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1、第二章第二章 刚性构件组成的单自由度机械系统动力学刚性构件组成的单自由度机械系统动力学2.12.1 引言引言本章和第三章首先研究忽略构件弹性变形的理想机械系统的动力学问题。即在研究时，近似认为组成这类理想机械系统的构件都是刚体，并忽略运动副中间隙的影响，运动副中的摩擦在通常情况也是被忽略的。作出上述简化的目的是为了能够忽略一些次要因素，以突出问题的主要方面。当机械中各构件的刚度较大且运转速度不是很高时，作出这些简化是合理的，所得到的结果有很好的实用价值。本章将研究单自由度机械系统的动力学问题。目前单自由度机械应用最为广泛，然而由于各种自动机和机器人的出现，刚性构件组成的多自由度机械系统动力学的
2、研究也变得越来越重要，所以在下一章还要进一步研究二自由度机械系统动力学问题。考虑构件弹性变形时的动力学问题将在后续章节中研究。本章主要介绍用等效力学模型进行研究的方法， 该方法适用于单自由度系统的研究，目前在工程上被广泛应用。在研究时，首先把实际机械系统简化成等效的单构件力学模型，并根据该模型列出运动方程式，然后对运动微分方程式进行求解和讨论。2.22.2 驱动力和工作阻力驱动力和工作阻力除重力、摩擦力之外，作用在机械上的力主要还有工作阻力和驱动力，它们随着机械工作情况及使用的原动机的不同而多种多样。为了研究在力作用下机械的运动，可将作用力按机械特性进行分类。所谓机械特性是指力(或力矩)和运动
3、学参数(位移、速度、时间等)之间的关系。本书中，所有的外力都假设为是预先已知的，即假设发动机和工作机的机械特性是预先给定的。在工作机械中，按机械特性来分，常见的工作阻力有以下几种：1)工作阻力是常数。 如起重机的有效工作负荷为起吊重量(为常数)， 机床的制动力矩，通常也可简化为常数。2)工作阻力随位移而变化。 如往复式压缩机中活塞上作用的阻力， 曲柄压力机滑块上受到的阻力等。3)工作阻力随速度而变化。如鼓风机、离心泵的工作阻力。4)工作阻力随时间而变化。如揉面机的工作阻力。在发动机中，按其机械特性进行分类，常见的驱动力有以下几种：1)驱动力是常数。例如用重锤作为驱动力， 在某些近似计算中， 当
4、电机转速变化很小时，有时也可近似地认为其驱动力为常数。2)驱动力是位移的函数。例如用弹簧作为驱动件时，弹簧力与变形(位移)成比例。3)驱动力是速度的函数。例如一般的三相异步电动机，机械特性曲线如图2-1 所示。由于三相异步电动机是目前应用最为广泛的一种发动机，故对它的机械特性作一介9绍。图 2-1 给出了三相异步电动机的机械特性，其中A 点具有最大输出力矩Mk；B 点为额定工作点，C 点具有最大角速度0，称为同步角速度，A点为安全工作点，为保证电动机正常工作，不应使电动机工作点越过此点，常取该点的输出力矩为 0.8Mk。电动机在 AC 段中工作时将是稳定的， 因为随着外载荷的增加， 电动机的转
5、速将下降， 这时它的输出力矩将增加，并与外载荷达到新的平衡。相反，当电动机工作在 A 点左侧时是不稳定的。MAABkminHcC图 2-1 三相异步电动机的机械特性电动机铭牌通常给出以下参数：额定功率PH(单位为 kW)，额定转速nH(单位为 rmin)，同步转速n0(单位为 rmin)，过载系数1。根据以上参数可以分别求出 A、B、C三点对应的角速度 (单位为 rads)和力矩 M(单位为 N.m)为：MH 9550PH/ nHMk1MH0n0(2-1)30HnH302k00H(111)M0 0式(2-1)可用来计算特性曲线上A、B、C 三点对应的坐标。将三相异步电动机的输出力矩与角速度之间
6、的函数关系用精确的解析表达式来表示是较为复杂和不方便的。为了简化，可以用不复杂的代数式近似表示这类机械特性，这在大多数情况下是可行的，也是有必要的。对于三相异步电动机的机械特性，由于通常所关心的只是其中的曲线段 ABC，故在实用中常用两次曲线近似代替真实特性曲线段ABC。即将曲线段 ABC 近似表示为以下的二次函数：M=a+b +c2(2-2)将特性曲线上已知的三点A、B、C 的坐标代入上式，就可求出其中的三个待定系数a，b 和 c，从而得到该电动机机械特性的近似表达式(2-2)。这样获得的机械特性的近似表达式，其中三点与所给特性曲线的三点是相重合的，而在其它各点两曲线是分离的。在动力学的近似
