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1、第六章第六章 参数估计参数估计一、参数估计的概念一、参数估计的概念(一一)基本内容基本内容 取样本的一个函数取样本的一个函数值作为未知参数值作为未知参数的估计值，则称的估计值，则称1 定义：定义：如果以它的观测如果以它的观测点估计量。点估计量。而称其观测值而称其观测值是是的点估计值。的点估计值。是是的的二、求点估计值的方法二、求点估计值的方法 1.1.矩估计法矩估计法用样本原点矩用样本原点矩来估计总体原点矩来估计总体原点矩（1）设总体分布函数设总体分布函数含有一个未知参数含有一个未知参数，令，令解方程得：解方程得：的矩估计量的矩估计量1（2）设总体分布函数设总体分布函数含有两个未知参数含有两个
2、未知参数1，2，解方程得：解方程得：令令 2.最大似然法估计法最大似然法估计法（1 1）设总体）设总体X是离散随机变量是离散随机变量似然函数：似然函数：令令或或2（2）设总体）设总体X是连续随机变量是连续随机变量似然函数：似然函数：样本均值样本均值 是总体均值是总体均值的无偏估计量的无偏估计量.1.无偏性无偏性 若若为为的无偏估计量。的无偏估计量。则则 称称定定 义义 结论结论1 样本方差样本方差 是总体方差是总体方差 的无偏估计的无偏估计量量.结论结论2 取样本取样本三、衡量点估计量好坏的标准三、衡量点估计量好坏的标准3则称则称 较较 有效。有效。如果如果 2.有效性有效性及及都是都是的无偏
3、估计量，的无偏估计量，定义定义 则称则称 是是的一致估计量。的一致估计量。样本方差样本方差 是总体方差是总体方差 的一致估计量的一致估计量.3.一致性（相合性）一致性（相合性）定义定义 如果当如果当n时，时，按概率收敛于按概率收敛于，即对任何正数，即对任何正数,样本均值样本均值 是总体均值是总体均值的一致估计量的一致估计量.结论结论1 1 结论结论2 2 有有41.1.正态总体均值正态总体均值的区间估计的区间估计(1)(1)设总体设总体X 已知已知 求参数求参数的置信区间。的置信区间。四、一个正态总体参数的区间估计四、一个正态总体参数的区间估计样本函数样本函数对于置信水平对于置信水平1-，总体
4、均值，总体均值的的置信区间置信区间为为(2)设总体设总体X 未知未知，求，求的置信区间。的置信区间。用用 代替代替 ，则则样本函数样本函数5对应于置信水平对应于置信水平1-，总体均值，总体均值的的置信区间置信区间为为2.正态总体方差正态总体方差 的区间估计的区间估计（1）设总体）设总体X 已知已知 ，求，求 的置信区间。的置信区间。考虑考虑样本函数样本函数对应于置信水平对应于置信水平1-，总体方差，总体方差 的置信区间为的置信区间为6（2）设总体）设总体X 未知未知 ，求，求 的置信区间。的置信区间。用用 代替代替样本函数样本函数对应于置信水平对应于置信水平1-，总体方差，总体方差 的置信区间
5、为的置信区间为7（1）设两个总体）设两个总体X 及及Y ，求求 的置信区间。的置信区间。已知已知 及及 ，考虑考虑样本函数样本函数两个总体均值差两个总体均值差 的置信水平的置信水平1-的的置信区间置信区间为：为：五、两个正态总体均值差与方差比的区间估计五、两个正态总体均值差与方差比的区间估计1 两个正态总体均值差的区间估计两个正态总体均值差的区间估计 8（2）设两个总体）设两个总体X 及及Y ，求求 的置信区间。的置信区间。未知，未知，及及假设假设考虑考虑样本函数样本函数对应于置信水平对应于置信水平1-，两个总体均值差两个总体均值差 的的置信区间置信区间为为:9选取选取样本函数：样本函数：2
6、两个正态总体方差比的区间估计两个正态总体方差比的区间估计（1）设两个总体）设两个总体X 及及Y 求求 的置信区间。的置信区间。已知已知 及及 ，对于已给的置信水平对于已给的置信水平1-，的的置信区间置信区间为为10选取选取样本函数样本函数（1）设两个总体）设两个总体X 及及Y 求求 的置信区间。的置信区间。未知未知 及及 ，所以对于已给的置信水平所以对于已给的置信水平1-，的的置信区间置信区间为为111、得得 p 的极大似然估计值为的极大似然估计值为令令似然函数：似然函数：解解122.设总体设总体X 服从拉普拉斯分布：服从拉普拉斯分布：如果取得样本观测值为如果取得样本观测值为求参数求参数的矩估
