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1、x-1y-1(1)x0y0 x1y1(2)x2y2 y-1 y0 2y-1 y1 2y02.5 贝塞尔插值公式贝塞尔插值公式2.5 贝塞尔插值公式贝塞尔插值公式x-1y-11 y-13y-25y-3x0y02y-14y-26y-31y03y-15y-2x1y12y04y-16y-3贝塞尔贝塞尔斯梯林斯梯林2.5 贝塞尔插值公式贝塞尔插值公式2.5 贝塞尔插值公式贝塞尔插值公式注意观察通式变化的规律2.5 贝塞尔插值公式贝塞尔插值公式当当t=1/2时，贝塞尔公式变为：时，贝塞尔公式变为：称为称为中点贝塞尔插值公式中点贝塞尔插值公式。可利用该公。可利用该公式来加密表格值。式来加密表格值。斯梯林插值
2、公式斯梯林插值公式和和贝塞尔插值公式贝塞尔插值公式都称为都称为中中心差分公式心差分公式，它们都可用于，它们都可用于x位于插值区间中位于插值区间中部插值计算用部插值计算用.2.5 贝塞尔插值公式贝塞尔插值公式2.5 贝塞尔插值公式贝塞尔插值公式例例5.8 已知数值表，求已知数值表，求sin0.57的近似值的近似值xsinxy2y3y0.40.389420.50.479430.60.564640.70.644220.090010.085210.07958-0.00480-0.00563-0.00083=0.7x0=0.50.47940.5646t=0.7y0=0.085t(t-1)t=0.72y-
3、1=-0.004802y0=-0.005633y-1=-0.000832.5 贝塞尔插值公式贝塞尔插值公式斯梯林斯梯林插值公式和插值公式和贝塞尔贝塞尔插值公式的插值公式的区别区别：u插值节点相对于插值节点相对于x的对称分布的对称分布-斯梯林插值斯梯林插值x靠近某插值节点靠近某插值节点的对称分布的对称分布插值公式截止到偶阶差分插值公式截止到偶阶差分u插值节点相对于插值节点相对于x的对称分布的对称分布-贝塞尔插值贝塞尔插值x靠近相邻两节点的中点时靠近相邻两节点的中点时插值公式截止到奇阶差分插值公式截止到奇阶差分3 不等距节点下的拉格朗日插值不等距节点下的拉格朗日插值3.1 公式的建立思路思路:根据
4、差商公式，求得的根据差商公式，求得的f(x)即可。即可。3 不等距节点下的拉格朗日插值不等距节点下的拉格朗日插值f(x)=(x0 x1)(x0 x2)(x0 xn)(xx1)(xx2)(xxn)f(x0)+(xix0)(xixi-1)(xixi+1)(xixn)(xx0)(xxi-1)(xxi+1)(xxn)f(xi)+(xnx0)(xnx1)(xnxn-1)(xx0)(xx1)(xxn-1)f(xn)+Rn(x)=Ln(x)+Rn(x)拉格朗日拉格朗日插值公式插值公式li(x)3.2 拉格朗日插值公式的系数表达式li(x)=(xix0)(xixi-1)(xixi+1)(xixn)(xx0)(
5、xxi-1)(xxi+1)(xxn)3 不等距节点下的拉格朗日插值不等距节点下的拉格朗日插值li(x)=(xix0)(xixi-1)(xixi+1)(xixn)(xx0)(xxi-1)(xxi+1)(xxn)li(x)=(xix0)(xixi-1)(xixi+1)(xixn)(xx0)(xxi-1)(xxi+1)(xxn)xxixxi=(xix0)(xixi-1)(xixi+1)(xixn)(xxi)3 不等距节点下的拉格朗日插值不等距节点下的拉格朗日插值(xx0)(xx1)(xxn)(xx0)(xxi-1)(xxi+1)(xxn).(xxi)=(xxi)(xx0)(xxi-1)(xxi+1)
