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1、1第一二节第一二节 随机样本与抽样分布随机样本与抽样分布教学内容教学内容 1 总体和样本总体和样本 2 统计量与经验分布函数统计量与经验分布函数 3 统计三大抽样分布统计三大抽样分布 4 几个重要的抽样分布定理几个重要的抽样分布定理教学重点教学重点 统计量，几个重要的抽样分布定理统计量，几个重要的抽样分布定理2 概率论与数理统计是研究和揭示随机现概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门学科，是重要的一个数象统计规律性的一门学科，是重要的一个数学分支。概率论是研究随机现象发生可能性学分支。概率论是研究随机现象发生可能性的大小的一门学科，而数理统计则是研究大的大小的一门学科，而数理统计
2、则是研究大量随机现象数量规律的一门学科。它们之间量随机现象数量规律的一门学科。它们之间联系密切但也有根本差别，数理统计的方法联系密切但也有根本差别，数理统计的方法在自然科学、工程技术研究及社会科学领域在自然科学、工程技术研究及社会科学领域中应用极其广泛。中应用极其广泛。3数理统计学是一门应用性很强的学科数理统计学是一门应用性很强的学科.它是研究它是研究怎样以怎样以有效的方式有效的方式收集、收集、整理和分析带有随机性的整理和分析带有随机性的数据，以便对所考察的问题作出推断和预测，甚至数据，以便对所考察的问题作出推断和预测，甚至为采取一定的决策和行动提供依据和建议。为采取一定的决策和行动提供依据和
3、建议。由于大量随机现象必然呈现它规由于大量随机现象必然呈现它规律性，只要对随机现象进行足够多次律性，只要对随机现象进行足够多次观察，被研究的规律性一定能清楚地观察，被研究的规律性一定能清楚地呈现出来呈现出来.客观上，客观上，只允许我们对随机现象只允许我们对随机现象进行次数不多的观察试验进行次数不多的观察试验，我们只，我们只能获得局部观察资料能获得局部观察资料.4数理统计是以概率论为理论基础数理统计是以概率论为理论基础,根据抽根据抽样信息样信息,对研究对象对研究对象(总体总体)作出合理的估计作出合理的估计和判断的学科和判断的学科.数理统计的步骤数理统计的步骤:(1)收集、整理数据资料收集、整理数
4、据资料(2)对所得数据资料进行分析、研究对所得数据资料进行分析、研究(3)对所研究对象的性质、特点作出估计对所研究对象的性质、特点作出估计或判断或判断.5一一个统计问题总有它明确的研究对象个统计问题总有它明确的研究对象.1.1.总体总体研究某批灯泡的质量研究某批灯泡的质量研究对象的研究对象的所构成的一个集合所构成的一个集合全体称为全体称为总体，总体，是一维随机变量是一维随机变量(或多维随机变量或多维随机变量),记为记为X.总体总体一、总体和样本一、总体和样本总体中所包含的个体的个数称为总体中所包含的个体的个数称为总体的容量总体的容量.总体中每个成员称为总体中每个成员称为个体，个体，总体总体有限
5、总体有限总体无限总体无限总体6在数理统计研究中，人们往往研究有关对象的在数理统计研究中，人们往往研究有关对象的某一项某一项(或几项或几项)数量指标和为此，对这一指标进行数量指标和为此，对这一指标进行随机试验，观察试验结果全部观察值，从而考察该随机试验，观察试验结果全部观察值，从而考察该数量指标的分布情况数量指标的分布情况.这时，每个具有的数量指标的这时，每个具有的数量指标的全体就是总体全体就是总体.每个数量指标就是个体每个数量指标就是个体.某批某批灯泡的寿命灯泡的寿命该批灯泡寿命的全该批灯泡寿命的全体就是总体体就是总体国产轿车每公里国产轿车每公里的耗油量的耗油量国产轿车每公里耗油量国产轿车每公
6、里耗油量的全体就是总体的全体就是总体7由于每个个体的出现是随机的，所以相由于每个个体的出现是随机的，所以相应的数量指标的出现也带有随机性应的数量指标的出现也带有随机性.从而可从而可以把这种数量指标看作一个随机变量，以把这种数量指标看作一个随机变量，因此因此随机变量的分布就是该数量指标在总体中的随机变量的分布就是该数量指标在总体中的分布分布.这样，总体就可以用一个随机变量这样，总体就可以用一个随机变量及其分布来描述及其分布来描述.8 而而概率分布概率分布正是刻划这种集体性质正是刻划这种集体性质的适当工具的适当工具.因此在理论上可以把总体因此在理论上可以把总体与概率分布等同起来与概率分布等同起来.