7、计值与最大似然估计值的矩估计值与最大似然估计值.(1)(1)矩估计法矩估计法令令得参数得参数的矩估计值为的矩估计值为解解13(2)(2)最大似然估计法最大似然估计法似然函数似然函数参数参数的最大似然估计值为的最大似然估计值为14(1)(1)矩估计法矩估计法令令3.设总体设总体X服从伽玛分布：服从伽玛分布：如果取得样本观测值为如果取得样本观测值为(1)求参数求参数及及的矩估计值的矩估计值;(2)已知已知求参数求参数 的的最大似然估计值最大似然估计值.解解15令令将将(1)代入代入(2)，得，得,的矩估计值为的矩估计值为16(2)(2)最大似然估计法最大似然估计法174、求该日生产的整批灯泡的平均
8、寿命及寿命方差的无偏估计值求该日生产的整批灯泡的平均寿命及寿命方差的无偏估计值.1250,1040,1130,1300,1200.1050,1100,1080,1120,1200，试验，得到灯泡寿命试验，得到灯泡寿命(小时小时)如下如下:灯泡厂从某日生产的一批灯泡中抽取灯泡厂从某日生产的一批灯泡中抽取10个灯泡进行寿命个灯泡进行寿命解解185、设样本观测值为设样本观测值为为了估计总体为了估计总体X的方差的方差,我们利用下面的公式我们利用下面的公式:使使是总体方差的无偏估计量是总体方差的无偏估计量.求常求常k的值，的值，解解19证证6、设样本为设样本为又又为常数，且为常数，且（2）在所有这些无偏
9、估计量）在所有这些无偏估计量中，样本均值中，样本均值的方差最小的方差最小.证明（证明（1）是总体均值是总体均值的无偏估计量；的无偏估计量；（1）（2）207、如果已知总体如果已知总体X的均值的均值证明总体方差的无偏估计量为证明总体方差的无偏估计量为其中其中是从总体是从总体X中抽取的样本。中抽取的样本。证证即即所以所以是总体方差的无偏估计量。是总体方差的无偏估计量。218、某工厂生产滚珠，从某日生产的产品中随机抽取某工厂生产滚珠，从某日生产的产品中随机抽取9个，测得个，测得直径（毫米）如下：直径（毫米）如下：14.6，14.7，15.1，14.9，14.8，15.0，15.1，15.2，14.8
10、.设滚珠直径服从正态分布，求直径的均值对应于置信水平设滚珠直径服从正态分布，求直径的均值对应于置信水平0.95的置信区间，如果：的置信区间，如果：（1）已知标准差为已知标准差为0.15毫米；毫米；（2）未知标准差）未知标准差.对于置信水平对于置信水平1-=0.95，则则=0.05，查表得查表得（1）解解22由由得置信区间为得置信区间为14.911-0.098 14.911+0.098即即 14.81315.009（2）已给置信水平已给置信水平1-=0.95，则则=0.05，查表得查表得:由由得置信区间为：得置信区间为：14.7515.07239、已知高度表的误差已知高度表的误差有多少有多少 这
11、样的仪器，才能使得以概率这样的仪器，才能使得以概率0.98保持平均高度保持平均高度米，飞机上应该米，飞机上应该的误差的绝对值小于的误差的绝对值小于30米？米？所以至少应有两个高度表所以至少应有两个高度表.解解2410、测得测得16个零件的长度（毫米）如下：个零件的长度（毫米）如下：12.15，12.12，12.01,12.08,12.09,12.16,12.03,12.01,12.06,12.13,12.07,12.11,12.08,12.01,12.03，12.06.设零件长度服从正态分布，求零件长度的标准差对应于置设零件长度服从正态分布，求零件长度的标准差对应于置信水平为信水平为0.99的
12、置信区间。如果：的置信区间。如果：（1）已知均值为已知均值为12.08毫米；毫米；（2）未知均值）未知均值.解解（1）已）已 知知已给置信水平已给置信水平1-=0.99，则则=0.01，自由度自由度 k=16，25查表得查表得计算得计算得即即则直径标准差的置信区间为则直径标准差的置信区间为26对应于置信水平对应于置信水平1-=0.99，则则 的置信区间为的置信区间为即即查表得查表得则则=0.001，（2）未知）未知 即即2711、进行进行30次独立测试，测得零件加工时间的样本均值为次独立测试，测得零件加工时间的样本均值为秒，样本标准差秒，样本标准差 s=1.7秒秒.设零件加工时间是服从设零件加
13、工时间是服从正态分布的，求零件加工时间的均值及标准差对应于置信正态分布的，求零件加工时间的均值及标准差对应于置信水平水平0.95的置信区间。的置信区间。解解已给置信水平已给置信水平1-=0.95，查表得查表得计算得计算得 未知未知：所以置信区间为：所以置信区间为：4.867时时，当当x 时，时，4.设总体设总体X的概率密度为的概率密度为其中其中0是未知参数是未知参数.是总体是总体X的一个样本的一个样本.记记(1)求求X的分布函数的分布函数F(x);(2)求统计量求统计量 的分布函数的分布函数(3)如果用如果用 作作为为 的估计量，讨论它的无偏性的估计量，讨论它的无偏性.36作作为为的估计量，不具有无偏性的估计量，不具有无偏性.37