7、计算中，这种误差是允许的。在精度要求不高的场合，也可以用过B、C10两点的直线近似代替额定点附近的曲线。由以上分析可知，机械特性大多可表示为驱动力或工作阻力与某一运动学参数(如电动机转子角速度)的函数关系， 在实际情况中这些力可能遵循着更为复杂的规律，更详细的讨论可参考电力拖动课程的有关内容。2.32.3 单自由度机械的等效力学模型单自由度机械的等效力学模型即使是对于单自由度机械系统，如果直接应用牛顿定律或达朗贝尔原理进行研究也是很复杂的。 例如图 2-2 所示用于冲压矽钢片的高速冲槽机的六杆机构， 共由 5 个运动构件组成，电动机的驱动力矩通过齿轮传动，将力矩 M1作用C到曲柄 AB 上，而
8、工作阻力则作用在滑块F 上。在研究其运D动情况时，若列出各运动构件的运动方程进行研究， 则必须联立求解众多的动力学微分方程式(对平面机构而言，一般E每个运动构件有 3 个运动方程)，显然这是十分麻烦的。由于单自由度机构的运动只决定于一个坐标(即参数)，F所以只要求出其中一个构件(如主动构件)的运动规律，则整B个机构的运动就确定了。 因此，对于单自由度机构可以利用M1AF等效力学模型进行研究。 在等效力学模型中，将被研究系统的动力学问题转化为与其等效的一个等效构件的动力学问图 2-2 高速冲槽机的六杆机构题，这样可以使问题的研究得到简化。为了使所得到的等效构件和机构中的对应构件的真实运动相一致，
9、需要将作用在机构上的所有外力与力偶用一定的方法等效地转化到等效构件上，同时把所有构件的质量等效地转化到同一构件上。这些力和质量的等效转化是依据功能原理进行的。根据功能原理，机械在任一路途中，系统动能的改变等于作用于其上所有力所做的功。因此，假如在同一时间间隔内，等效构件具有的动能改变和原机构的动能改变相同，且作用在等效构件上的等效力所做的功等于作用在原机构上所有力做的功，则等效构件的运动将与原机构中对应构件的真实运动相同。而对于等效构件的运动，则可以根据等效构件的等效质量和等效力，应用动能定理来确定。即可以通过转化前后等效构件与原系统动能相等和等效力与外力做的功相等的原则，将原有复杂的机械系统
10、等效地转化为只有一个等效构件的等效力学模型。为了简化，通常可取作定轴转动或直线平动的构件作为等效构件，实用中大多以主动构件为等效构件，决定等效构件位置的转角或位移可作为机构的广义坐标。如果取作直线平动的构件为等效构件，则等效后作用在等效构件上的力称为等效力，记为Fe，等效构件具有的质量称为等效质量，记为me。如果取作定轴转动的构件为等效构件，则等效后作用在等效构件上的力矩称为等效力矩，记为Me，等效构件具有的关于转动轴的转动惯量称为等效转动惯量，记为Je。例如对于图 2-2 所示的六杆机构，可将各构件的质量与它们所受到的力转化到曲柄AB 上，使原系统转化为图 2-3a 所示的简单系统。也可以将
11、各构件与它们所受的力转化到滑块 F 上，使原系统转化为图2-3b 所示的系统。11JeMemeFea)b)图 2-3 单自由度系统的等效力学模型2.3.12.3.1 等效力和等效力矩等效力和等效力矩如前所述，作用在机构上的力的转化是根据功能原理进行的，即等效力或等效力矩可根据等效力或等效力矩所做的功与作用在机构上的所有外力与外力偶所做的功之和相等的原则来确定。实用中为了方便，可以用它们对应的功率相等进行计算。设 Fk(k=1，2，m)和 Mj(j=1，2，n)分别为作用于机械上的外力与外力偶，根据等效力矩 Me或等效力 Fe的功率与原始机械的总功率P 相等得：MeFkvkMjjk1j1(2-3
12、)mnFev FkvkMjjk1j1mn式中等效构件的角速度；v等效构件的速度；vk外力 Fk作用点的速度；j外力偶 Mj作用构件的角速度。根据式(2-3)可求出 Me和 Fe的表达式为：jMeFkMjk1j1mmvknnk1mmFkvkcoskj1nj1nMjvFeFkkvk1Mj1jjv coskFkkvvk1Mj(2-4)jjv式中，kFk与 vk的夹角。可以用式(2-4)转化所有的力和力偶， 也可以B只转化其中的一个或几个。 被转化的力可能是常l2ls2数，也可能与各种参数有关。由式 (2-4)可知，sFCMe和 Fe不仅与被转化的力有关，也与机构的传动速比有关。 对于单自由度机构，
