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1、- 1 -1.41.4 计数应用题计数应用题学习目标 1.进一步理解和掌握两个计数原理.2.进一步深化理解排列与组合的概念.3.能综合运用排列、组合解决计数问题类型一 两个计数原理的应用命题角度1 “类中有步”的计数问题例 1 电视台在某节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有 30 封，乙信箱中有 20 封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有_种不同的结果反思与感悟 用流程图描述计数问题，类中有步的情形如图所示：具体意义如下：从A到B算作一件事的完成，完成这件事有两类办法，在第 1 类办法中有 3 步，在第
2、2 类办法中有 2 步，每步的方法数如图所示所以，完成这件事的方法数为m1m2m3m4m5，“类”与“步”可进一步地理解为：“类”用“”号连接， “步”用“”号连接， “类”独立， “步”连续， “类”标志一件事的完成， “步”缺一不可跟踪训练 1 现有 4 种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有_种命题角度2 “步中有类”的计数问题例 2 有 4 位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重” 、 “立定跳远” 、 “肺活量” 、 “握力” 、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复若上午不测“握力”项目，
3、下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测一人，则不同的安排方式共有_种(用数字作答)反思与感悟 用流程图描述计数问题，步中有类的情形如图所示：- 2 -从计数的角度看，由A到D算作完成一件事，可简单地记为AD.完成AD这件事，需要经历三步，即AB，BC，CD.其中BC这步又分为三类，这就是步中有类其中mi(i1,2,3,4,5)表示相应步的方法数完成AD这件事的方法数为m1(m2m3m4)m5.以上给出了处理步中有类问题的一般方法跟踪训练 2 如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式共有_种类型二 有限制条件的排列问题例 3 3 个女生和 5 个男生排成一排(1)如果女生必须全排在一起，有
4、多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？(4)如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？(5)如果甲必须排在乙的右面(可以不相邻)，有多少种不同的排法？反思与感悟 (1)排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个位置，某个位置只能放某些元素等要先处理特殊元素或先处理特殊位置，再去排其他元素当用直接法比较麻烦时，可以用间接法，先不考虑限制条件，把所有的排列数算出，再从中减去全部不符合- 3 -条件的排列数，这种方法也称为“去杂法” ，但必须注意要不重复，不遗漏(去尽)(2)对于某些特殊问题，可采取相对固定的特殊方法，如
5、相邻问题，可用“捆绑法” ，即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列，再进行内部排列；不相邻问题，则用“插空法” ，即先排其他元素，再将不相邻元素排入形成的空位中跟踪训练 3 用 0 到 9 这 10 个数字，(1)可以组成多少个没有重复数字的四位数？在这些四位数中，奇数有多少个？(2)可以组成多少个只含有 2 个相同数字的三位数？类型三 排列与组合的综合应用命题角度1 不同元素的排列、组合问题例 4 有 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的蓝色卡片，从这 8 张卡片中取出 4 张卡片排成一行如果取出的 4 张卡片所标的数字之和等于 10，则不
6、同的排法共有多少种？反思与感悟 (1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排” ，也就是先把符合题意的- 4 -元素都选出来，再对元素或位置进行排列(2)解排列、组合综合问题时要注意以下几点：元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合综合问题的一般方法跟踪训练 4 从 1,3,5,7,9 中任取 3 个数字，从 0,2,4,6,8 中任取 2 个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位偶数？命题角度2 含有相同元素的排列、组合问题例 5 将 10 个优
