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1、第2章插值法(2)第1页，共34页，编辑于2022年，星期一数值分析数值分析插值法插值法利用利用MATLAB函数函数peaks产生一个山顶曲面数据产生一个山顶曲面数据 山顶曲面山顶曲面 x,y,z=peaks(10);mesh(x,y,z),hold on,plot3(x,y,z,r*),hold off 第2页，共34页，编辑于2022年，星期一数值分析数值分析插值法插值法通过插值作出更加精细的山顶曲面通过插值作出更加精细的山顶曲面 figure(2)xi,yi=meshgrid(-3:.1:3,-3:.1:3);zi=interp2(x,y,z,xi,yi);mesh(xi,yi,zi)第
2、3页，共34页，编辑于2022年，星期一数值分析数值分析插值法插值法美国大学生数学建模竞赛美国大学生数学建模竞赛1986年年A题题.水道测量问题水道测量问题 水道测量数据表水道测量数据表 x 129.0 140.0 108.5 88.0 185.5 195.0 105.5 y 7.5 141.5 28.0 147.0 22.5 137.5 85.5 z 1.22 2.44 1.83 2.44 1.83 2.44 2.44 x 157.5 107.5 77.0 81.0 162.0 162.0 117.5y -6.5 -81.5 3.0 56.5 -66.5 84.0 -38.5z 2.74 2
3、.74 2.44 2.44 2.74 1.22 2.74第4页，共34页，编辑于2022年，星期一数值分析数值分析插值法插值法水道地貌形状图水道地貌形状图 水道深度等值线图水道深度等值线图 第5页，共34页，编辑于2022年，星期一2.1.12.1.1插值问题的数学提法插值问题的数学提法:已知函数已知函数 在在n+1个点个点上的函数值上的函数值 ,求一个多项求一个多项式式 使其满足使其满足即要求该多项式的函数曲线要经过即要求该多项式的函数曲线要经过 上上已知的这已知的这n+1个点个点 同时在同时在其其它点它点 上估计误差为上估计误差为第6页，共34页，编辑于2022年，星期一第7页，共34页，
4、编辑于2022年，星期一o2.1.2插值多项式的存在唯一性插值多项式的存在唯一性 过过n+1个点个点 ，作多项式函数，作多项式函数 可构造可构造(n+1)(n+1)线性方程组确定参数线性方程组确定参数要证明插值多项式存在唯一，只要证明参数存在且唯要证明插值多项式存在唯一，只要证明参数存在且唯一，一，即只要证明其系数行列式不为零即可。即只要证明其系数行列式不为零即可。第8页，共34页，编辑于2022年，星期一系数行列式为：系数行列式为：此为范德蒙行列式。利用行列式性质可得此为范德蒙行列式。利用行列式性质可得由于由于 时时 ，故所有因子，故所有因子 ，于是，于是 。即插值多项式存在唯一。即插值多项
5、式存在唯一。第9页，共34页，编辑于2022年，星期一2.2 2.2 拉格朗日插值拉格朗日插值拉格朗日插值拉格朗日插值1.问题的提出问题的提出已知函数已知函数 在区间的端点在区间的端点 上上的函数值的函数值 ，求一个一次，求一个一次函数函数 使得使得 。2.2.12.2.1线性插值与抛物线插值线性插值与抛物线插值第10页，共34页，编辑于2022年，星期一其几何意义其几何意义:已知平面上两点已知平面上两点 求一条直线求一条直线过该已知两点。过该已知两点。第11页，共34页，编辑于2022年，星期一2.2.插值函数和插值基函数插值函数和插值基函数由直线的点斜式公式可知：由直线的点斜式公式可知：把
6、此式按照把此式按照 和和 写成两项：写成两项：(两点式），两点式），记记 并称它们为一次插值基函数。并称它们为一次插值基函数。第12页，共34页，编辑于2022年，星期一该基函数的特点如下表：该基函数的特点如下表：从而从而 ,此形式称之为此形式称之为拉格朗日型插值多项式拉格朗日型插值多项式。其中。其中,插值基函数与插值基函数与 无关，而由插值结点无关，而由插值结点 所决定。所决定。一次插值多项式是插值基函数的线性组合一次插值多项式是插值基函数的线性组合,相应的相应的组合系组合系数是该点的函数值数是该点的函数值 。第13页，共34页，编辑于2022年，星期一二次插二次插值值多多项项式式(抛物抛物
7、线线插插值值)1.问题的提出问题的提出 已知函数已知函数 在点在点 上的函上的函数值数值 求一个次数不超过二次的多项式求一个次数不超过二次的多项式 ,使使其满足其满足 第14页，共34页，编辑于2022年，星期一其几何意义为其几何意义为:已知平面上的三个点，已知平面上的三个点，。求一个二次抛物线求一个二次抛物线,使得使得该抛物线经过这三点。该抛物线经过这三点。第15页，共34页，编辑于2022年，星期一2 2.插值基本多项式（构造插值基函数）插值基本多项式（构造插值基函数）有三个插值结点有三个插值结点 ,构造三个插值基本多构造三个插值基本多项式，要求满足：项式，要求满足：(1)(1)基本多项式