13、传动速比可能Ax是固定的， 也可能与机构的位置有关， 但无论如图 2-4 曲柄滑块机构何传动速比不会与机构的运动速度有关。例 2-1 如图 2-4 所示曲柄滑块机构， 若将作用于滑块C 的工作阻力 FC转化到曲柄 AB上，试计算其等效力矩 Me。图中 s2为连杆的质心。解：按式(2-4)有l122y12e1Me Fcvccos1801 Fc1vc当滑块向左运动时，上式中 vC应取负值。因传动速比 vC/1在不同的位置上具有不同的数值，所以即使工作阻力FC为常数，其等效力矩Me也是随着曲柄的运动而变化的。2.3.22.3.2 等效质量和等效转动惯量等效质量和等效转动惯量质量的转化是根据动能相等的
14、原则进行的，即应使等效构件具有的动能与机构中各构件的动能之和相等。根据上述原则，即可计算出等效构件应具有的等效质量me或等效转动惯量 Je。在平面机构中，每一构件可能作平动、定轴转动或一般平面运动。在构件作一般平面运动时，其动能 E 可按下式计算：E 112mvsJ2(2-5)22式中：m构件质量；J构件相对于质心的转动惯量；vs构件质心运动速度的大小；构件运动的角速度。整个机构的动能等于所有构件的动能之和：E 1122mjvsjJjj(2-6)22j1n根据转化前后系统动能相等的原则，等效转动惯量Je或等效质量 me，应满足：1 122mjvsjJjj22j1(2-7)n11122mev2m
15、jvsjJjj222j11Je22n从式(2-7)中即可求出 Je和 me的表达式为：22vmsj Jj Jejj j1 22(2-8)nvsjj mem Jjjvv j1 n式中：等效构件的转动角速度;v等效构件的平动速度。式(2-8)中两个等式在结构上完全一样，因此以下只讨论其中第一个等式。首先，等效转动惯量的值总是正的，其值与传动速比的平方有关。仅仅在部分情况下，即当机构13的传动速比不变时，等效转动惯量才为定值，而一般情况下这是一个随机构位置而变化的量。然而，等效转动惯量与机械的实际运动速度无关，因为单自由机构的传动速比仅与其位置有关。因此，它同样可以在机构的实际运动规律未知的条件下计
16、算出来。此外，等效转动惯量通常为等效构件转角(即广义坐标)的周期函数。例 2-2 在图 2-4 所示曲柄滑块机构中，设曲柄 AB 相对于转动轴的转动惯量为 J01，连杆 BC 的质心位于 s2，其质量和相对于质心的转动惯量为 m2和 J2，滑块 C 的质量为m3。求将构件 1、2、3 转化到曲柄 AB 上的等效转动惯量。解：各构件动能可分别表示为：E1E21J01122112m2vs22J2222E312m3vc2根据转化前后系统的动能相等得：1111122Je12J0112J22m2vs22m3vc22222由此解得：22vs22vc2Je J01 J22 m22 m32111从上面的表达式
17、可以看出， 等效转动惯量决定于机构的位置， 即等效转动惯量随的变化而变化，其中传动速比可以根据机构的速度分析来确定。2.3.32.3.3 等效构件的运动方程等效构件的运动方程将系统所受到的力和各构件的质量转化至等效构件后，就可以由对等效构件的研究代替对原有系统的研究。为叙述简单起见，以下总是假设等效构件为作定轴转动的构件，并且用符号、 、 分别表示其转角、角速度和角加速度。如果等效构件为直线平动构件，其分析方法是类似的，不再重复加以说明。由于等效转动惯量和等效力矩是分别根据动能相等和功率相等的原则计算出来的，所以可以用动能定理建立等效构件的运动方程。根据动能定理有： E=W(2-9)式中：E等
18、效构件的动能，E 1J22W等效力矩所做的功，W Med式(2-9)是动能定理的积分形式，其相应的微分形式为：dE P(2-10)dt14式中：P等效力矩的瞬时功率，P=Me若等效构件由转角1运动到2时，其对应的角速度由l变为2，则积分形式的动能定理公式(2-9)成为：112Je22Je1122221Med(2-11)式中：Je1、Je2分别为等效构件在位置1、2时，等效转动惯量的取值，即Je1=Je(1)、Je2=Je(2)如果利用动能定理的微分形式， 则可得到等效构件运动方程的另一表达形式。由式(2-12)可得：d 12Je Medt2将上式左边展开，并在等式两边约去 得：Jed2dt21