7、秀名额分配到一班、二班、三班 3 个班级中，若各班名额数不小于班级序号数，则共有_种不同的分配方案反思与感悟 凡“相同小球放入不同盒中”的问题，即为“n个相同元素有序分成m组(每组的任务不同)”的问题，一般可用“隔板法”求解：(1)当每组至少含一个元素时，其不同分组方式有NC种，即将n个元素中间的n1m1n1个空格中加入m1 个“隔板” (2)任意分组，可出现某些组含元素为 0 个的情况，其不同分组方式有NC种，即m1nm1将n个相同元素与m1 个相同“隔板”进行排序，在nm1 个位置中选m1 个安排“隔板” - 5 -跟踪训练 5 用 2,3,4,5,6,7 六个数字，可以组成有重复数字的三
8、位数的个数为_- 6 -1李芳有 4 件不同颜色的衬衣，3 件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙 “五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有_种不同的选择方式2包括甲、乙在内的 7 个人站成一排，其中甲在乙的左侧(可以不相邻)，有_种站法3从 0,2,4 中取一个数字，从 1,3,5 中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是_4某电视台连续播放 5 个广告，其中有 3 个不同的商业广告和 2 个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是公益宣传广告，且 2 个公益宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有_种5已知xi1,0,1，i1,2,3,4,5,6，则满足x
9、1x2x3x4x5x62 的数组(x1，x2，x3，x4，x5，x6)的个数为_1解排列、组合综合题一般是先选元素、后排元素，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个基本计数原理作最后处理2对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏3对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏- 7 -答案精析答案精析题型探究例 1 28 800解析 在甲箱或乙箱中抽取幸运之星，决定了后边选幸运伙伴是不同的，故要分两类分别计算：(1)幸运之星在甲箱中抽，先确定幸运之星，再在两箱中各确定一名幸运伙伴，有30292017 400(种)结果
10、；(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有 20193011 400(种)结果因此共有 17 40011 40028 800(种)不同结果跟踪训练 1 48解析 如图所示，将原图从上而下的 4 个区域标为 1,2,3,4.因为 1,2,3 之间不能同色，1 与4 可以同色，因此，要分类讨论 1,4 同色与不同色这两种情况故不同的着色方法种数为432432148.例 2 264解析 上午总测试方法有 432124(种)我们以A、B、C、D、E依次代表五个测试项目若上午测试E的同学下午测试D，则上午测试A的同学下午只能测试B、C，确定上午测试A的同学后其余两位同学上、下午的测试方法共有 2 种；若上午测试
11、E的同学下午测试A、B、C之一，则上午测试A、B、C中任何一个的同学下午都可以测试D，安排完这位同学后其余两位同学的测试方式就确定了，故共有 339(种)测试方法，即下午的测试方法共有 11 种，根据分步计数原理，总的测试方法共有 2411264(种)跟踪训练 2 21解析 根据题意，设 5 个开关依次为 1、2、3、4、5，如图所示，若电路接通，则开关 1、2与 3、4、5 中至少有 1 个接通，对于开关 1、2，共有 224(种)情况，其中全部断开的有 1(种)情况，则其至少有 1 个接通的有 413(种)情况，对于开关 3、4、5，共有 2228(种)情况，其中全部断开的有 1(种)情况
12、，则其至少有1 个接通的有 817(种)情况，则电路接通的情况有 3721(种)- 8 -例 3 解 (1)(捆绑法)因为 3 个女生必须排在一起，所以可先把她们看成一个整体，这样同5 个男生合在一起共有 6 个元素，排成一排有 A 种不同排法对于其中的每一种排法，3 个6 6女生之间又有 A 种不同的排法，因此共有 A A 4 320(种)不同的排法3 36 63 3(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把 5 个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空，这样共有 4 个空，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有 6 个位置，再把 3 个女生插入这6 个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生
