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1、第六章第六章 投投 影影 变变 换换第一节第一节 概述概述 第二节第二节 换面法换面法第一节第一节 概述概述XOabba实长特殊位置的直线：特殊位置的直线：可直接反映实长、倾角问题可直接反映实长、倾角问题XOa(b)ab实长XObaac实形bcXObaac类似形bc特殊位置的平面：特殊位置的平面：可直接反映实形、倾角问题可直接反映实形、倾角问题正平面正平面正垂面正垂面特殊位置的几何元素：特殊位置的几何元素：可直接反映度量、定位问题可直接反映度量、定位问题e e f f efa(b)b b a a d d c(d)c c 距离距离m m c c a a b b abcmzz点到直线的距离点到直线
2、的距离一、基本概念一、基本概念 改变空间几何元素与投影面的相对位改变空间几何元素与投影面的相对位置，使它们相互之间处于某一特殊位置的置，使它们相互之间处于某一特殊位置的情况，从而使问题简化、得到解决情况，从而使问题简化、得到解决投投影变换影变换。二、投影变换的方法二、投影变换的方法1.辅助投影面法（换面法）辅助投影面法（换面法）2.旋转法旋转法第二节第二节 换面法换面法XVHABbabCac一、一、概念：概念：换面法：空间几何元素不动，换面法：空间几何元素不动，改变投影面的位置使其有利于改变投影面的位置使其有利于解题。解题。实形c1b1a1VHXOabcba(c)bcaV1O1X1V1XVHA
3、BbabCac实形c1b1a1建立新投影面的条件：建立新投影面的条件：（1 1）新投影面要）新投影面要原原来一个投影面。来一个投影面。（2 2）新投影面要处于）新投影面要处于最有利解题位置。最有利解题位置。二、基本条件二、基本条件讲解：点讲解：点 线线 面面 V1a1HV1X1O1ax1V1三、基本原理三、基本原理1.点的点的一次变换一次变换：变换规律：变换规律：1).点的新投影到新轴之距点的新投影到新轴之距=旧投影到原轴之距；旧投影到原轴之距；2).点的新投影与被保留投影的连线点的新投影与被保留投影的连线新轴新轴O1 1X1 1。aaAaxax1O1X1VOXHaXOVHaaxa1VHHV1
4、VHXH1X1点在V/H1体系中的投影 X1H1Va1XVHaaa1aAa XVHaa ax更换更换H面面 求新投影的作图方法求新投影的作图方法 VHXP1HX1 由点的不变投影向新投影轴作由点的不变投影向新投影轴作垂线垂线，并在垂线上量取一段距离，使这段距离等并在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。于被代替的投影到原投影轴的距离。aa X1P1H a1axax1ax1更换更换V面面a1作图规律：作图规律：.点的两次变换点的两次变换 先把先把V面换成平面面换成平面V1，V1 H，得到中间新投影体系得到中间新投影体系:V1HX1 再把再把H面换成平面面换成平面H2，H
5、2 V1，得到新投影体系得到新投影体系:X2 V1 H2 新投影体系的建立新投影体系的建立按次序更换按次序更换AaVH a axXX1V1a1ax1H2X2ax2a2 VXHa2aaa1XVHX1HV1 点的两次变换点的两次变换V1X1X2H2V1H2X2a2a1aAa1 1、把一般位置直线变换成投影面的平行线、把一般位置直线变换成投影面的平行线XVHOV1X1O1a1b1abbaABXOVHX1HV1O1abb a b1 a1 实长实长四、基本作图四、基本作图2 2.把投影面的平行线变换成投影面的垂直线把投影面的平行线变换成投影面的垂直线XVHOV1X1O1a1(b1)aabbbXOVHab
6、abX1HV1O1a1 (b1)3.把一般位置直线变换成投影面垂直线把一般位置直线变换成投影面垂直线XHaAa b bBVV1X1H1a2 b2 a1 b1a1b1VH a aXB b bA3.把一般位置直线变换成投影面垂直线把一般位置直线变换成投影面垂直线空间分析：空间分析：a b abXVHX1H1V1V1H2X2作图：作图：X1V1a1b1X2H2二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。X2轴的位置？轴的位置？a2 b2ax2a2 b2.与与a1b1垂直垂直一次换面把直线变成投影面平行线；一次换面把直线变成投影面平行线；把一般位置直线变为投影面垂直线