19、 dJed2() Me(2-12)2 ddt式(2-12)为等效构件运动方程的基本形式。因为等式右边为等效力矩，故该方程也称dJ为力矩形式的运动方程。 等效构件力矩形式的运动方程中不仅涉及到Me和 Je并且与ed有关，故在建立该方程时，不仅要计算出Me和 Je，还必须预先计算出dJe。d等效构件的运动方程式也可以利用第三章中的拉格朗日方程式推导出来，但是不能用动量或动量矩定理推导出来，因为在等效力学模型中，仅保证其动能与原系统的动能相等，而并不保证它们之间的动量或动量矩之间的关系。等效构件为移动构件时，可得到与式(2-11)和式(2-12)类似的结果：1122me2v2me1v122和med2
20、sdt2s2s1Feds(2-13)1 dmeds2() Fe(2-14)2 dsdt2.3.42.3.4 等效转动惯量及其导数的数值计算方法等效转动惯量及其导数的数值计算方法对于连杆机构、 凸轮机构等具有非定传动比的机构， 由于其传动速比通常是转角的复杂函数，不易用解析法求出。因此，要获得等效转动惯量 Je的函数表达式有时是很困难的。特别是当利用力矩形式的运动方程进行研究时，不仅要计算出等效转动惯量 Je，dJ还必须求出它的导数e。d为了解决上述困难， 在求解运动方程之前， 可以预先用数值方法求出Je和dJe关于d的变化规律。这样可以使问题大为简化，特别是应用电子计算机求解运动方程时，这种数
21、值方法就显得尤为方便。15首先引入符号vsjvsj和jJejn，并将式(2-8)改写为：22j1*(mjvsj Jj*j)(2-15)式(2-15)关于求导得：dJedd*dj*2*mj(vsj)2Jjjddj1n由于*dvsjd*2d*(vsj) (vsjvsj) 2vsjddd故得*ndvddJesjj* 2mjvsj Jj*jdddj1*记sj*dvsjd，*jd*jd，可将式(2-15)改写为：ndJe* 2mjvsjsj Jj*jj(2-16)dj1由式(2-15)和式(2-16)可知， 计算 Je和*和*sjj。dJe*的关键是求出传动速比vsj和*及其导数j，d根据传动速比的定义
22、可得：*vsj vsj(2-17)j*j在式(2-17)中对时间求导得：*2*sjsjvsj(2-18)2*j* jj若在等式(2-17)和(2-18)中分别有 =1， =0，则该两式成为：*vsj vsj,j*j(2-19)*sjsj,j*j16即机构的传动速比及其导数在数值上分别等于当等效构件的运动为 =1， =0 时机构对应的实际速度(或角速度)和加速度(或角加速度)。dJ由以上分析可得计算 Je和e的方法为假设等效构件作匀速转动， 即令 =1， =0，d并在所假设的条件下对机构进行运动分析，求出各构件对应的角速度和角加速度以及各构件质心的速度和加速度，所得到的数值即为相应的传动速比及其
23、导数，利用这些数据dJ即可应用式(2-15)和式(2-16)计算 Je和e。应用此方法，通过数值计算，可以求得等效d构件在任意位置时对应的Je和dJe。d例 2-3 在图 2-4 所示的曲柄滑块机构中， 若已知 l1=0.2m， l2=0.5m， ls2=0.2m， e=0.05m，J01=3kgm2，J2=0.15kgm2，m2=5kg，m3=10kg。试用数值方法计算曲柄滑块机构的等效转动惯量 Je及其导数dJe随1的变化规律。d1解 取曲柄 AB 为等效构件、1为广义坐标。假想等效构件的运动为1=1；1=0，并在此假设条件下作该机构的运动分析。首先写出该机构的封闭向量方程：l1cos1
24、l2cos2 xcl1sin1 l2sin2 e(2-20)由式(2-20)第二式可得：sin2el1esin1sin1(2-21)l2l2l2式中：曲柄与连杆的长度之比， =l1/l2*将式(2-21)对时间求导，并注意到假设条件(即11,1 0)，就可求出连杆BC 对应的传动速比2*为：*2 cos1cos2(2-22)*当转角2由式(2-21)求出后，就可用式(2-22)计算出传动速比2。*对式(2-22)再求导，即得连杆 AB 对应的传动速比2的导数2为：*cos2sin12cos1sin2*2 cos22将式(2-22)代入上式得：17(sin1cos22cos21sin2)(2-2