8、为二次多项式；基本多项式为二次多项式；(2)(2)它们的函数值满足下表：它们的函数值满足下表：100010001第16页，共34页，编辑于2022年，星期一因为因为 ,故故 有因有因子子 ,而其已经是一个二次多项式而其已经是一个二次多项式,仅相差一个仅相差一个常数倍常数倍,可设可设又因为又因为 ，故，故得：得：同理同理第17页，共34页，编辑于2022年，星期一拉格朗日型二次插值多项式拉格朗日型二次插值多项式 由前述，拉格朗日型二次插值多项式由前述，拉格朗日型二次插值多项式 是三个是三个二次插值基函数多项式的线性组合二次插值基函数多项式的线性组合,因而其因而其是次数不超过二次的多项式是次数不超
9、过二次的多项式,且满足且满足 第18页，共34页，编辑于2022年，星期一2.2.22.2.2拉格朗日型拉格朗日型n n次插值多项式次插值多项式1.1.问题的提出：问题的提出：已知函数已知函数 在在n+1n+1个不同的点上个不同的点上 的函数值分别为的函数值分别为 ,求一个次数不超过求一个次数不超过n n的多项式的多项式 ,使其满使其满足足 即即n+1n+1个不同的点个不同的点可以唯一决定一个可以唯一决定一个n n次多项式。次多项式。第19页，共34页，编辑于2022年，星期一2.2.插值基函数插值基函数 过过n+1n+1个不同的点分别决定个不同的点分别决定n+1n+1个个n n次插值次插值基
10、函数基函数每个插值基本多项式每个插值基本多项式 满足：满足：(1).(1).是是n n次多项式次多项式;(2).(2).，而在其它，而在其它n n个点个点 。第20页，共34页，编辑于2022年，星期一 由于由于 ，故，故 有因子有因子因其已经是因其已经是n n次多项式，故仅相差一个常数因子。次多项式，故仅相差一个常数因子。令令:由由可以定出可以定出 ，进而得到：，进而得到：第21页，共34页，编辑于2022年，星期一3.n3.n次拉格朗日型插值多项式次拉格朗日型插值多项式 是是n+1n+1个个n n次插值基本多项式次插值基本多项式 的线性组合，相应的组合系数是的线性组合，相应的组合系数是 。
11、即即 是一个次数不超过是一个次数不超过n n的多项式的多项式,且满足且满足 第22页，共34页，编辑于2022年，星期一o例求过点例求过点(2,0)(4,3)(6,5)(8,4)(10,1)(2,0)(4,3)(6,5)(8,4)(10,1)的拉格朗日的拉格朗日型插值多项式。型插值多项式。解：对解：对5 5个点插值构造个点插值构造4 4次插值多项式。次插值多项式。第23页，共34页，编辑于2022年，星期一所以所以第24页，共34页，编辑于2022年，星期一2.2.3 2.2.3 2.2.3 2.2.3 插值余项与误差估计插值余项与误差估计插值余项与误差估计插值余项与误差估计 在在a,ba,b
12、上用多项式上用多项式 来近似代替函数来近似代替函数f(x),f(x),其截断误差记作其截断误差记作第25页，共34页，编辑于2022年，星期一下面来估计截断误差下面来估计截断误差 ：定理定理1 1：设设函数函数y=f(x)的的n n阶导阶导数数y=f(n)(x)在在 a,b 上上连续连续，y=f (n+1)(x)(x)在在(a,b)上存在；插上存在；插值节值节点点为为ax0 x1xnb,是是n次拉格朗日插次拉格朗日插值值多多项项式；式；则对则对任意任意x x a,b 有：有：其中其中(a,b),),依依赖赖于于x x；第26页，共34页，编辑于2022年，星期一第27页，共34页，编辑于202
13、2年，星期一第28页，共34页，编辑于2022年，星期一第29页，共34页，编辑于2022年，星期一第30页，共34页，编辑于2022年，星期一第31页，共34页，编辑于2022年，星期一function f=Language(x,y,x0)syms t;if(length(x)=length(y)n=length(x);else disp(x和和y的维数不相等！的维数不相等！);return;endf=0.0;for(i=1:n)l=y(i);for(j=1:i-1)l=l*(t-x(j)/(x(i)-x(j);end;LagrangeLagrange插值的插值的MATLABMATLAB程序
14、：程序：LagrangeLagrange.m.mfor(j=i+1:n)l=l*(t-x(j)/(x(i)-x(j);end f=f+l;simplify(f);if(i=n)if(nargin=3)f=subs(f,t,x0);else f=collect(f);f=vpa(f,6);end endend第32页，共34页，编辑于2022年，星期一调用用插插值值函数函数Lagrange.mLagrange.mx=0:3;y=-5-6-1 16;x=0:3;y=-5-6-1 16;xi=-.25:.01:3.25;xi=-.25:.01:3.25;yi=yi=Lagrange(x,y,1.5)
15、Lagrange(x,y,1.5)yi=yi=Lagrange(x,y,xi);Lagrange(x,y,xi);plot(x,y,o,xi,yi)plot(x,y,o,xi,yi)求求f(x)的的LagrangeLagrange插插值值多多项项式，式，程序程序计计算得，算得，yi=-4.6250.yi=-4.6250.已知当已知当x=0,1,2,3时时,例例3并求并求f(1.5)(1.5)的近似值的近似值.第33页，共34页，编辑于2022年，星期一基本要求1.理解函数插值的意义及概念，了解插值多项式存在的唯一性；2.熟练掌握拉格朗日插值及其余项表达式，掌握插值基函数及其性质。作业：课本48页：2、5.第34页，共34页，编辑于2022年，星期一