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1、- 1 -1 15.15.1 二项式定理二项式定理学习目标 1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理的特征及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题知识点 二项式定理思考 1 我们在初中学习了(ab)2a22abb2，试用多项式的乘法推导(ab)3，(ab)4的展开式思考 2 上述两个等式的右侧有何特点？思考 3 能用类比方法写出(ab)n(nN N*)的展开式吗？梳理 二项式定理及其概念(1)二项式定理(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN N*)叫做二项式定理，0n1nr nn n_叫做(ab)n的二项展开式，它一共有_项(2)二项展开式的
2、通项_叫做二项展开式的第r1 项(也称通项)，用Tr1表示，即- 2 -Tr1_.(3)二项式系数_叫做第r1 项的二项式系数类型一 二项式定理的正用、逆用引申探究将本例(1)改为求(2x)5的展开式例 1 (1)求(3)4的展开式1 x2x1x(2)化简：C (x1)nC (x1)n1C (x1)n2(1)kC (x1)nk(1)nC .0n1n2nk nn n反思与感悟 (1)(ab)n的二项展开式有n1 项，是和的形式，各项的幂指数规律是：各项的次数和等于n.字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减 1 直到 0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由 0 逐项加 1 直到n.(2)逆
3、用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢跟踪训练 1 化简(2x1)55(2x1)410(2x1)310(2x1)25(2x1)1.- 3 -类型二 二项展开式的通项命题角度1 二项式系数与项的系数例 2 已知二项式(3)10.x2 3x(1)求展开式第 4 项的二项式系数；(2)求展开式第 4 项的系数；(3)求第 4 项反思与感悟 (1)二项式系数都是组合数 C (r0,1,2，n)，它与二项展开式中某一项r n的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念(2)第r1 项的系数是此项字母前的数连同符号，
4、而此项的二项式系数为 C .例如，在r n(12x)7的展开式中，第四项是T4C 173(2x)3，其二项式系数是 C 35，而第四项的系3 73 7数是 C 23280.3 7跟踪训练 2 已知n展开式中第三项的系数比第二项的系数大 162.(x2x)(1)求n的值；(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数- 4 -命题角度2 展开式中的特定项例 3 已知在n的展开式中，第 6 项为常数项(3x33x)(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项反思与感悟 (1)求二项展开式的特定项的常见题型求第r项，TrCanr1br1；求含xr的项(或xpyq的项)；求常
5、数项；求有理r1n项(2)求二项展开式的特定项的常用方法对于常数项，隐含条件是字母的指数为 0(即 0 次项)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致跟踪训练 3 (1)若9的展开式中x3的系数是84，则a_.(xa x)(2)已知n为等差数列4，2,0，的第六项，则(x )n的二项展开式的常数项是2 x_- 5 -1(x2)8的展开式中x6的系数是_2二项式(x)12的展开式中的常数项
6、是第_项2x3已知5的展开式中含3 2x的项的系数为 30，则a_.(xax)4化简：(x1)55(x1)410(x1)310(x1)25(x1)1_.5求()4的展开式x1x1求二项展开式的特定项应注意的问题通项公式的主要作用是求展开式中的特殊项，常见的题型有：求第r项；求含xr(或xpyq)的项；求常数项；求有理项其中求有理项时一般根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据整数的整除性来求解另外，若通项中含有根式，一般把根式化为分数指数幂，以减少计算中的错误2二项式系数与项的系数的区别二项式系数
7、 C 与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有r n时可以为负- 6 -答案精析答案精析问题导学知识点思考 1 (ab)3a33a2b3ab2b3，(ab)4a44a3b6a2b24ab3b4.思考 2 (ab)3的展开式有 4 项，每项的次数是 3；(ab)4的展开式有 5 项，每一项的次数为 4.思考 3 能，(ab)nCanCan1bCankbkCbn (nN N* *)0n1nk nn n梳理 (1)右边的多项式 n1(2)Canrbr Canrbr (3)C (r0,1,2，n)r nr nr n题型探究例 1 (1)解 方法一 (3)4x1x(3)4C (
8、3)3()C (3)2()2C (3)()3C ()4x1 4x1x2 4x1x3 4x1x4 41x81x2108x54.12 x1 x2方法二 (3)4()4(13x)41C 3xC (3x)2C (3x)3C (3x)x1x3x1x1 x21 x21 42 43 44 44(112x54x2108x381x4)54108x81x2.1 x21 x212 x(2)解 原式C (x1)nC (x1)n1(1)C (x1)n2(1)2C (x1)nk(1)0n1n2nk nkC (1)n(x1)(1)nxn.n n引申探究解 方法一 (2x)5C (2x)51 x20 5C (2x)4C (2
9、x)3()21 51 x22 51 x2C (2x)2()3C (2x)()43 51 x24 51 x2C ()532x580x2.5 51 x280 x40 x410 x71 x10方法二 (2x)5(2x31)5(12x3)51C (2x3)C (2x3)1 x21 x21 x101 x101 52 52C (2x3)3C (2x3)43 54 5C (2x3)580x232x5.5 51 x1010 x740 x480 x- 7 -跟踪训练 1 解 原式C (2x1)5C (2x1)4C (2x1)3C (2x1)2C (2x1)C0 51 52 53 54 5(2x1)0(2x1)1
10、5(2x)532x5.5 5例 2 解 (3)10的展开式的通项是x2 3xTr1C(3)10r()rr10x2 3xC310r( )r103r 2 x(r0,1,2，10)r102 3(1)展开式的第 4 项(r3)的二项式系数为 C120.3 10(2)展开式的第 4 项的系数为C37( )377 760.3 102 3(3)展开式的第 4 项为T4T3177 760.x跟踪训练 2 解 (1)因为T3C ()n224C6 2n x ，2nx(2 x)2nT2C ()n12C3 2n x ，1nx(2 x)1n依题意，得 4C 2C 162，所以 2C C 81，2n1n2n1n所以n28
11、1，n9.(2)设第r1 项含x3项，则Tr1C ()9rr(2)rC93 2r x ，所以r9x(2 x)r93，r1，93r 2所以第二项为含x3的项，T22Cx318x3.1 9二项式系数为 C 9.1 9例 3 解 通项公式为Tr1C3nr x(3)r3r x C (3)r2 3nr x.r nr n(1)第 6 项为常数项，当r5 时，有0，即n10.n2r 3(2)令2，得r (n6)2，n2r 31 2所求的系数为 C(3)2405.2 10(3)由题意，得Error!令102r 3t(tZ Z)，- 8 -则 102r3t，即r5t.3 2rZ Z，t应为偶数令t2,0，2，即
12、r2,5,8.第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项，它们分别为 405x2，61 236,295 245x2.跟踪训练 3 (1)1解析 展开式的通项为Tr1Cx9r(a)rrC (a)rx92r(0r9，rN N)当r9(1 x)r992r3 时，解得r3，代入得x3的系数，根据题意得 C (a)384，解得a1.3 9(2)160解析 由题意得n6，Tr12rCx62r，令 62r0 得r3，常数项为 C 23160.r63 6当堂训练1112 2.9 3.6 4.x55解 ()4C ()4C ()3C ()2()2C()3x1x0 4x1 4x1x2 4x1x3 4x1xC ()4x24x6 .4 41x4x1x2