6、(xxn)+(xxi)(xx0)(xxi-1)(xxi+1)(xxn)=(xx0)(xxi-1)(xxi+1)(xxn)+(xxi)(xx0)(xxi-1)(xxi+1)(xxn)(xix0)(xixi-1)(xixi+1)(xixn)3 不等距节点下的拉格朗日插值不等距节点下的拉格朗日插值li(x)=(xix0)(xixi-1)(xixi+1)(xixn)(xx0)(xxi-1)(xxi+1)(xxn)li(x)=x=xj xi0 x=xi13 不等距节点下的拉格朗日插值不等距节点下的拉格朗日插值设设 为为n+1个互异节点，个互异节点，为这组节点上的为这组节点上的LagrangeLagran
7、ge插值基函数，试证明：插值基函数，试证明：证明：如果证明：如果f(x)=1,则则n+1个节点处的值均为个节点处的值均为1，则，则它的它的n次插值多项式为：次插值多项式为：对任意对任意x，插值余项为：，插值余项为：3 不等距节点下的拉格朗日插值不等距节点下的拉格朗日插值则则例例5.4 已知已知x=1,4,9的平方根值，用拉格朗日插的平方根值，用拉格朗日插值公式求值公式求71/2(x0 x1)(x0 x2)(xx1)(xx2)f(x0)+(x1x0)(x1x2)(xx0)(xx2)f(x1)+(x2x0)(x2x1)(xx0)(xx1)f(x2)L2(7)=x0=1,x1=4,x2=9 f(x0
8、)=1,f(x1)=2,f(x2)=3(14)(19)(74)(79)*1+(41)(49)(71)(79)*2+(91)(94)(71)(74)*3=2.7L2(x)=解：解：3 不等距节点下的拉格朗日插值不等距节点下的拉格朗日插值当当 时时3.3 拉格朗日插值计算中的舍入误差拉格朗日插值计算中的舍入误差带星号的表达带星号的表达式为精确值式为精确值高阶量可以略去当当 为精确值时，为精确值时，当拉格朗日插值公式中有负系数出现时，会放当拉格朗日插值公式中有负系数出现时，会放大大 的舍入误差。的舍入误差。3.3 拉格朗日插值计算中的舍入误差拉格朗日插值计算中的舍入误差例例5.10 估计用估计用线性
9、插值法线性插值法计算计算lg47时的误差限。时的误差限。解：应用解：应用n=1的拉格朗日插值公式的拉格朗日插值公式取取x0=45,x1=48,=1.671898401(45,48)3.3 拉格朗日插值计算中的舍入误差拉格朗日插值计算中的舍入误差 =(0.3333333+1.6532126)0.5 10-7+(0.6666667+1.6812413)0.5 10-7 0.2 10-6总误差为：总误差为：=0.2=0.2 1010-3-3+0.20.2 1010-6-6=0.2=0.2 1010-3-3对于对于y=1.671898401y=1.671898401可取可取y=1.672y=1.672
10、3.3 拉格朗日插值计算中的舍入误差拉格朗日插值计算中的舍入误差截断误差截断误差舍入误差舍入误差n例例5.11 有有8位位sinx的函数表，采用拉格朗的函数表，采用拉格朗日插值公式求日插值公式求1.75时的函数近似值，问公时的函数近似值，问公式应取几项式应取几项?n解：采用尝试法确定公式项数解：采用尝试法确定公式项数n（1）取）取x0=1.74,x1=1.76,3.3 拉格朗日插值计算中的舍入误差拉格朗日插值计算中的舍入误差（2）取）取x0=1.74,x1=1.76,x2=1.78,3.3 拉格朗日插值计算中的舍入误差拉格朗日插值计算中的舍入误差（3）取）取x0=1.72,x1=1.74 x2
11、=1.76,x3=1.78,=0.375*10-8=0.625 10-8取四项比较恰当取四项比较恰当.此时符合误差分配原则。此时符合误差分配原则。3.3 拉格朗日插值计算中的舍入误差拉格朗日插值计算中的舍入误差4 等距节点下的拉格朗日插值公式等距节点下的拉格朗日插值公式等距节点下的拉格朗日插值公式xi=x0+iht=x-x0hxi-ih=x0t=x-(xi-ih)ht=x-xi+ihhx-x0+x0-xi=th-ihx-xi=h(t-i)th(t-1)h(t-i-1)h(t-i+1)h(t-n)hih(i-1)h2h 1h(-1)h(-(n-i)hf(xi)t(t-1)(t-i-1)(t-i+