7、XH1V1a aXVHb ba2 b2XHV1a1 b1 一般位置直线变换一般位置直线变换成投影面垂直线，需经成投影面垂直线，需经几次变换？几次变换？a b c abcdVHABCDX d 如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。V1X1c1b1 a1 d1空间分析：空间分析：在平面内在平面内取一条取一条投影面平行线投影面平行线，经一，经一次换面后变换成新投次换面后变换成新投影面的垂直线，则该影面的垂直线，则该平面变成新投影面的平面变成新投影面的垂直面。垂直面。作图方法：
8、作图方法：两平面垂直需满足什么条件？两平面垂直需满足什么条件？能否只进行一次变换？能否只进行一次变换？思考：思考：若变换若变换H面，需在面内面，需在面内取什么位置直线？取什么位置直线？正平线！正平线！4.4.把一般位置平面变换成投影面的垂直面把一般位置平面变换成投影面的垂直面把一般位置平面变换成投影面的垂直面把一般位置平面变换成投影面的垂直面XHVOaabccbXVHV1X1Oacbaa1ddd1(c1)bb1cBCDA水平线dda1b1d1(c1)X1V1HO1a cXVHbb ac把一般位置平面变换成投影面的垂直面把一般位置平面变换成投影面的垂直面 VH Xcba bCA cBa ddDX
9、1H1a1c1b1 d1 dX1H1V db1 a1c1d1XVHABbabCac实形Vc1b1a15.5.把投影面的垂直面变换成投影面的平行面把投影面的垂直面变换成投影面的平行面VHXOabcba(c)bcaV1O1X1把投影面的垂直面变换成投影面的平行面把投影面的垂直面变换成投影面的平行面aacbcbXOVHa1b1实形X1HV1O1c1XVHABbabCacVc1b1a16.6.把一般位置平面变换成投影面的平行面把一般位置平面变换成投影面的平行面X2O2V1H2a2b2c2实形XHVOaabccbdda1b1d1(c1)X1HO1XOVHk1b1a1aabbkkO1V1HX1X2H2V1
10、O2k2a2(b2)(t2)t1tt距离H2a2(b2)k2KBAT(t2)距离求求K点到直线点到直线AB之之距及两面投影。距及两面投影。例题例题H2DBACd2a2c2(b2)求具有公共边BC的ABC 和BCD的夹角。adc b XVHOcdbaO1O2X1V1HV1H2X2a2d2c2(b2)a2d2c2b2 例题例题CDSTBb2t2a2C2(s2)(d2)H2VHXObdaccdabV1X1HO1b1a1c1d1k1g1kgO2X2H2V1a2b2gkc2(k2)(d2)g2距离综合例题综合例题 求交叉两直线求交叉两直线ABAB和和CDCD间的距离。间的距离。X2H2V1X1HV1a2
11、b2d2c2b1a1d1c1112121babdcaXVHdc211222例题例题 求两直线求两直线AB与与CD的公垂线的公垂线。H2aaXbb cdcd思考题 如何求两直线AB与CD间的距离？XH1V1aaXVHbba2 b2XHV1a1b1V提示b a abcdc 例题例题：已知两交叉直线：已知两交叉直线AB和和CD的公垂线的长度的公垂线的长度 为为MN，且且AB为水平线，求为水平线，求CD及及MN的投影。的投影。MNm d a1b1m1n1c1d1n空间及投影分析：空间及投影分析：VHXHV1X1圆半径圆半径=MNn m 当直线当直线AB垂直于投影垂直于投影面时，面时，MN平行于投影面，
12、平行于投影面，这时它的投影这时它的投影m1n1=MN,且且m1n1c1d1。P1ACDNMc1d1a1m1b1n1B作图：作图：请注意各点的投请注意各点的投影如何返回？影如何返回？求求m点是难点。点是难点。.例题例题已知直线已知直线AB与与 CDE平面平行，且相距平面平行，且相距20mm，求直线求直线AB的的水平投影。水平投影。XVHedcdecaba1b1X1VH1c1e1 d1ba20mm空间及投影分析空间及投影分析：AB与与CD都平行于投影面时，其投影都平行于投影面时，其投影的夹角才反映实角（的夹角才反映实角（60），因此需将），因此需将AB与与C点所确定的平点所确定的平面变换成投影面平
