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1、第六章第六章微积分方法与函数概念的演变微积分方法与函数概念的演变6.1极限观念极限观念刘徽求积术中朴素的极限思想方法刘徽求积术中朴素的极限思想方法例如例如,刘徽以弓形的弦刘徽以弓形的弦a a1 1为底、高为底、高h h1 1的端点为顶点的端点为顶点在弓形内作内接等腰三角形，求出其面积在弓形内作内接等腰三角形，求出其面积1=1=a a1 1 h h1 1。再以此三角形的两腰为底作小弓形的内。再以此三角形的两腰为底作小弓形的内接等腰三角形，每一个小弓形的面积为接等腰三角形，每一个小弓形的面积为2=2=a a2 2h h2 2。因两小弓形的面积相等，故有。因两小弓形的面积相等，故有22=22=a a
2、2 2 h h2 2。如此类推下去，到第。如此类推下去，到第n n次就有次就有2 2n n11n n=2=2 n n2 2anhnanhn。把这些三角形的面积加起来，设。把这些三角形的面积加起来，设SnSn为为其和，则其和，则 SnSn=2 2i i1 1 i i=2=2i i22aihiaihi 。刘徽对这个过程指出：刘徽对这个过程指出：“割之又割，使至极细，割之又割，使至极细，但举弦矢相乘之数，则必近密率矣但举弦矢相乘之数，则必近密率矣”。这可以用。这可以用极限的方法表示为：设极限的方法表示为：设S S为弓形面积，就有为弓形面积，就有S S=SnSn =2=2i i11i i。插如图插如图
3、6.16.16.2 量分割与积分方法量分割与积分方法6.2.1 6.2.1 阿基米德的平衡法阿基米德的平衡法先把面积或体积分成很多窄的平行条或先把面积或体积分成很多窄的平行条或薄的平行层。进而假设把这些薄片挂在薄的平行层。进而假设把这些薄片挂在杠杆的一端，使它们平衡于容积和重心杠杆的一端，使它们平衡于容积和重心都为已知的一个图形，而且已知图形的都为已知的一个图形，而且已知图形的面（体）积一般都是容易求得的。面（体）积一般都是容易求得的。例如例如,令令r r为该球体的半径。把这个球的两极直径放在水平为该球体的半径。把这个球的两极直径放在水平x x轴上，轴上，如图如图6.16.1，使北极点，使北极
4、点N N与坐标轴原点重合。作与坐标轴原点重合。作2 2r rr r的矩形的矩形NABSNABS和等和等腰直角腰直角NCSNCS ，其中，其中CSCSNSNS。让它们围绕。让它们围绕x x轴旋转，得到圆柱和圆轴旋转，得到圆柱和圆锥。然后，从这三个立体上切下与锥。然后，从这三个立体上切下与N N的距离为的距离为x x、厚度为、厚度为x x的竖立的竖立的薄片，并假设它们是扁平的圆柱体。这些薄片的体积分别近似地的薄片，并假设它们是扁平的圆柱体。这些薄片的体积分别近似地为：为：球体：球体：xx(2(2r rx x)x x，（若设球片底面半径为（若设球片底面半径为R R，则，则R R2=2=r r2 2（
5、x xr r）2=2=x x（2 2r rx x）柱体：柱体：rr22x x锥体：锥体：xx22x x把球体和锥体的薄片挂在把球体和锥体的薄片挂在T T点（在这里点（在这里TN TN=2=2r r）上。它们的关于）上。它们的关于N N的组合力矩（一个体积关于一个点的矩，是该体积与此点至此体积的组合力矩（一个体积关于一个点的矩，是该体积与此点至此体积重心的距离的乘积）为：重心的距离的乘积）为：xx(2(2r rx x)x x+xx22x x22r r=4=4rr2 2x xx x这是从柱体上切下来的薄片放在左边与这是从柱体上切下来的薄片放在左边与N N的距离为的距离为x x处的力矩的四倍。处的力