25、3)cos32*2*求出2和2后，即可由式(2-20)的第一式对时间求导得出滑块C 对应的传动速比及其导数为：*vccos(dxc12)cos21(2-24)*ac2 l1cosdtcos322dxcsin(21) l1dtcos2连杆 BC 质心 s2对应的传动速比及其导数，可由s2与 B 点的相对运动关系得：*vs2 vB vs2B*(2-25)as2 aB as2B*式中：vs2B、as2B分别为此时质 s2对于 B 点的相对速度和相对加速度。将式(2-25)写成坐标形式为：*vs2x l1sin12ls2sin2*vs2y*as2x*as2y*l1cos12ls2cos2*2* l1c
26、os12ls2cos22ls2sin2(2-26)*2* l1sin12ls2sin22ls2cos2*当2和2已计算出后，式(2-26)即可用来计算质心 s2对应的传动速比及其导数。求出了有关的传动速比及其导数后，就可方便地计算出等效转动贯量Je及其导数dJedJ。根据式(2-15)和式(2-16)，Je和e由下式确定：dd*2*2*2*2Je J01 J22 m2(vs2xvs2y) m3vCdJe* 2J222 m2(vs2xas2xd*(2-27)vsa) m v2ys2y3 CaC根据式(2-21)式(2-26)，即可计算出等效构件在任意位置时(即广义坐标1为任意值时)有关的传动速比
27、及其导数的数值，进一步可由式(2-27)计算出对应的 Je和dJe。若使d广义坐标以一定的步长变化，就可以得到这些传动速比及其导数、等效转动惯量及其导数随广义坐标变化的数值关系。根据题中给出的原始数据， 取计算步长10， 应用式(2-22)式(2-27)计算出的有dJ关数据列于表 2-1 中。 表 2-1 中数据即给出了被研究的曲柄滑块机构的Je和e随曲柄转d18角1变化的数值关系。表 2-1 曲柄滑块机构的运动分析1()22rads1rads2vs2xms1vs2yms1s2xms2s2yms2vcms1cms2Jkgm010203040506070809010011012013014015
28、0160170180190200210220230240250260270280290300310320330340350-0.4020-0.39410.3761-0.3482-0.3103-0.2628-0.2064-0.1423-0.07270.00000.07270.14230.20640.26280.31030.34820.37610.39410.40200.39970.38690.36310.32800.28140.22350.15550.07990.0000-0.0799-0.1555-0.2235-0.2814-0.3280-0.3631-0.3869-0.39970.01620
29、.07420.13170.18880.24500.29860.34660.38520.41050.41930.41050.38520.34660.29860.24500.18880.13170.07420.0162-0.0430-0.1043-0.1682-0.2341-0.3001-0.3622-0.4143-0.4494-0.4619-0.4494-0.4143-0.3622-0.3001-0.2341-0.1682-0.1043-0.04300.0080-0.0323-0.0712-0.1070-0.1383-0.1641-0.1834-0.1958-0.2012-0.2000-0.19
30、27-0.1801-0.1630-0.1424-0.1188-0.0930-0.0656-0.0371-0.00800.02120.05010.07820.10510.13030.15320.17310.18910.20000.20490.20270.19320.17610.15200.12180.08670.04830.12000.11820.11280.10390.09190.07710.06000.04100.02080.0000-0.0208-0.0410-0.0600-0.0771-0.0919-0.1039-0.1128-0.1182-0.1200-0.1182-0.1128-0.