13、行面。面变换成投影面平行面。例题例题:过过C点作直线点作直线CD与与AB相交成相交成60角。角。d X1HV1X1V1H2ab a c b XVHc作作 图：图：c2c1a1 b1a2d2db2 几个解？几个解？两个解！两个解！已知点已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上，上，求等边三角形的投影。求等边三角形的投影。思考：思考：如何解？如何解？解法相同！解法相同！60D点的投影点的投影如何返回？如何返回？.例题例题 已知等腰三角已知等腰三角形形ABC的底边的底边为为AB，试用试用换面法求出等换面法求出等腰三角形腰三角形ABC的正面投影。的正面投影
14、。abXVHcabX1HV1b1c1a1cee1例题例题 已知已知点点E在平面在平面ABC上，距离上，距离A、B为为15，求，求E点的投影点的投影。a cXVHbbac d db1 a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H11515eee1e2aaXbb cdcd已知两直线AB/CD且相间距离为10 （例5P93)XH2V1aaXVHbba2(b2)XHV1a1b1c1d1cc2(d2)R=10k1X1H1Vb1a1c1 d1s1acb ba c ddss例题例题 求点求点S到平面到平面ABC的距离的距离a c b bac enken ddX1VH1b1a1c1d1k1ke1例题例题
15、已知已知E到平面到平面ABC的距离为的距离为N，求，求E点的正面投影点的正面投影e。例题例题 求点到平面求点到平面ABC的距离的距离 XOaa c b d bdcX1b 1 d 1 c 1 a 1 k 1 kk 小小 结结 本章主要介绍了投影变换的一种常用方法本章主要介绍了投影变换的一种常用方法 换面法换面法。一、一、换面法就是换面法就是改变投影面的位置改变投影面的位置，使它与所给物，使它与所给物 体或其几何元素处于体或其几何元素处于解题所需的特殊位置解题所需的特殊位置。二、二、换面法的关键是要注意换面法的关键是要注意新投影面的选择条件新投影面的选择条件，即必须使即必须使新投影面与某一原投面保
16、持垂直关系新投影面与某一原投面保持垂直关系，同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规 律继续有效。律继续有效。三、三、点的变换规律是换面法的作图基础点的变换规律是换面法的作图基础，六个基本，六个基本 问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。换面法的基本问题：换面法的基本问题：2.把一般位置直线变成投影面垂直线把一般位置直线变成投影面垂直线1.把一般位置直线变成投影面平行线把一般位置直线变成投影面平行线3.把一般位置平面变成投影面垂直面把一般位置平面变成投影面垂直面4.把一般位置平面变成投影面平行面把一般位置平面变成
17、投影面平行面变换一次投影面变换一次投影面变换一次投影面变换一次投影面变换两次投影面变换两次投影面变换两次投影面变换两次投影面需先在面内作一条投影面平行线需先在面内作一条投影面平行线四、解题时一般要注意下面几个问题：四、解题时一般要注意下面几个问题：分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中 物体与原投影面的相对位置物体与原投影面的相对位置，并把这些条件，并把这些条件 抽象成几何元素（点、线、面等）。抽象成几何元素（点、线、面等）。根据要求得到的结果，确定出有关几何元根据要求得到的结果，确定出有关几何元 素素对新投影面应处于什么样的特殊位置对新投影面应处于什么样的特殊位置（垂（垂 直或平行），据此选择正确的解题思路与方直或平行），据此选择正确的解题思路与方 法。法。在具体作图过程中，要注意新投影与原投影在具体作图过程中，要注意新投影与原投影 在变换前后的关系，在变换前后的关系，既要在新投影体系中正既要在新投影体系中正 确无误地求得结果，又能将结果确无误地求得结果，又能将结果返回到原投返回到原投 影体系中去。影体系中去。