1）成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数；（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b时取等号”。a2b2abab2ab可以变形为：ab ().（3）a b 2ab可以变形为：ab，222223.如图，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC a,BC b，过点C作DC AB交圆于点 D，连接AD、BD.易证RtACD RtDCB，那么CD CACB，即CD 2ab.这个圆的半径为时，等号成立.a ba b，它大于或等于CD，即其
3、中当且仅当点C与圆心重合，即a bab，22a b为a,b的算术平均数，称ab为a,b的几何平均数.因此基本2要点诠释：要点诠释：1.在数学中，我们称不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2.如果把a b看作是正数a,b的等差中项，ab看作是正数a,b的等比中项，那么基本不等式可以2ab的证明的证明2叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.考点二：基本不等式考点二：基本不等式ab 1.1.几何面积法几何面积法如图，在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a、b，那么正方形的边长为a2b2。这样，4 个直角三角形的面积的和是2ab，正方
4、形ABCD的面积为a b。由于 4 个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：a b 2ab。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有a b 2ab。得到结论：如果a,bR，那么a b 2ab（当且仅当a b时取等号“=”）特别的，如果a 0，b 0,我们用a、b分别代替a、b，可得：如果a 0，b 0,则ab 2 ab，（当且仅当a b时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果a 0，b 0,ab 2.2.代数法代数法a b 2ab (ab)0，当a b时，(ab)0；当a b时，(ab)0.所以(a b)2ab，（当且仅当a b时取等号“=”）.特别的，
5、如果a 0，b 0,我们用a、b分别代替a、b，可得：如果a 0，b 0,则ab 2 ab，（当且仅当a b时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果a 0，b 0,ab 2222222+22222222ab，（当且仅当a b时取等号“=”）2ab，（当且仅当a b时取等号“=”）.2要点三、用基本不等式要点三、用基本不等式ab ab求最大（小）值求最大（小）值2在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等一正二定三取等。一正：一正：函数的解析式中，各项均为正数；二定：二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；三取等：三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等
6、，取得最值。要点四、几个常见的不等式要点四、几个常见的不等式1）a b 2ab2）22a,bR，当且仅当a=b时取“=”号。a bab2ab 2baa,bR，当且仅当a=b时取“=”号。3）ab 0；特别地：a 1 2a 0；aa2b2a b2ab4）a,bRab 22a b5）a b【典型例题】【典型例题】类型一：基本不等式类型一：基本不等式ab 11 4a,b R；abab的理解的理解2例例 1.1.a 0，b 0，给出下列推导，其中正确的有（填序号）.（1）ab1的最小值为2 2；ab（2）(ab)()的最小值为4；（3）a1a1b1的最小值为2.a4211 2 ab 2 2（当且仅当a
7、 b 时取等号）.2abab【解析】（1）；（2）（1）a 0，b 0，ab（2）a 0，b 0，(ab)()2 ab 1a1b2 4（当且仅当a b时取等号）.ab（3）a 0，a111 a44 2(a4)4 2，a4a4a41即a4 1，a 3时取等号）a41a 0，与a 3矛盾，上式不能取等号，即a 2a4（当且仅当a4【总结升华】在用基本不等式求函数的最值时，必须同时具备三个条件：一正二定三取等，缺一不可.举一反三：举一反三：【变式 1】给出下面四个推导过程：a,bR，aba b 2 2；bab a x,yR，lgxlg y 2 lgxlg y；aR，a 0，44a 2a 4；aa x
8、,yR，xy 0，xyxyxy()()2()()2.yxyxyx其中正确的推导为（）A.B.C.D.【解析】a,bR，b a,R，符合基本不等式的条件，故推导正确.a b虽然x,yR，但当x(0,1)或y(0,1)时，lg x,lg y是负数，的推导是错误的.由aR,不符合基本不等式的条件，44a 2a 4是错误的.aa由xy 0,得y xxyxy,均为负数，但在推导过程中，将整体提出负号后，()()均变yxx yyx为正数，符合基本不等式的条件，故正确.选 D.【变式 2】下列命题正确的是（）1x23A.函数y x的最小值为 2.B.函数y 的最小值为 22xx 2C.函数y 23x【答案】
9、C【解析】A 选项中，x 0，当x 0,时由基本不等式x当x 0时x44(x 0)最大值为24 3 D.函数y 23x(x 0)的最小值为 2xx1 2；x1 2.选项 A 错误.xB 选项中，y x23x 22x221x 22x22 1x 22的最小值为 2（当且仅当x22 1时，成立）但是x22 2，这是不可能的.选项 B 错误.C 选项中，x 0，y 23x44 2(3x)24 3，故选项 C 正确。xx类型二：利用基本不等式类型二：利用基本不等式ab 例例 2 2设a b 0，则a A1【解析】2ab求最值求最值211的最小值是aba(ab)C3D4B21111 a2abababa(a
10、b)aba(ab)11 a(ab)(ab)a(ab)ab 4a21a(ab)2a(ab)当且仅当即a 2,b 时取等号.2ab 1ab【答案】D举一反三：举一反三：【变式 1】若x 0,求f(x)4x9的最大值.x【解析】因为x 0,所以x 0,由基本不等式得:999 f(x)(4x)(4x)()2(4x)()2 36 12,xxx93即x 时,取等号）x239故当x 时,f(x)4x取得最大值12.2x16【变式 2】已知x 0，求f(x)204x的最大值.x【解析】x 0，x 0，（当且仅当4x (x)444 2(x)22 4（当且仅当x，即x 2时，等号成立）xxxf(x)204(x)4
11、4 2044 4（当且仅当x，即x 2时，等号成立）xx故当x 2时，f(x)的最大值为 4.例例 3.3.已知a0，b0，ab2，则y的最小值是AB4C【解析】a 0,b 0，D5141 141b4a1b4a9()(ab)(5)(52)ab2 ab2ab2ab2答案选 C举一反三：举一反三：【变式 1】若x0,y0,且281,求xy的最小值.xy【解析】x0,y0，1282 882xyx yxy281即x4，y16时，等号成立）xy2（当且仅当xy64（当且仅当x4，y16时，等号成立）故当x4，y16时，xy的最小值为 64.【变式 2】已知 x0，y0，且191，求 x+y 的最小值。x
12、y【解析】1919y9x1，xy(xy)10 xyxyxyy9xy 9x26xyxyx0，y0，（当且仅当y9x，即 y=3x 时，取等号）xy又191，x=4，y=12xy当 x=4，y=12 时，x+y 取最小值 16。类型三：基本不等式应用类型三：基本不等式应用例例 4.4.设x,yR,xy1,求证：(x)(y1x125)y4【证明】x1125yxy425xy1 0425 x2y212xyxy1 0433 x2y2xy2 041xy8xy 04 x2y2 x2 y2 x y 1Q xy 42xy 8xy成立举一反三：举一反三：【变式 1】已知a 3，求证:21 044a 7a3【解析】4
13、44a(a3)3 2(a3)3 2 4 3 7a3a3a3（当且仅当4 a3即a 5,等号成立）.a3【例 5】(2015 春东城区期末)已知a 0,b 0,c 0，且a b c 1.(1)若a b c则 1 1 1111的值为 .abc(2)求证：1 1 1111 8abc【解析】(1)由题意可得a b c 1 1 1 1带入计算可得111 83abc(2)由题意和基本不等式可得a b 2 ab 0，a c 2 ac 0，b c 2 bc 0Q a bc 1 1 1 1 a b c a b c a b c 11111abcabcb c a c a b2 bc 2 ac 2 ab8abcabc
14、 1 1 1111 8abc举一反三：举一反三：【变式】(2015石家庄一模)已知函数fx(1)求实数m的取值范围.(2)若m的最大值为n，当正数a、b满足【解析】(1)因为函数的定义域为R,x 1 x 3 m的定义域为 R.21 n时，求 7a+4b的最小值.3a ba 2b x1 x3 m 0恒成立设函数gx x1 x3则 m 不大于gx的最小值Q x 1 x 3 x 1x 3 4即gx的最小值为 4，m 4(2)由(1)知 n=421 43a ba 2b1127a 4b 6a 2b a 2b43a 2ba 2b23a 2b2a 2b113a 2b a 2b955 224a 2b3a b4
15、a 2b 3a b4当且仅当a 2b 3a b时，即b 2a时取等号.97a 4b的最小值为4类型四：基本不等式在实际问题中的应用类型四：基本不等式在实际问题中的应用例例 6.6.某农场有废弃的猪圈，留有一面旧墙长 12m,现准备在该地区重新建立一座猪圈，平面图为矩形，面积为112m，预计（1）修复1m旧墙的费用是建造1m新墙费用的25%，（2）拆去1m旧墙用以改造建成1m新墙的费用是建1m新墙的50%，（3）为安装圈门，要在围墙的适当处留出1m的空缺。试问：这里建造猪圈的围墙应怎样利用旧墙，才能使所需的总费用最小【解析】显然，使旧墙全部得到利用，并把圈门留在新墙处为好。设修复成新墙的旧墙为x
16、m,则拆改成新墙的旧墙为(12 x)m，于是还需要建造新墙的长为22112224(x1)(12 x)2x13.xx设建造1m新墙需用a元，建造围墙的总造价为y元，则y xa25%(12 x)a50%(2x22413)ax7x2247)a(28 2 7)4x7x224（当且仅当即x 8 2时，等号成立）4x a(故拆除改造旧墙约为128 2米时，总造价最小.举一反三：举一反三：【变式 1】某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张卡240 元.并规定不记名，每卡每次只限1 人，每天只限 1 次.某班有 48 名学生，教师准备组织学生集体冬泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次去游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少学生，每次的包车费为40 元.要使每个学生游 8 次，每人最少交多少钱【解析】设购买 x 张游泳卡，活动开支为y 元，则y 488）40240 x 3840.（当且仅当 x=8 时取“=”x此时每人最少交 80 元.