13、，就能保证任意两个女生都不相邻由于5 个男生排成一排有 A 种不同的排法，对于其中任意一种排法，从上述 6 个位置中选出 3 个5 5来让 3 个女生插入有 A 种方法，因此共有 A A 14 400(种)不同的排法3 65 53 6(3)方法一 (特殊位置优先法)因为两端不能排女生，所以两端只能挑选 5 个男生中的 2 个，有 A 种不同排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有 A 种排法，所以共有2 56 6A A 14 400(种)不同的排法2 56 6方法二 (间接法)3 个女生和 5 个男生排成一排共有 A 种不同的排法，从中扣除女生排在首8 8位的 A A 种排法和女生排在末位的
14、 A A 种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女1 37 71 37 7生排在首位时被扣去一次，在扣除女生排在末位时又被扣去一次，所以还需加一次，由于两端都是女生有 A A 种不同的排法，所以共有 A 2A A A A 14 400(种)不同的排2 36 68 81 37 72 36 6法方法三 (特殊元素优先法)从中间 6 个位置中挑选出 3 个让 3 个女生排入，有 A 种不同的3 6排法，对于其中的任意一种排法，其余 5 个位置又都有 A 种不同的排法，所以共有5 5A A 14 400(种)不同的排法3 65 5(4)方法一 因为只要求两端不能都排女生，所以如果首位排了男生，则末位就
15、不再受条件限制了，这样可有 A A 种不同的排法；如果首位排女生，有 A 种排法，这时末位就只能1 57 71 3排男生，这样可有 A A A 种不同的排法1 31 56 6因此共有 A A A A A1 57 71 31 56 636 000(种)不同的排法方法二 3 个女生和 5 个男生排成一排有 A 种排法，从中扣去两端都是女生的排法有 A A8 82 3种，就能得到两端不都是女生的排法种数因此共有 A A A 36 000(种)不同的排6 68 82 36 6法(5)(顺序固定问题)因为 8 人排队，其中两人顺序固定，共有20 160(种)不同的排法A8 8 A2 2跟踪训练 3 解
16、(1)可以组成 9A 4 536 个四位数适合题意的四位奇数共有3 9A A A 2 240(个)1 51 82 8(2)0 到 9 这 10 个数字构成的三位数共有 900 个，分为三类：第 1 类：三位数字全相同，如 111,222，999，共 9 个；第 2 类：三位数字全不同，共有998648(个)，- 9 -第 3 类：由间接法可求出，只含有 2 个相同数字的三位数，共有 9009648243(个)例 4 解 分三类：第一类，当取出的 4 张卡片分别标有数字 1,2,3,4 时，不同的排法有 C C C C A1 21 21 21 2种4 4第二类，当取出的 4 张卡片分别标有数字
17、1,1,4,4 时，不同的排法有 C C A 种2 22 24 4第三类，当取出的 4 张卡片分别标有数字 2,2,3,3 时，不同的排法有 C C A 种2 22 24 4故满足题意的所有不同的排法种数为 C C C C A 2C C A 432.1 21 21 21 24 42 22 24 4跟踪训练 4 解 (1)五位数中不含数字 0.第 1 步，选出 5 个数字，共有 C C 种选法3 5 2 4第 2 步，排成偶数先排末位数，有 A 种排法，再排其他四位数字，有 A 种排法1 24 4所以N1C C A A .3 52 41 24 4(2)五位数中含有数字 0.第 1 步，选出 5
18、个数字，共有 C C 种选法3 51 4第 2 步，排顺序又可分为两小类：末位排 0，有 A A 种排列方法；1 14 4末位不排 0.这时末位数有 C 种选法，而因为零不能排在首位，所以首位有 A 种排法，其1 11 3余 3 个数字则有 A 种排法3 3所以N2C C (A A A A )3 51 41 14 41 33 3所以符合条件的偶数个数为NN1N2C C A A C C (A A A A )4 560.3 5 2 4 1 2 4 43 5 1 41 1 4 41 3 3 3例 5 15解析 先拿 3 个优秀名额分配给二班 1 个，三班 2 个，这样原问题就转化为将 7 个优秀名额分配到 3 个班级中，每个班级中至少分配到 1 个利用“隔板法”可知，共有 C 15(种)不同的分配方案2 6跟踪训练 5 96解析 用间接法：六个数字能构成的三位数共 666216(个)，而无重复数字的三位数共有 A 654120(个)3 6故所求的三位数的个数为 21612096.当堂训练114 2.2 520 3.48 4.36 5.90