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1、第 3讲基本不等式及其应用一、选择题1.下列不等式一定成立的是(21)A.lg x 4 lg x(x0)1B.sin xsin x2(xk，kZ)21D.x21 1(x R)解析 01412x21lg x 4lg x(x 0)，故选项 A 不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当 xk，kZ 时，sin x 的正负不定，故选项 B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正1确；当 x0 时，有2 1，故选项 D 不正确.x 1答案xCy2 1，则 xy 的取值范围是(若)2.2A.0，2B.2，0C.2，)D.(，2xyxyxy1 2 ，所以，即xy22，所以 解析2 221
2、242xy2.答案D合肥二模 若，都是正数，则1 1a3.(2016)a bA.7B.8C.9解析b4a的最小值为()bD.10a，b 都是正数，b1a仅当 b2a0 时取等号.故选 C.答案C14ab 4a52b 4aa b，当且b 5ab94.若 a0，b0，且 ab4，则下列不等式恒成立的是 (1111A.ab4)B.ab1C.ab 2解析 4ab2D.a2b28ab(当且仅当 ab 时，等号成立)，即ab2，ab 4，114ab2221 1 ab4选项 A，C 不成立；ababab1，选项 B 不成立；a b (ab)2ab162ab 8，选项 D 成立.答案D125.(2015 湖南
3、卷)若实数 a，b 满足ab ab，则 ab 的最小值为 (A.2解析)B.2C.2 2D.41a 0122 222bababababb 2a时，“”成立.因为 ab，所以1 22 2，即 ab2 2，所以 ab 的最abab小值为 2答案2，故选 C.C日照模拟若实数，满足6.(2017A.2 2x2y的最大值为()xyxy0，则xyx2yB.2 2C.422解 析D.422x2yx（x2y）2y（xy）x24xy2y222 1 x yx 2y1（xy）（x2y）1x 3xy2yx 2y，即 x2xy 21x2y1x 3xy2yy 3x324222，当且仅当yx222y时取等号.故选 D.答
4、案D若正数，满足29y23xy30，则 xy 的最大值是(7.4xxy45A.3解析)5D.4B.322C.2由 x 0，y 0，得 4x 当且仅当时9y3xy2(2x)(3y)3xy(2x3y等号成立)，12xy3xy30，即 xy2，xy 的最大值为 2.答案C1 1128.(2017 安庆二模)已知 a0，b0，a bab，则ab的最小值为()A.4B.22C.8D.161 1 ab，得，解析由 a0，b0，ab ab 1abab122则ab答案B1 2a b 2 2.当且仅当，即12a b2，时等号成立 故选a2b2.B.二、填空题9.正数 a，b 满足 abab3，则 ab 的取值范
5、围是 _.解析答案a，b 是正数，abab32ab3，解得ab 3，即 ab9.9，)1110.(2016 湖南雅礼中学一模 )已知实数 m，n 满足 mn0，mn 1，则mn的最大值为 _.解析mn0，mn 1，m0，n0，b0)的最大值为 1，则a24b2的最小值为 _.2解析不等式组所表示的平面区域是以(0，0)，3，0，(1，1)为顶点的三角形区域(包括边界)，观察可知，当直线z ax2by 过点(1，1)时，z 有最大值，故11111a2b 1，故122ab，ab8，故 a24b2ab 8，当且仅当a2b2 时故11等号成立，故a24b2的最小值为 8.答案8)点(a，b)为第一象1
6、5.(2017 辽宁五校协作体联考限内的点，且在圆(x1)2(y1)28 上，则 ab 的最大值为 _.解析由题意知 a0，b0，且(a1)2(b 1)28，化简得 a2 b22(ab)6，2则 6 2ab 4 ab(当且仅当 a b 时取等号)，令 t ab(t0)，则 t 2t30，解得 0t1，则 0ab 1，所以 ab 的最大值为 1.答案121916.正数 a，b 满足ab1，若不等式 a b x 4x18 m对任意实数 x 恒成立，则实数 m 的取值范围是 _.1 91 9b 9a解析因为 a0，b0，ab1，所以 ab(ab)ab10ab 10229 16，由题意，得 16x 4x18m，即 x 4x2m 对任意实2数 x 恒成立，而 x24x2(x 2)2 6，所以 x24x2 的最小值为 6，所以6 m，即 m 6.答案6，)