7、从另一方面看从另一方面看 统计的任务统计的任务,是根据从总体中抽取的是根据从总体中抽取的样本样本，去推断总体的性质去推断总体的性质.由于我们关心的是总体中的个体的某由于我们关心的是总体中的个体的某项指标项指标(如人的身高、体重，灯泡的寿命如人的身高、体重，灯泡的寿命,汽车的耗油量汽车的耗油量)，所谓总体的性质所谓总体的性质，无无非就是这些指标值的集体的性质非就是这些指标值的集体的性质.9例如例如:研究某批灯泡的寿命时，关心的数研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标就是寿命，那么，此总体就可以用随量指标就是寿命，那么，此总体就可以用随机变量机变量X表示，或用其分布函数表示，或用其分布函数F(x)表
8、示表示.某批某批灯泡的寿命灯泡的寿命总体总体寿命寿命X可用一概可用一概率分布来刻划率分布来刻划鉴于此，常用随机变量的记号鉴于此，常用随机变量的记号或用其分布函数表示总体或用其分布函数表示总体.如如说总体说总体X或总体或总体F(x).F(x)10类似地，在研究某地区中学生的营养状类似地，在研究某地区中学生的营养状况时，若关心的数量指标是身高和体重，我况时，若关心的数量指标是身高和体重，我们用们用X和和Y分别表示身高和体重，那么此总体分别表示身高和体重，那么此总体就可用二维随机变量就可用二维随机变量(X,Y)或其联合分布函数或其联合分布函数F(x,y)来表示来表示.统计中，总体这个概念统计中，总体
9、这个概念的要旨是：的要旨是：总体就是一个总体就是一个概率分布概率分布.11参数的分布，为推断总体分布及各种特征，按一参数的分布，为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息获得有关总体的信息，这一抽取过程称为，这一抽取过程称为“抽样抽样”，所抽取的部分个体称为所抽取的部分个体称为样本样本.样本中所包含样本中所包含的个体数目称为的个体数目称为样本容量样本容量.2.2.样本样本从国产轿车中抽从国产轿车中抽5辆辆进行耗油量试验进行耗油量试验样本容量为样本容量为5抽到哪抽到哪5辆是随机的辆是随机的总体分布一般是未知
10、，或只知道是包含未知总体分布一般是未知，或只知道是包含未知12一旦取定一组样本一旦取定一组样本X1，,Xn,得到得到n个具体的数个具体的数(x1,x2,xn)，称为样本的一次观察值，简称，称为样本的一次观察值，简称样本值样本值.n称为这个样本的容量称为这个样本的容量.13最常用的一种抽样叫作最常用的一种抽样叫作“简单随机抽样简单随机抽样”，其特点其特点：1.代表性代表性：X1,X2,Xn中每一个与所考察的总体有中每一个与所考察的总体有相同的分布相同的分布.2.独立性独立性：X1,X2,Xn是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量.3.同分布同分布:样本与总体服从同一分布样本与总体服从同一分布.
11、14定义：定义：由简单随机抽样得到的样本称为由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本简单随机样本，它可以用与总体独立同分布的它可以用与总体独立同分布的n个相互独立的随机变个相互独立的随机变量量X1,X2,Xn表示表示.15简单随机样本是应用中最常见的情形，今后，简单随机样本是应用中最常见的情形，今后，当说到当说到“X1,X2,Xn是取自某总体的样本是取自某总体的样本”时，若时，若不特别说明，就指简单随机样本不特别说明，就指简单随机样本.=F(x1)F(x2)F(xn)若总体的分布函数为若总体的分布函数为F(x)、概率密度函数为、概率密度函数为f(x),则其简单随机样本的联合分布函数为则其简单随
12、机样本的联合分布函数为其简单随机样本的联合概率密度函数为其简单随机样本的联合概率密度函数为=f(x1)f(x2)f(xn)16事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确定的值定的值.如我们从某班大学生中抽取如我们从某班大学生中抽取10人测量身高人测量身高,得到得到10个数，它们是样本取到的值而不是样本个数，它们是样本取到的值而不是样本.我我们只能观察到随机变量取的值而见不到随机变量们只能观察到随机变量取的值而见不到随机变量.3.3.总体、样本、样本值的关系总体、样本、样本值的关系17总体（理论分布）总体（理论分布）？样本样本样本值样本值统计是从手中已有的资
13、料统计是从手中已有的资料-样本值，去推断总样本值，去推断总体的情况体的情况-总体分布总体分布F(x)的性质的性质.总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断总体总体.样本是联系二者的桥梁样本是联系二者的桥梁18由样本值去推断总体情况，由样本值去推断总体情况，在应用时在应用时,往往往往不是直接使用样本不是直接使用样本,需要对样本值进行需要对样本值进行“加工加工”，这就要构造一些依赖于样本的函数，它把样本中这就要构造一些依赖于样本的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信息集
