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1、中考数学 基本不等式进阶考法梳理#LINK#BILIVIDEO本节大纲常考的三种形式不等式必会技巧多次利用“基本不等式”和积式、非齐次式、齐次式非齐次式定义分子分母次数不一样计算规律两数之和一定大于等于2倍的根号下两数之积实例一2x+x 0(x1)min()解，两数之和一定大于等于2倍的根号下两数之积2x+(x1)2 2x x1实例二，例一的变式 x2x+12解，拆分子=x2x+122x+x1实例三，例一再变式 x+12x+4x+32解，换元二次比一次，换元设,m=x+1 x=m 1 m2 m 1+4 m 1+3()2()齐次式定义分子分母次数都一样，=x1x1x0实例一+a,b 0(abba
2、)min()解，两数之和一定大于等于2倍的根号下两数之积2 abba实例二 xy+y22x+4xy+3y22解二次式，同时除以一个二次的未知数，如y2,令=+1yx2+4+3(yx)2yxyxm m+12m+4m+32实例，一题多变已知a,b 0,且+a1=b11,求一 ab的最小值ab的最小值解和积转化两数之和一定大于等于2倍的根号下两数之积+a1 b12=a1b1 ab21 ab2ab 4二 a+2b的最小值a+2b的最小值解凑齐次式一次式，相乘1a+2b()1=a+2b()+(a1b1)=1+a2b+ba2 1+2+22三 的最小值a+ba+b+3ab+1622 的最小值a+ba+b+3
3、ab+1622解提示，题目进行变式，左右同时乘以ab，将得到 a+b=ab题目不能转化出平方和的条件，需要化简掉平方和a+2b=2a+b()22ab,可化简原式为 a+ba+b+ab+16()2 a+ba+b+ab+16()2=abab+ab+16()2二次比一次，拆分=ab+ab161两数之和一定大于等于2倍的根号下两数之积=ab+ab161 2 +161验证等号能否取到ab=4时取等，由第一问可知 ,所以最终结果为9ab 4四 +a14a 的最小值b19b+a 14a 的最小值b 19b解换元法题目进行变式，左右同时乘以ab，再进行因式分解可得到+a1=b11 a+b=ab ab a b=
4、0 a b 1()b 1=()1 b 1 a 1=()()1有 a-1,b-1 时 换元令a-1=m,b-1=n,则mn=1,a=m-1原式变成了+m4 m+1()n9 n+1()分子复杂分母简单，拆分子+m4 m+1()n9 n+1()4 1+(m1)9 1+(n1)13+m4 n9两数之和一定大于等于2倍的根号下两数之积13+m4 n913+2=mn3613+2 6=25基本不等式常用技巧换元法实例一已知正实数x,y满足x+2=16y21,则x 的最大值为2+y2解题目给了一个和的形式和一个积的形式积的部分太复杂，换元，所有的y用m来表示令=2+y2m=2+y2m 2+y=2m 2y=2m
5、 22已知x+2 m 2=161(2)1 16x 2m=218求 的最大值x m18 2=16x m222 4xm=8xm xm =818 49实例二若x 0,y 0,且+x+11=x+2y11,则2x+y的最小值为解分母复杂，换元令 则 x+1=m,x+2y=nxy=m 1,=n m+121()原题变为已知+m1=n11,求2 m 1+()n m+1=21()m+23 n 21 23凑齐次式，乘以1 =m+n+(2321)(m1n1)23=+232mn2n3m2123 2+4321=+213凑齐次实例一已知正实数a,b满足a+b=1,则+aa+42 的最小值为bb+12解分母复杂，化简分式+
6、aa+42 bb+12a+a4b+b1凑齐次式，用1的代换a+a4b+b11+a+b(a4b1)()1+4+ba+a4b1 6+2=410实例二已知x 0,y 0,x+y=1,则 的最小值为xy2x+x+12解分子分母最高次一样，凑齐次式把一次项凑成最高次 xy2x+x+12 xy2x+x x+y+x+y2()()2化简得到22 xy4x+y+3xy22拆分式+y4x+xy3 2+43=7消元法下策，强行消元，题目比较刁钻，常用方法不好用时实例一若正数x,y满足x+2xy 3=0,则4x+y的最小值为解x,y的关系式表示的是x,y的关系由题目可得到y=x3x代入原式消元4x+x3x 2=3 3
7、6实例二若a,b R,a+b=1,则+a+b22a 的最大值为a+b2b解令 b=1-a，代入原式消元+a+1 a22a=a+1 a21 a a+1 a2a+1分子分母次数不一样，二次项复杂换元令 a+1=m,a=m-1=m 1+1 m 1()2()m m 3m+32m分子为单项，分子比分母次数小，不好拆分，同时除以分子化简 m+3m31题目问的是最大值，此时分子为1，求分母的最小值即可 m+m33 2 33 2 331化简 +3231多次利用基本不等式实例一已知a 0,b 0,则+a1+b2ab的最小值为解 +ba1b2a 2+b a1b2a=+bb2再次计算不等式 +bb2 a bb2=2
8、 2验证能否取到等号第一次取等条件为 a=b第二次取等条件为 b=2答案 2 当且仅当a=b=时取等2(2)到底需要用几次基本不等式基本事实一：需要解出变量的值基本事实二：一个基本不等式会产生一个方程元的个数等于方程的个数，决定了需要用几次基本不等式前面的计算中，题目中给出了一个方程限定了取值，所以只用了一次基本不等式就解出来了怎么用知道了用几次，用的方向有三个：和积式、非齐次式、齐次式齐次式在二次二元时，能自动消一元实例二若a,b R,ab 0,则 的最小值为aba+4b+144解形式上是非齐次式，常见的非齐次式是这样的 m+m1让它变成最后算式的形式m+m1 mm+12 abab+1()2
9、把和变成积，对分子进行基本不等式计算原式=ab2+1a 4b44 ab4a b+122拆分子=ab4a b+1224ab+ab1第二次基本不等式计算4ab+ab12=44实例三设a b c 0,则2a+2+ab1 a a b()110ac+25c 的最小值为2解凑因式a 210ac+25c2=a 5c()2延伸例子以下不等式每项都为正例一x+y+(x1y1)min解x+(x1)1+(y1)2+12=14例二a+b+(22a+b c2221c21)min解a+2b 2c+2+a+b c2221 c21例三xy+(y x y(2)1y31)min解形式与例一相同可用换元解令y x y=(2)m,y=3n 原始=m+n+m1 n1可用凑元解原式=xy y+3+y x y(2)1y+3 y31 =a 10ac+25c+a+222ab1a a b()1=a 5c+a+()22ab1a ab21=a 5c+a ab+ab+()22a ab21ab1 a 5c+4()2a 5c 的最小值为0 完全平方式是一个非负数,m 0()2()一共用了3次不等式，第三次用在了 m 0答案为 4实例四已知正数a,b满足a+b=1,c R,则+bc+b23a+abc+ab212c 的最小值为2解提示题干条件平方和，代入原式