12、1)(t-n)i(i-1)2 1(-1)(-(n-i)f(xi)t(t-1)(t-i-1)(t-i+1)(t-n)i!(-1)n-i(n-i)!f(xi)(t-i)(t-i)(-1)n-itn+1i!(n-i)!(t-i)f(xi)4 等距节点下的拉格朗日插值公式等距节点下的拉格朗日插值公式u高次插值多项式的缺陷 插值多项式次数越高，利用被插函数节点信息越多，理应误差越小。但截断误差公式可见，截断误差 有关，其绝对值不一定随次数 增加而减小。龙格（Runge）就给出了一个例子：设被插值函数4 分段插值法分段插值法当n增大时，部分区间上插值多项式截断误差偏大的现象更重。这种现象称龙格现象龙格现象
13、。4 分段插值法分段插值法-11x0.51.01.5y0龙格现象为避免龙格现象和不稳定，通常限定n7时，则不采用高次插值多项式。4 等距节点下的分段线性插值等距节点下的分段线性插值1.等距零次多项式插值等距零次多项式插值y=y0 (x0 xx1)y1 (x1 xx2).yn (xn-1 xxn)4 分段插值分段插值2.分段线性插值分段线性插值当当n=1时，时，x0 x1 xi+1xix-x04 分段插值分段插值2.分段线性插值分段线性插值当当 时，时，x0 x1 xi+1xix-x04 分段插值分段插值2.分段线性插值分段线性插值x0 x1 xi+1xix-x0=t +i取整运算取整运算取小数
14、运算取小数运算4 分段插值分段插值3.等距三点插值等距三点插值xk-1xkxk+1L2(x)=(xk-1xk)(xk-1xk+1)(xxk)(xxk+1)yk-1+(xkxk-1)(xkxk+1)(xxk-1)(xxk+1)yk+(xk+1xk-1)(xk+1xk)(xxk-1)(xxk)yk+1=-h(-2h)th(t-1)hyk-1+h(-h)(t+1)h(t-1)hyk+2h h(t+1)h thyk+1=2t(t-1)yk-1+-1(t2-1)yk+2(t+1)tyk+14 分段插值分段插值x0 x1x2xn-1xnxn-2或者利用或者利用x0,x1,x2的三点插值公式计算出的三点插值
15、公式计算出y-1，然后使用，然后使用x-1,x0,x1来计算来计算x；6.7 样条函数插值样条函数插值要求：要求：插值曲线即要简单，又要在曲线的连接处比插值曲线即要简单，又要在曲线的连接处比较光滑。较光滑。这样的分段插值函数在分段上要求多项式次数低，这样的分段插值函数在分段上要求多项式次数低，而在而在节点上不仅连续节点上不仅连续，还存在，还存在连续的低阶导数连续的低阶导数，我们把，我们把满足这样条件的插值函数，称为满足这样条件的插值函数，称为样条插值函数样条插值函数，它所对，它所对应的曲线称为应的曲线称为样条曲线样条曲线，其节点称为，其节点称为样点样点，这种插值方，这种插值方法称为法称为样条插
16、值样条插值。（2）s(x)，s(x)，s (x)在在 a,b上连续；则称上连续；则称s(x)为为3 3次次样条函数。样条函数。定义：定义：设对设对y=f(x)在区间在区间a,b上给定一组节点上给定一组节点 a=x0 x1 x2 xn=b和相应的函数值和相应的函数值y0,y1,yn，如果如果s(x)具有如下性质：具有如下性质：（1）在每个子区间在每个子区间xi-1,xi(i=1,2,n)上上s(x)是不是不高于高于3次的多项式；次的多项式；（3）如再有）如再有(i=0,1,2,n)，则称则称s(x)为为y=f(x)的的三次样条三次样条插值函数。插值函数。f(x)H(x)S(x)注：注：三次样条与
