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1、第三章第三章刚性构件组成的二自由度刚性构件组成的二自由度机械系统动力学机械系统动力学3.1 3.1 概述概述3.2 3.2 约束约束,约束方程约束方程,约束分类约束分类3.3 3.3 自由度与广义坐标自由度与广义坐标 3.4 3.4 虚位移原理与广义力虚位移原理与广义力 3.5 3.5 拉格朗日方程拉格朗日方程 3.5 3.5 二自由度机械系统动力学分析二自由度机械系统动力学分析3.63.6 二自由度机械手动力学分析二自由度机械手动力学分析一一、多、多自由度机械系统动力学分析方法自由度机械系统动力学分析方法 单单自由度自由度系统系统:等效力学模型等效力学模型,牛顿力学。牛顿力学。多多自由度系统
2、自由度系统:拉格朗日方程拉格朗日方程二二、理论力学和分析力学理论力学和分析力学1.研究方法研究方法:几何几何,分析分析2.研究观点研究观点:力力,能量能量三、分析力学的内容三、分析力学的内容（1）变分变分（2）传动装置）传动装置（3）执行装置）执行装置3.1 3.1 概述概述一一、多、多自由度机械系统动力学分析方法自由度机械系统动力学分析方法 单单自由度自由度系统系统:等效力学模型等效力学模型,牛顿力学。牛顿力学。多多自由度系统自由度系统:拉格朗日方程拉格朗日方程二二、理论力学和分析力学理论力学和分析力学1.研究方法研究方法:几何几何,分析分析2.研究观点研究观点:力力,能量能量三、分析力学的
3、内容三、分析力学的内容（1）变分变分（2）传动装置）传动装置（3）执行装置）执行装置3.1 3.1 概述概述一一、约束、约束 自由系统和非自由系统自由系统和非自由系统 例例:火车车轮火车车轮二二、约束方程约束方程3.2 3.2 约束约束,约束方程约束方程,约束分类约束分类三三、约束分类约束分类3.稳定约束和和非稳定约束稳定约束和和非稳定约束一、广义坐标一、广义坐标 直角坐标直角坐标:极坐标极坐标:3.3 3.3 广义坐标和自由度广义坐标和自由度 约束方程约束方程:广义坐标和直角坐标的关系广义坐标和直角坐标的关系:二二、自由度自由度 一、虚位移一、虚位移 对于广义坐标对于广义坐标 ,质点系的坐标
4、可以表质点系的坐标可以表示为示为:当质点系移动时当质点系移动时,广义坐标改变为广义坐标改变为 ,位移为位移为即即:3.4 3.4 虚位移原理与广义力如果给广义坐标一个微小增量如果给广义坐标一个微小增量,则位移增量则位移增量:即即:直角坐标为直角坐标为:广义虚位移广义虚位移二二、广义力计算广义力计算虚位移可以有以下三种形式虚位移可以有以下三种形式:如果令如果令则上公式为则上公式为:Qk为广义力为广义力:3.5 3.5 拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日方程表达式表达式例例1 1 在水平面内运动的行星齿在水平面内运动的行星齿轮机构如图所示。均质系杆轮机构如图所示。均质系杆OAOA的的质量为质量为m1
5、m1，它可绕端点，它可绕端点O O转动，另转动，另一端装有质量为一端装有质量为m2m2，半径为，半径为r r的均的均质小齿轮，小齿轮沿半为质小齿轮，小齿轮沿半为R R的固定的固定大齿轮纯滚动。当系杆受力偶大齿轮纯滚动。当系杆受力偶M M的的作用时，试求系杆的角加速度。作用时，试求系杆的角加速度。3.5 3.5 拉格朗日方程解：具有一个自由度，选系杆的转角解：具有一个自由度，选系杆的转角为广为广义坐标。设系杆对义坐标。设系杆对O轴的转动惯量为轴的转动惯量为JO，小，小齿轮对其质心齿轮对其质心A的转动惯量为的转动惯量为JA，小齿轮的，小齿轮的绝对角速度为，则绝对角速度为，则A点的速度为点的速度为小
6、齿轮的角速度3.5 3.5 拉格朗日方程系统的动能等于系杆的动能和小齿轮的动能之和，即与广义坐标对应的广义力与广义坐标对应的广义力 将上两式代入拉氏方程得例例2.椭圆摆由物块和摆锤用直杆铰连而成，如图所示，椭圆摆由物块和摆锤用直杆铰连而成，如图所示，物块可沿光滑水平面滑动，摆杆可在铅直面内摆动。设物块可沿光滑水平面滑动，摆杆可在铅直面内摆动。设物块和摆锤的质量分别为物块和摆锤的质量分别为m1，m2；摆杆长为；摆杆长为l，质量不，质量不计。试建立系统的运动微分方程。计。试建立系统的运动微分方程。解解:物块作平动，摆锤尺寸物块作平动，摆锤尺寸不计，两者均可看作质点。不计，两者均可看作质点。系统具有两个自由度，以系统具有两个自由度，以x1和和为广义坐标，设摆锤的坐为广义坐标，设摆锤的坐标为标为x2和和y2，则，则:于是，可求得系统的动能于是，可求得系统的动能:主动力只有重力，是有势力。以物块质心所在水平面为势能零位置，因而系统的势能为将动能与势能代入,得拉格朗日函数将其代入拉氏方程，有得经运算整理后，得这就是系统的运动微分方程。3.6二自由度机械系统动力学分析二自由度机械系统动力学分析得系统的动能：得系统的动能：得系统的势能：得系统的势能：根据拉氏方程得根据拉氏方程得: