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1、授课教师：林四海授课教师：林四海授课教师：林四海授课教师：林四海联系方式：联系方式：联系方式：联系方式：TELTEL：Q Q Q Q：254639066 25463906613850094922中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识一、数学期望的概念一、数学期望的概念二、数学期望的性质二、数学期望的性质*三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望四、小结四、小结6.2.1 6.2.1 数学期望及其性质数学期望及其性质6.2 6.2 随机变量的数字特征随机变量的数字特征中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的
2、措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识引例引例1 分赌本问题分赌本问题(产生背景产生背景)A,B 两人赌技相同两人赌技相同,各出各出赌金赌金100元元,并约定先胜三局者为并约定先胜三局者为胜胜,取得全部取得全部 200 元元.由于出现意由于出现意外情况外情况,在在 A 胜胜 2 局局 B 胜胜1 局时局时,不得不终止赌博不得不终止赌博,如果要分赌金如果要分赌金,该如何分配才算公平该如何分配才算公平?一、数学期望的概念一、数学期望的概念 中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控
3、烟意识A 胜胜 2 局局 B 胜胜 1 局局前三局前三局:后二局后二局:把已赌过的三局把已赌过的三局(A 胜胜2局局B 胜胜1局局)与上述结果与上述结果相结合相结合,即即 A、B 赌完五局赌完五局,A AA B B AB BA 胜胜B 胜胜分析分析 假设继续赌两局假设继续赌两局,则结果有以下四种情况则结果有以下四种情况:A AA B B AB BA胜胜B负负 A胜胜B负负 A胜胜B负负 B胜胜A负负 B胜胜A负负 A胜胜B负负 B胜胜A负负 B胜胜A负负 中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识因此因此,A 能能“
4、期望期望”得到的数目应为得到的数目应为 而而B 能能“期望期望”得到的数目得到的数目,则为则为故有故有,在赌技相同的情况下在赌技相同的情况下,A,B 最终获胜的最终获胜的可能性大小之比为可能性大小之比为即即A 应获得赌金的应获得赌金的 而而 B 只能获得赌金的只能获得赌金的中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识因而因而A期望所得的赌金即为期望所得的赌金即为X的的“期望期望”值值,等于等于X 的可能值与其概率之积的累加的可能值与其概率之积的累加.即为即为若设随机变量若设随机变量 X 为为:在在 A 胜胜2局局B 胜
5、胜1局的前提局的前提下下,继续赌下去继续赌下去 A 最终所得的赌金最终所得的赌金.则则X 所取可能值为所取可能值为:其概率分别为其概率分别为:中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识1.离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识试问哪个射手技术较好试问哪个射手技术较好?实例实例1 谁的技术比较好谁的技术比较好?乙射手乙射手甲射手甲射手中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦
6、和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识解解故甲射手的技术比较好故甲射手的技术比较好.中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识实例实例2 发行彩票的创收利润发行彩票的创收利润 某一彩票中心发行彩票某一彩票中心发行彩票 10万张万张,每张每张2元元.设头等奖设头等奖1个个,奖金奖金 1万元万元,二等奖二等奖2个个,奖金各奖金各 5 千元千元;三等奖三等奖 10个个,奖金各奖金各1千元千元;四等奖四等奖100个个,奖金各奖金各100元元;五等奖五等奖1000个个,奖金各奖金各10 元元.每张每张彩
7、票的成本费为彩票的成本费为 0.3 元元,请计算彩票发行单位的创请计算彩票发行单位的创收利润收利润.解解设每张彩票中奖的数额为随机变量设每张彩票中奖的数额为随机变量X,则则中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识每张彩票平均可赚每张彩票平均可赚每张彩票平均能得到奖金每张彩票平均能得到奖金因此彩票发行单位发行因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利润为万张彩票的创收利润为中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识到站时刻到站时刻概率概率
8、实例实例3中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识解解中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识2.连续型随机变量数学期望的定义连续型随机变量数学期望的定义中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识解解因此因此,顾客平均等待顾客平均等待5分钟就
9、可得到服务分钟就可得到服务.实例实例4 顾客平均等待多长时间顾客平均等待多长时间?设顾客在某银行的窗口等待服务的时间设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分以分计计)服从指数分布服从指数分布,其概率密度为其概率密度为试求顾客等待服务的平均时间试求顾客等待服务的平均时间?中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识定积分的定积分的分部积分法分部积分法例如例如 计算解解:原式=一般的说，如果被积函数是两类基本初等函数的乘积，在多数情况下，可按顺序：指数函数、三角函数、幂函数、对数函数、反三角函数指数函数、三角函数、幂函数
10、、对数函数、反三角函数。将排 在前面的那类函数选作中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识1.设设 C 是常数是常数,则有则有证明证明2.设设 X 是一个随机变量是一个随机变量,C 是常数是常数,则有则有证明证明例如例如二、数学期望的性质二、数学期望的性质中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识4.设设 X,Y 是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量,则有则有3.设设 X,Y 是两个随机变量是两个随机变量,则有则有证明证明说明说明 连
11、续型随机变量连续型随机变量 X 的数学期望与离散型随机的数学期望与离散型随机 变量数学期望的性质类似变量数学期望的性质类似.中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识解解实例实例5中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识1.离散型随机变量函数的数学期望离散型随机变量函数的数学期望解解*三、三、随机变量函数的数学期望随机变
12、量函数的数学期望设随机变量设随机变量 X 的分布律为的分布律为中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识则有则有因此离散型随机变量函数的数学期望为因此离散型随机变量函数的数学期望为若若 Y=g(X),且且则有则有中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识实例实例6 中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识解解中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的