17、分段三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在插值的根本区别在于于S(x)自身光滑自身光滑，不需要知道，不需要知道 f 的导数值（除了在的导数值（除了在2个端点可能需要）；而个端点可能需要）；而Hermite插值依赖于插值依赖于f 在所在所有插值点的导数值。有插值点的导数值。三次样条插值的存在唯一性和计算方法三次样条插值的存在唯一性和计算方法设设f(x)是定义在是定义在 a,b区间上的一个二次连续可微函数区间上的一个二次连续可微函数，为分划：为分划：S (x)在在 xi-1,xi 上的表达式为：上的表达式为：令令 i=0,1,2,n在每一个小区间在每一个小区间xi-1,xi i=1,n
18、上都是上都是3 3次多项式，次多项式，（6.7）其中其中 ，将（将（6.7）两次积分得）两次积分得：Ai 和和Bi 为积分常数。为积分常数。因为因为所以它满足方程：所以它满足方程：（6.8）求求 Mi，确定确定S(x)的表达式的表达式。微分微分（6.8）式式于是于是 各项除以各项除以hi+hi+1，并记并记 则则（6.9）可以写为可以写为（6.9）端点条件端点条件最后一个方程。若取最后一个方程。若取 M0=Mn=0，称为三次自然样条。称为三次自然样条。（1）给定）给定补充补充（6.9）的第一个和的第一个和有有（2）给定两端点导数值给定两端点导数值 分别补充为方程组分别补充为方程组（6.9）的第
19、一个和最后一个方程组。的第一个和最后一个方程组。解方程组解方程组经补充后的方程组经补充后的方程组（6.9）为为其中，对端点条件其中，对端点条件（1），有，有（6.9）对端点条件对端点条件（2），），有有（6.10）是一个三对角方程组是一个三对角方程组，可用追赶法解之。可用追赶法解之。此方程组系数严格对角占优此方程组系数严格对角占优！从而存在唯一解！从而存在唯一解。求出了求出了Mi(i=0,1,n)，也就求得了也就求得了S(x)在各个在各个小区间的表达式小区间的表达式Si(x)（i=0,1,2,n）若取等距节点若取等距节点 hi=h,i=1,n 1 解 由 得 。从而由 求 例3-8 已知函数
20、的数值如下：-3 -1 0 3 4 7 11 26 56 29求它的自然三次样条插值函数。由 得 。注意三次自然样条函数 ，故三弯矩方程组变为解得 。代入 表达示得解毕 算算 法：法：（1）i=1,2,nhi=xi xi-1（2）i=1,2,n（3）解解n 1阶三对角方程组阶三对角方程组，得得M1,M2,Mn-1 代入端点条件计算代入端点条件计算M0,Mn（4）若取若取 ，计算计算上机实习题上机实习题设函数设函数 试用三次样条函数作插值，并与试用三次样条函数作插值，并与L10(x)或或N10(x)作比较。作比较。取等距节点取等距节点 xi=x0+ih i=0,1,20端点条件端点条件 输出格式
21、输出格式：x f(x)S20(x)L10(x)-0.95-0.85-0.75-0.65 0.65 0.75 0.85 0.955 插值公式的唯一性及其应用插值公式的唯一性及其应用5.1 插值公式的唯一性插值公式的唯一性条件：条件：插值节点相同插值节点相同反证法：反证法：假设有两个不同的插值多项式假设有两个不同的插值多项式Pn(x),Q n(x)，则，则Gn(x)=Pn(x)-Q n(x)为次数不超过为次数不超过n的多项式，根据的多项式，根据插值条件可知，插值条件可知，Gn(x)有有n+1个零点。与其为不超过个零点。与其为不超过n次的多项式相矛盾。所以插值公式唯一。次的多项式相矛盾。所以插值公式
22、唯一。w牛顿基本差商公式在精度不够的情况下，需再增加一牛顿基本差商公式在精度不够的情况下，需再增加一个节点时，只需在原来的结果上增加一项。个节点时，只需在原来的结果上增加一项。5.2 插值公式的应用插值公式的应用不等距节点的情况：不等距节点的情况：5 插值公式的唯一性及其应用插值公式的唯一性及其应用w牛顿基本差商公式在精度不够的情况下，需再增加一牛顿基本差商公式在精度不够的情况下，需再增加一个节点时，只需在原来的结果上增加一项。个节点时，只需在原来的结果上增加一项。w采用拉格朗日插值公式时，则都要重新计算。采用拉格朗日插值公式时，则都要重新计算。w在估算结果的舍入误差时，使用拉格朗日插值公式比
23、在估算结果的舍入误差时，使用拉格朗日插值公式比较容易。较容易。5.2 插值公式的应用插值公式的应用不等距节点的情况：不等距节点的情况：等距节点的情况：等距节点的情况：w靠近表头：牛顿前向插值靠近表头：牛顿前向插值w靠近表末：牛顿后向插值靠近表末：牛顿后向插值w插值区间的中部：斯梯林插值或者贝塞尔插值。插值区间的中部：斯梯林插值或者贝塞尔插值。6 反插值反插值正插值：已知正插值：已知x求求y反插值：已知反插值：已知y求求x1.1.使用使用反函数反函数的插值法的插值法x x0 x1 xn y y0 y1 yn y y0 y1 yn x x0 x1 xn 6.1 使用反函数的插值法使用反函数的插值法
24、应用条件应用条件：y=f(x)是单调函数是单调函数f(x)y=C牛顿牛顿基本基本差商差商公式公式6.1 使用反函数的插值法使用反函数的插值法例5.15 给出sinx的函数表，对y=0.98000000利用y=sinx的反函数进行反插值.x1.741.761.781.801.82sinx 0.9857190.9821540.9781960.978470.969109=1.771138206.1 使用反函数的插值法使用反函数的插值法例例5.16 5.16 已知已知f(x)=)=x3 3-3-3x2 2-x+9+9的函数值，求方程的函数值，求方程f(x)=0)=0在在区间区间-1.7,-1.3 上的
25、根的近似值。上的根的近似值。解：建立反函数的差商表解：建立反函数的差商表yx yi,yi+1 yi,yi+1,yi+2 yi,yi+1,yi+2,yi+3 yi,yi+1,yi+2,yi+33.033-1.31.776-1.40.375-1.5-1.176-1.6-2.883-1.70.07955450.07524450.07127580.06761330.00307630.00280440.00256300.00017530.00015750.0000104P(y)=-1.3+(y-3.033)0.0795545+(y-3.033)(y-1.776)0.0030763+(y-3.033)(y
26、-1.776)(y-2.883)0.0001753+x=P(0)=-1.5250976.2 利用插值多项式反插法利用插值多项式反插法y=(x)m1m2mn6.2 利用插值多项式反插法利用插值多项式反插法x(0)=m1x(1)=m1+m2(x(0)-x0)(x(0)-x1)=(x(0)x(2)=m1+m2(x(1)-x0)(x(1)-x1)+m3(x(1)-x0)(x(1)-x1)(x(1)-x1).x(n-1)=(x(n-2)x(n)=(x(n-1)6.2 利用插值多项式反插法利用插值多项式反插法(x)6.2 利用插值多项式反插法利用插值多项式反插法6.2 利用插值多项式反插法利用插值多项式反
27、插法等距情况下，可以选择牛顿前向插值公式等距情况下，可以选择牛顿前向插值公式6.2 利用插值多项式反插法利用插值多项式反插法讨论余式的大小讨论余式的大小f(x)Pn(x)yx*xRn(x)f(x*)=yPn(x)=yf(x)=Pn(x)+Rn(x)f(x)-f(x*)=Rn(x)f()(x-x*)=Rn(x)xyyi2yi3yi4yi0.5 0.531250.6 0.077760.7-0.331930.8-0.672320.9-0.909516.2 利用插值多项式反插法利用插值多项式反插法例例5.17 5.17 求方程求方程x5 5-5-5x+3=0+3=0在在0,10,1上的根。上的根。-0
28、.45349-0.40969-0.34039-0.04380-0.06930-0.02550-0.23719-0.10320-0.03390取取x0 0=0.6,=0.6,y y=0,=0,-0.00846.2 利用插值多项式反插法利用插值多项式反插法nt=0.18980+0.08458t(t-1)+0.01379t(t-1)(t-2)nt0=0.18980nt1=0.18980+0.08458*0.18980(0.18980-1)=0.17679nt2=0.18980+0.08458*0.17679(0.17679-1)+0.01379*0.17679(0.17679-1)(0.17679-
29、2)=0.18115nt3=0.18980+0.08458*0.18115(0.18115-1)+0.01379*0.18115(0.18115-1)(0.18115-2)=0.18097nt4=0.18098 t5=0.18098nxx0+th=0.6+0.18098*0.1=0.618098结束结束7 拉格朗日型埃米特插值拉格朗日型埃米特插值不仅要求不仅要求函数值函数值重合，而且要求若干阶重合，而且要求若干阶导数导数也重合。也重合。即：要求插值函数即：要求插值函数 H(x)满足满足H(xi)=f(xi),H(xi)=f(xi).则两组函数则两组函数hi(x)，应满足：应满足：(1)hi(x
30、)，二者都是至多二者都是至多2(n+1)-1次多项式；次多项式；构造类似于拉格朗日插值公式：构造类似于拉格朗日插值公式：7 埃米特插值埃米特插值 /*Hermite Interpolation*/则插值函数则插值函数 H(x)满足满足H(xi)=f(xi),H(xi)=f(xi).且次数不超过且次数不超过2n+1.观察上述条件可以看出：观察上述条件可以看出：在在xi(ji)处，处，函数值函数值与与导数值导数值均为均为0；故它必含因子故它必含因子(x-xj)2(ji),因此可以假设：因此可以假设：拉格朗日插拉格朗日插值基函数值基函数7 埃米特插值埃米特插值 /*Hermite Interpola
31、tion*/还必须满足：还必须满足：7 埃米特插值埃米特插值 /*Hermite Interpolation*/所以，所以，Hermite插值多项式为：插值多项式为：当当n=1时时误差估计：误差估计：7 埃米特插值埃米特插值 /*Hermite Interpolation*/所以，两个节点的三次所以，两个节点的三次Hermite插值多项式为：插值多项式为：7 埃米特插值埃米特插值 /*Hermite Interpolation*/例例5.18 按下表求按下表求Hermite插值多项式。插值多项式。xi01yi01yi399 多元函数插值多元函数插值例例5.18 5.18 已知数值表，求已知数值
32、表，求f(0.5,0.03)的近似值的近似值y0.40.71.00.002.500 1.429 1.0000.052.487 1.419 0.9950.102.456 1.400 0.981xz(1)当当y0=0.00时，利用以下数据建立差分表。时，利用以下数据建立差分表。xzz2z0.42.5000.71.4291.01.000-1.071-0.4290.6429 多元函数插值多元函数插值利用利用牛顿前向插值牛顿前向插值公式计算公式计算x=0.5时时f(0.5,0.00)的近似的近似值值z0；xzz2z0.42.5000.71.4291.01.000-1.071-0.4290.642同理，计
33、算同理，计算x=0.5时时f(0.5,0.05)的近似值的近似值z1以及以及x=0.5时时f(0.5,0.10)的近似值的近似值z2。9 多元函数插值多元函数插值(2)利用以上计算结果的下面数值表：利用以上计算结果的下面数值表：yzz2z0.002.0270.052.0690.102.033-0.003-0.036-0.033利用利用牛顿前向插值牛顿前向插值公式计算公式计算y0=0时时f(0.5,0.03)的近似的近似值值f(0.5,0.03)；9 多元函数插值多元函数插值y0.40.50.71.00.002.5002.0271.429 1.0000.032.0740.052.4872.0691.419 0.9950.102.4562.0331.400 0.981xz