31、1039-0.0919-0.0771-0.0600-0.0410-0.02080.00000.02080.04100.06000.07710.09190.10390.11280.1182-0.2325-0.2285-0.2152-0.1935-0.1645-0.1297-0.0912-0.0510-0.01160.02520.05780.08580.10880.12740.14190.15290.16060.16550.16750.16690.16380.15810.14980.13850.12340.10360.07800.04620.0086-0.0332-0.0766-0.1186-0.
32、1566-0.1883-0.2121-0.22700.0000-0.0208-0.0410-0.0600-0.0771-0.0919-0.1039-0.1128-0.1182-0.1200-0.1182-0.1128-0.1039-0.0919-0.0771-0.0600-0.0410-0.02080.00000.02080.04100.06000.07710.09190.10390.11280.11820.12000.11820.11280.10390.09190.07710.06000.04100.02080.0201-0.0287-0.0753-0.1174-0.1529-0.1803-
33、0.1986-0.2076-0.2076-0.2000-0.1863-0.1683-0.1478-0.1261-0.1042-0.0826-0.0615-0.0408-0.02010.00090.02260.04550.07000.09600.12330.15090.17720.20000.21670.22500.22310.21040.18710.15450.11420.0686-0.2812-0.2757-0.2562-0.2241-0.1815-0.1315-0.0779-0.02500.02310.06290.09250.11180.12210.12560.12490.12230.11
34、970.11820.11880.12190.12760.13550.14470.15340.15850.15630.14290.11550.07350.0195-0.0415-0.1037-0.1617-0.2109-0.2483-0.27203.1013.1073.1673.2673.3863.5003.5873.6343.6373.6003.5363.4573.3763.3003.2363.1843.1443.1173.1013.0963.1043.1253.1633.2193.2953.3903.4963.6003.6823.7243.7103.6393.5243.3873.2543.1
35、53-0.1340.1990.4780.6510.6890.5930.3930.141-0.106-0.302-0.423-0.468-0.454-0.404-0.335-0.262-0.191-0.124-0.0590.0080.0810.1660.2660.3790.4930.5860.6190.5540.3710.086-0.247-0.549-0.749-0.800-0.693-0.453dJedkgm2192.42.4 运动方程的求解方法运动方程的求解方法在已知机构受力及其初始运动的条件下，就可以通过求解其运动方程得到机构的运动规律。但是，作用于机构的力是多种多样的，等效力矩大多是关
36、于、和 t 的函数，同时，对于非定传动比的机构，其等效转动惯量及其导数亦大多是关于的函数，在很多场合不易求出它们的函数表达式， 只能用数值表格或图线的形式表示它们的变化规律。所以，运动方程仅仅在部分情况下，才能用解析方法进行求解，而在大多数情况下只能用数值解法求解。以下将分几种不同情况讨论运动方程的求解方法。2.4.12.4.1 等效力矩是等效构件转角的函数等效力矩是等效构件转角的函数若机械所受到的主动力仅是机械位置的函数，则其等效力矩便仅为等效构件转角的函数，即Me Me()这时由积分形式的动能定理式(2-11)得11Je2Je002Me()d(2-28)022式中，Je0、0对应于初始位置
37、0的等效转动惯量和角速度；Je、对应于转角时的等效转动惯量和角速度。由式(2-28)即可解出角速度和转角的函数关系为：2Je002W()(2-29)Je()式中，W()为等效力矩所做的功，W() 0Me()d。当Me()是以图线或表格形式给出，或者是不易于积分的函数形式时，则积分W()不便于用解析法计算。这时，可应用相应的图解积分或数值积分法(如梯形法，辛卜普生法等)计算。当等效构件的初始角速度0为已知时， 就可以用式(2-29)求出用转角的函数表示的角速度。如要进一步求出用时间函数表示的运动规律，可应用下式：dt d(2-30)积分得：t t00d(2-31)由于和的函数关系已求出， 所以可