14、中起来所含的（某一方面）的信息集中起来.1.统计量统计量这种这种不含任何未知参数不含任何未知参数的样本的函数称为统的样本的函数称为统计量计量.它是完全由样本决定的量它是完全由样本决定的量.二、统计量与经验分布函数二、统计量与经验分布函数19定义定义请注意请注意:注：统计量是随机变量。它不含任何注：统计量是随机变量。它不含任何未知参数未知参数.20例例1设为来自总体设为来自总体的一个样本，的一个样本，问下列随机变量中那些是统计量问下列随机变量中那些是统计量;21XXn;)(221s sXXn+.)(1s sm mnnXXn-+L;1m mnXXn-+L;),min(21XXXnL21几个常见统计
15、量几个常见统计量样本平均值样本平均值它反映了它反映了总体均值总体均值的信息的信息样本方差样本方差它反映了总体它反映了总体方差的信息方差的信息样本标准差样本标准差22它反映了总体它反映了总体k 阶矩的信息阶矩的信息样本样本k阶原点矩阶原点矩样本样本k阶中心矩阶中心矩k=1,2,它反映了总体它反映了总体k 阶阶中心矩的信息中心矩的信息23它们的观察值分别为：它们的观察值分别为：样本均值样本均值样本方差样本方差样本标准差样本标准差样本样本k阶矩阶矩样本样本k阶中心矩阶中心矩24请注意请注意:252.经验分布函数经验分布函数2627 三三 统计三大抽样分布统计三大抽样分布记为记为分布分布1、定义定义:
16、设设相互独立相互独立,都服从正态分布都服从正态分布N(0,1),则称随机变量：则称随机变量：所服从的分布为所服从的分布为自由度为自由度为 n的的 分布分布.分布是由正态分布派生出来的一种分布分布是由正态分布派生出来的一种分布.28来定义来定义.其中伽玛函数其中伽玛函数 通过积分通过积分 分布的密度函数为分布的密度函数为记为2930311.设设相互独立相互独立,都服从正态分布都服从正态分布则则这个性质叫这个性质叫分布的可加性分布的可加性.2设设且且X1,X2相互独立，相互独立，32E(X)=n,D(X)=2n.4若若近似正态分布近似正态分布N(0,1).(应用中心极限定理可得应用中心极限定理可得
17、)3334概率密度函数为：概率密度函数为：定定义义:设设XN(0,1),Y,且且X与与Y相相互互独立，则称变量独立，则称变量所服从的分布为所服从的分布为自由度为自由度为n的的t 分布分布.2、t 分布分布35t t分布的性质分布的性质363738由定义可见，由定义可见，3、F分布分布F(n2,n1)定义定义:设设U 与与V 相互相互独立，则称随机变量独立，则称随机变量服从服从自由度为自由度为n1及及n2的的F分布分布，n1称为称为第一第一自由度自由度，n2称为称为第二自由度第二自由度，记作，记作FF(n1,n2).39即它的数学期望并不依赖于第一自由度即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1.1
18、.F分布的数学期望为分布的数学期望为:若若n22若若FF(n1,n2)，F的概率密度为的概率密度为F F分布的性质分布的性质402.F分布的分位数分布的分位数41三、几个重要的抽样分布定理三、几个重要的抽样分布定理4243 定理定理 1 (1 (样本均值的分布样本均值的分布)设设X1,X2,Xn 是来自正态总体是来自正态总体的样本，的样本，是样本均值，则有是样本均值，则有44n取不同值时样本取不同值时样本均值均值的分布的分布请注意请注意:45 定理定理 2 (2 (样本方差的分布样本方差的分布)设设X1,X2,Xn是来自正态总体是来自正态总体的样本的样本,分别为样本均值和样本方差分别为样本均值
19、和样本方差,则有则有n取不同值时取不同值时的分布的分布46定理定理 3 3(样本均值的分布样本均值的分布)设设X1,X2,Xn是取自正态总体是取自正态总体的样本的样本,分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,则有则有定理定理 4(4(两总体样本均值差、样本方差比的分布两总体样本均值差、样本方差比的分布)分别是这两个样本的分别是这两个样本的且且X与与Y独立独立,X1,X2,是来自是来自X的样本的样本,是取自是取自Y的样本的样本,这两个样本的样本方差这两个样本的样本方差,则有则有Y1,Y2,样本均值，样本均值，分别是分别是50六、小结六、小结在这一节中我们学习了统计量的概念在这一节中我们
20、学习了统计量的概念,几几个重要的统计量及其分布个重要的统计量及其分布,即抽样分布即抽样分布.要求大要求大家熟练地掌握它们家熟练地掌握它们.51常用的统计量常用的统计量样本平均值样本平均值样本方差样本方差样本标准差样本标准差样本样本k阶原点矩阶原点矩样本样本k阶中心矩阶中心矩52抽样分布抽样分布t 分布分布F分布分布53抽样分布定理抽样分布定理1样本均值的分布样本均值的分布2样本方差、均值的分布样本方差、均值的分布543两总体样本均值差、样本方差比的分布两总体样本均值差、样本方差比的分布1.1.了解总体、个体、样本和统计量的概念，了解总体、个体、样本和统计量的概念，掌握样本均值和样本方差的计算及基本掌握样本均值和样本方差的计算及基本 性质。性质。2.2.掌握掌握 分布、分布、t t 分布、分布、F 分布的定义，分布的定义，会查表计算。会查表计算。3 3 掌握正态总体的某些统计量的分布。掌握正态总体的某些统计量的分布。全章要求全章要求