13、痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识实例实例7 解解中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识因此期望所得为因此期望所得为中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识四、四、小
14、结小结1.数学期望是一个实数数学期望是一个实数,而非变量而非变量,它是一种它是一种加权加权 平均平均,与一般的平均值不同与一般的平均值不同,它从本质上体现了它从本质上体现了 随机变量随机变量 X 取可能值的取可能值的真正的平均值真正的平均值.2.数学期望的性质数学期望的性质中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识一、随机变量方差的概念及性质一、随机变量方差的概念及性质三、例题讲解三、例题讲解二、重要概率分布的方差二、重要概率分布的方差四、小结四、小结6.2.2 6.2.2 方差方差中国历史上吸烟的历史和现状、所采取
15、的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识1.概念的引入概念的引入 方差是一个常用来体现随机变量取值方差是一个常用来体现随机变量取值分散程度分散程度的量的量.实例实例 有两批灯泡有两批灯泡,其平均寿命都是其平均寿命都是 E(X)=1000小小时时.一、随机变量方差的概念及性质一、随机变量方差的概念及性质 中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识2.方差的定义方差的定义中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高
16、师生的控烟意识方差是一个常用来体现随机变量方差是一个常用来体现随机变量 X 取值分取值分散程度的量散程度的量.如果如果 D(X)值大值大,表示表示 X 取值分散取值分散程度大程度大,E(X)的代表性差的代表性差;而如果而如果 D(X)值小值小,则表示则表示X 的取值比较集中的取值比较集中,以以 E(X)作为随机变作为随机变量的代表性好量的代表性好.3.方差的意义方差的意义中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识离散型离散型随机变量的方差随机变量的方差 连续型连续型随机变量的方差随机变量的方差4.随机变量方差的计算随
17、机变量方差的计算 (1)利用定义计算利用定义计算 中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识证明证明(2)利用公式计算利用公式计算中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识证明证明5.方差的性质方差的性质(1)设设 C 是常数是常数,则有则有(2)设设 X 是一个随机变量是一个随机变量,C 是常数是常数,则则有有证明证明中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识(
18、3)设设 X,Y 相互独立相互独立,D(X),D(Y)存在存在,则则证明证明中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识推广推广中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识1.两点分布两点分布 已知随机变量已知随机变量 X 的分布律为的分布律为则有则有二、重要概率分布的数学期望方差二、重要概率分布的数学期望方差中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识2.二项分布二项
19、分布 设随机变量设随机变量 X 服从参数为服从参数为 n,p 二项分布二项分布,(即即 )其分布律为其分布律为令令 表示第表示第i次试验中事件次试验中事件A发生的次数，发生的次数，是相互独立的，是相互独立的，则有则有，其中其中 服从同一服从同一01分布分布。所以有所以有中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识3.泊松分布泊松分布 则有则有中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识所以所以中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来
20、的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识4.均匀分布均匀分布则有则有结论结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点均匀分布的数学期望位于区间的中点.中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识5.指数分布指数分布 则有则有设设其概率密度为其概率密度为中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识结论结论：
21、指数分布的期望和方差分别为指数分布的期望和方差分别为和和中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识6.正态分布正态分布则有则有中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识分布分布参数参数数学期望数学期望方差方差两点分布两点分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布均匀分布均匀分布指数分布指数分布正态分布正态分布中国历史上吸烟的历史
22、和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识解：解：三、三、例题讲解例题讲解例例1中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识于是于是中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识解解例例2中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识解解例例3中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一
23、步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识解解例例4中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识契比雪夫不等式契比雪夫不等式证明证明取连续型随机变量的情况来证明取连续型随机变量的情况来证明.切比雪夫不等式切比雪夫不等式中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾
24、难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识得得中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识四、四、小结小结1.1.方差是一个常用来体现随机变量方差是一个常用来体现随机变量 X 取值分散取值分散2.2.程度的量程度的量.如果如果 D(X)值大值大,表示表示 X 取值分取值分散程散程3.3.度大度大,E(X)的代表性差的代表性差;而如果而如果 D(X)值小值小,则则4.4.表示表示 X 的取值比较集中的取值比较集中,以以 E(X)作为随机变作为随机变5.5.量的代表性好量的代表性好.2.方差的计算公式方差的计算公式中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识3.方差的性质方差的性质4.契比雪夫不等式契比雪夫不等式