38、以用式(2-31)确定转角与时间 t 的函数关系。当式(2-31)中积分不易用解析法计算时，同样可以用数值方法进行计算。例2-4 在例2-3中的曲柄滑块机构中， 若已知其等效力矩Me与1的函数关系如表2-2所示，并已知其初始运动为t0=0 时，10=0，10=62rads。试计算曲柄的转角和角20速度的函数关系。解： 因等效力矩Me与1的函数关系是用表格形式给出的， 所以应采用数值积分法计算W(1)。如果选用梯形法计算W(1)，可将所研究的区间分成很多小区间， 使得在每个小区间上可以没有明显误差地用直线规律代替函数Me(1)。设每个小区间长，各分、1i、 。点为10、11、12、令Mei Me
39、(1i)、WiW(1i)，则可得以下递推关系W0 0(2-32)WiWi1(Mei1 Mei)2用式(2-32)所示递推公式可对整个运动区间进行研究，依次计算出W0、W1、W2，。计算出 Wi后，即可应用式(2-29)计算出当转角为1i时的角速度1i的值。计算结果如表2-2 所示。若要进一步计算出机构运动所对应的时间ti，则同样可由梯形法得到以下递推关系t0 011(2-33)ti ti1()21i11i在求出1i后，即可用式(2-33)计算 ti。计算结果亦列于表 2-2 中。表 2-2 函数的数值积分方法1()MeN mWJ1rad /sts1()MeN mWJ1rad /sts01020
40、304050607080901001101201301401501601701807205403601800-240-480-720-840-900-840-720-480-24001803604805400.00109.98188.50235.62251.33230.38167.5562.83-73.30-225.15-376.99-513.13-617.85-680.68-701.92-685.91-638.79-565.49-476.4762.0062.5162.3161.5860.5759.4758.4557.5756.9056.4456.1956.1356.2656.5657.015
41、7.5658.1858.8359.470.00000.00280.00560.00840.01130.01420.017l0.02020.02320.02630.02940.03250.03560.03870.04180.04480.04780.05080.05381902002102202302402502602702802903003103203303403503604202400-180-360-480-600-480-360-1800240480720840960840720-392.70-335.10-314.16-329.87-376.99-450.30-544.54-638.79
42、-712.09-759.22-774.93-753.98-691.15-586.43-450.30-293.22-136.140.0059.9760.2060.1159.8758.9067.3356.5255.1753.9953.1452.7752.9753.8155.2257.0459.0160.7862.000.05670.05960.06250.06540.06830.07130.07440.07750.08070.08400.08730.09060.09380.09700.10020.10320.10610.10892.4.22.4.2 等效转动惯量为常数，等效力矩为等效构件角速度函数
43、等效转动惯量为常数，等效力矩为等效构件角速度函数Je=常数， Me=Me()是具有定传动比机械中的一种常见情况。 这时应用积分形式的能21量方程式(2-11)是不方便的，因为积分21Med中的被积函数是 的函数，在没有求出机械的实际运动规律前， 不能直接积分。 在这种情况下可应用力矩形式的运动方程式(2-12)进行研究。dJ因为 Je=常数，e 0，故这时运动方程式(2-12)可简化为：dJed Me()(2-34)dt将方程式(2-34)分离变量后积分得：t t Jd0eM)0e(式(2-35)即给出了角速度 与时间 t 的函数关系。若 Me可用 的一次函数表示，即：Me=a+b将上式代入式
