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1、- 1 -第一章第一章 计数原理计数原理学习目标 1.归纳整理本章的知识要点.2.能结合具体问题的特征，合理选择两个计数原理来分析和解决一些简单的实际问题.3.理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数和组合数公式，掌握组合数的两个性质，并能用它们解决实际问题.4.掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能应用它们解决与二项展开式有关的计算和证明问题1分类计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第 1 类方案中有m1种不同的方法，在第 2 类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N_种不同的方法2分步计数原理完成一件事需要n个步骤，做第 1 步有m1种不同
2、的方法，做第 2 步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N_种不同的方法3排列数与组合数公式及性质排列与排列数组合与组合数公式排列数公式 A n(n1)m n(n2)_组合数公式 C _m n_性质当mn时，A 为全排列；m nA n！；0！_n nC C 1；0nn nC _；m nC C_m nm1n备注n，mN N*，且mn4.二项式定理(1)二项式定理的内容：(ab)n_.(2)通项公式：Tk1Cankbk，k0,1,2，nk n(3)二项式系数的性质：与首末两端等距离的两个二项式系数相等；- 2 -若n为偶数，中间一项的二项式系数最大；若n为奇数，中间两项
3、(第n 21项)的二项式系数相等且最大(第n1 2项和第n121项)C C C C 2n；C C C C 2n1.0n1n2nn n0n2n1n3n类型一 数学思想方法在求解计数问题中的应用命题角度1 分类讨论思想例 1 车间有 11 名工人，其中 5 名男工是钳工，4 名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这 11 名工人里选派 4 名钳工，4 名车工修理一台机床，则有多少种选派方法？反思与感悟 解含有约束条件的排列、组合问题，应按元素的性质进行分类，分类时需要满足两个条件：(1)类与类之间要互斥(保证不重复)(2)总数要完备(保证不遗漏)跟踪训练 1 从 1,2,3,4
4、,5,6 这 6 个数字中，任取 3 个数字组成无重复数字的三位数，其中若有 1 和 3 时，3 必须排在 1 的前面；若只有 1 和 3 中的一个时，它应排在其他数字的前面，这样不同的三位数共有_个(用数字作答)命题角度2 “正难则反”思想例 2 设集合S1,2,3,4,5,6,7,8,9，集合Aa1，a2，a3是S的子集，且a1，a2，a3满足a16 包含的情况较少，当a39时，a2取 2，a1取 1 一种情况，利用正难则反思想解决集合S的含有三个元素的子集的个数为 C 84.在这些含有三个元素的子集中能满足3 9a16 的集合只有1,2,9，故满足题意的集合A的个数为 84183.跟踪训
5、练 2 30解析 从 4 人中选出两个人作为一个元素有 C 种方法，2 4同其他两个元素在三个位置上排列有 C A 36(种)方案，其中有不符合条件的，2 4 3 3即学生甲、乙同时参加同一竞赛有 A 种结果，3 3不同的参赛方案共有 36630(种)例 3 解 (1)第一步先将 4 个舞蹈节目捆绑起来，看成 1 个节目，与 6 个演唱节目一起排，有 A 5 040(种)方法；第二步再松绑，给 4 个节目排序，有 A 24(种)方法7 74 4根据分步计数原理，一共有 5 04024120 960(种)安排顺序(2)第一步将 6 个演唱节目排成一列(如下图中的“”)，一共有 A 720(种)方
6、法6 6第二步再将 4 个舞蹈节目排在一头一尾或两个演唱节目中间，这样相当于 7 个“”选 4 个来排，一共有 A 840(种)方法4 7根据分步计数原理，一共有 720840 604 800(种)安排顺序(3)若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有 A种排法，但原来的节目已定好顺序，需1212要消除，所以节目演出的方式有A132(种)排列A1212 A10102 12跟踪训练 3 130解析 由“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”考虑x1，x2，x3，x4，x5的可能取值，设集合M0，N1,1当x1，x2，x3，x4，x5中有 2 个取值为 0 时，另外 3 个从N中取，共有 C 23种
7、方法；2 5当x1，x2，x3，x4，x5中有 3 个取值为 0 时，另外 2 个从N中取，共有 C 22种方法；3 5当x1，x2，x3，x4，x5中有 4 个取值为 0 时，另外 1 个从N中取，共有 C 2 种方法4 5故总共有 C 23C 22C 2130(种)方法，即满足题意的元素个数为 130.2 53 54 5例 4 解 (1)由 C (2)4C (2)2563，解得n10，4n2n因为通项Tr1C()10rrr10x(23x)- 10 -(2)rC556r x，r0,1,2，10.r10当 5为整数时，r可取 0,6，5r 6于是有理项为T1x5和T713 440.(2)设第r
8、1 项系数的绝对值最大，则Error!解得Error!又因为r1,2,3，9，所以r7，当r7 时，T815 3605 6x，又因为当r0 时，T1x5，当r10 时，T11(2)1010 3x 1 02410 3x ，所以系数的绝对值最大的项为T815 3605 6x.(3)原式109C81C9101C2 103 1010109C 1 1092C 2 1093C 3 10910C1010 9C 0 109C 1 1092C 2 1093C 3 10910C10101 9.19101910101 9跟踪训练 4 解 (1)令x1，得二项式n展开式中各项系数之和为(51)n4n，各(5x1x)项
9、二项式系数之和为 2n，由题意，得 4n162n，所以 2n16，n4.(2)通项Tr1C (5x)4rrr4(1x)(1)rC 54r342,rxr4展开式中二项式系数最大的项是第 3 项T3(1)2C 52x150x.2 4(3)由(2)，得 4rZ Z(r0,1,2,3,4)，即r0,2,4，所以展开式中所有x的有理项为3 2T1(1)0C 54x4625x4，0 4T3(1)2C 52x150x，2 4T5(1)4C 50x2x2.4 4例 5 解 (1)(x23x2)5(x1)5(x2)5，- 11 -a2是展开式中x2的系数，a2C (1)5C (2)3C (1)4C (2)4C (1)3C (2)5800.5 53 54 54 53 55 5(2)令x1，代入已知式，可得a0a1a2a100，而令x0，得a032，a1a2a1032.(3)令x1，可得(a0a2a4a10)(a1a3a7a9)65，再由(a0a2a4a10)(a1a3a7a9)0，把这两个等式相乘可得，(a0a2a4a10)2(a1a3a7a9)26500.跟踪训练 5 5解析 令x2，得a0(221)(23)95，令x3，则a0a1a2a3a11(321)(33)90，所以a1a2a3a11a05.当堂训练160 2.2 3.216 4.364 5.300