44、(2-35)，积分后得：t t Jeblna b0a b0若 Me是 的二次函数时，即：Me=a+b +c2将上式代入式(2-35)，积分后得：t td0 Je0a bc2当 b2-4ac0 时，则为：t tJ2cbb24ac2c0elnbb24ac0b24ac2cbb24ac2c0bb24ac如果需要求出 和的函数关系，可利用以下积分变换：dddtd使运动方程式(2-34)化为：Jded Me()将上式分离变量并积分得：22(2-35)(2-36)(2-37)(2-38)0 Jed(2-39)0M ()e当 Me=a+b 时得：0Jebaabln0bab0(2-40)当 Me=a+b +c2
45、，且 b2-4ac0 时得：Jea bc2(2cbb24ac)(2c0bb24ac)b0lnln22222ca b0c0b 4ac(2cbb 4ac)(2c0bb 4ac)(2-41)在 Me不能用简单的代数函数近似表示时， 式(2-35)和式(2-39)中的积分就不易用解析法计算出来，这时同样可以用数值积分法来计算，在此不再重复。例 2-5 设某卷扬机的等效转动惯量Je=2kgm2，等效力矩 Me(单位为Nm)可近似用 (单位为rad/s)的二次函数表示为：Me=63.55.21 0.07842若等效构件由0=0 开始运动，试确定其以后的运动规律。解：由题意等效力矩为 的二次函数，且 a=6
46、3.5，b= -5.21，c=0.0784。计算 b2-4ac 得：b2-4ac=(-5.21)2-46.350.0784=7.2305因 b2-4ac=7.23050，故应用式(2-38)得：t 27.2305ln(20.07845.217.2305)(5.217.2305)(20.07845.217.2305)(5.217.2305)由上式解得：16.07810.9471.3445te0.31916上式即为用时间函数表示的等效构件角速度的变化规律。2.4.32.4.3 等效力矩是等效构件转角和角速度的函数等效力矩是等效构件转角和角速度的函数对于具有非定传动比的机构，其等效力矩由于与传动速比
47、有关，所以一般都与等效构件转角有关。若其发动机或工作机的机械特性与机械的运动速度有关，则等效力矩就是等效构件转角和角速度的函数。这是一种在工程中经常遇到的较为一般的情况。设Me Me(，)，Je Je()，由力矩形式的运动方程式(2-12)得：23Je()d1Je()2 Me(，)dt2dJ式中，Jee。d利用积分变换ddd，可将上式化为 关于的一阶微分方程：dtddtd f (,)(2-43)d式中，f (,) Me12Je2。Je在已知机构初始运动时，就可用上述微分方程确定等效构件角速度与转角的函数关系。但是，式(2-43)右边部分通常都是关于和 的复杂函数，因此该微分方程一般无法采用分离
48、变量等解析方法求出其解析解。在实际应用中，常采用数值方法对上述微分方程作近似求解。以下介绍两种常用的数值解法欧拉法和龙格库塔法。用数值方法研究运动方程式 (2-43)时，将被研究的等效构件转角的区间分为很多小段，使得在每个小区间上可以没有显著误差地对函数f (,)作出某种近似处理。在已知初始条件0,0，用数值方法求解方程式(2-43)时，问题归结为：当已知i时的i，如何近似求出i1i 时的i+1。据此，逐步由0时的0求出1时的1，然后再由求出1时的1求出21时的2，从而求出任意位置i时的i。由i时的i求i1时的i+1的最简单的近似方法是欧拉法(也称折线法)。如果计算步长h 取得足够小， 在小区
49、段i,i1上， 可以近似认为在所研究的小区段内f (,)为常数。令Jei Je(i),Jei Je(i),Mei Me(i,i)，可得计算i+1的近似公式为：i1i fih(2-44)12Jeii2。式中，fi f (i,i) MeiJeii公式(2-44)称为欧拉公式。当i时的i已求出时，即可用此公式计算i1时的i+1。用欧拉法得出的结果，累积误差较大。在求解精度要求较高的场合，可采用计算精度较高的四阶龙格库塔法。其递推公式为：i1i(K12K22K3 K4)(2-45)式中，K1 hf (i,i)K1hK2 hf ,ii22K2hK3 hf i2,i2K4 hfi h,i K32416当i
50、时的i已求出时，可依次计算出 K1、K2、K3和 K4，代入式(2-48)就可计算出i 时的i+1。2、与欧拉法的计算类似， 可从0时的0开始， 依次计算出1、i时相应的1、2、i，即求出了()的函数关系。例 2-6 对于例 2-3 中的曲柄滑块机构， 如果已知曲柄 AB 和滑块 C 各自受到的驱动力矩 M1(单位为Nm)和工作阻力 F(单位为 N)的变化规律为 M1= 60(62.8-1)， F=150vC， 其中1(单位为 rads)为曲柄 AB 的实际角速度， vC(单位为 ms)为滑块 C 的运动速度； 曲柄 AB 的初始运动为10 0，10=62rads。试计算曲柄AB 的运动情况(