6、矩的四倍。把所有的这些薄片加到一起，得：把所有的这些薄片加到一起，得：2 2r r 球体体积球体体积+圆锥体积圆锥体积=4=4r r 圆柱体积圆柱体积。即，即，2 2r r 球体体积球体体积+=8+=8rr4.4.所以，所以，球体体积球体体积=6.2.2 开普勒的旋转体体积公式开普勒的旋转体体积公式用无数个用无数个“同维数同维数”的无穷小元素的无穷小元素之和来求面积和体积的方法之和来求面积和体积的方法例如例如,设半径为设半径为R R的圆围绕其所在平面上且与圆心的圆围绕其所在平面上且与圆心距离为距离为d d的垂直轴旋转而形成圆环。开普勒证明了的垂直轴旋转而形成圆环。开普勒证明了用通过旋转轴的平面
7、，可以把圆环分成无穷多个用通过旋转轴的平面，可以把圆环分成无穷多个内侧较薄、外侧较厚的垂直薄圆片，而把每一个内侧较薄、外侧较厚的垂直薄圆片，而把每一个薄圆片又分成无穷多个横截面为梯形的水平薄片薄圆片又分成无穷多个横截面为梯形的水平薄片,进而先推导出每个圆片的体积是进而先推导出每个圆片的体积是 RR2 2l l，其中，其中l l=是圆片最小厚度是圆片最小厚度l l1 1与最大厚度与最大厚度l l2 2的平均值，亦即的平均值，亦即圆片在其中心处的厚度。然后他进一步推算圆环圆片在其中心处的厚度。然后他进一步推算圆环的体积的体积V=(R2)=(V=(R2)=(RR2)(22)(2dd)=2)=22 2
8、R R2 2d d。6.2.3 卡瓦列里的不可分量原理卡瓦列里的不可分量原理“不可分量原理不可分量原理”(意大利卡瓦列意大利卡瓦列里里,1635,1635年年)第一次给出了积分的一第一次给出了积分的一般方法。般方法。第一原理第一原理:有两个平面片处于两条平行线之间，有两个平面片处于两条平行线之间，在这两个平面片内作任意平行于这两条平在这两个平面片内作任意平行于这两条平行线的直线，如果它们被平面片所截得的行线的直线，如果它们被平面片所截得的线段长度相等，则这两个平面片的面积相线段长度相等，则这两个平面片的面积相等。等。第二原理：有两个立体处于两个平行平面之间，第二原理：有两个立体处于两个平行平面
9、之间，在这两个平行平面之间作任意平行于这两个平在这两个平行平面之间作任意平行于这两个平面的平面，如果它们被立体所截得的面积相等，面的平面，如果它们被立体所截得的面积相等，则这两个立体的体积相等。则这两个立体的体积相等。实例实例对于被置于同一个直角坐标系上的椭圆和对于被置于同一个直角坐标系上的椭圆和圆圆=1=1（a a b b）,x x2+2+y y2=2=a a2,2,从上述每一个方程中解出从上述每一个方程中解出y y，得到，得到y y=(=(a a2 2x x2)1/2,2)1/2,y y=(=(a a2 2x x2)1/22)1/2由此看出：椭圆和圆的对应的纵坐标之比由此看出：椭圆和圆的对
10、应的纵坐标之比为为b b/a a。这就意味着，椭圆和圆的对应垂直。这就意味着，椭圆和圆的对应垂直弦之比是弦之比是b b/a a；根据卡瓦列里不可分量的第；根据卡瓦列里不可分量的第一个原理，有椭圆和圆的面积之比也是一个原理，有椭圆和圆的面积之比也是b b/a a。6.3 微分方法与微积分的互逆性微分方法与微积分的互逆性微分方法是微分方法是1717世纪数学家在寻找曲世纪数学家在寻找曲线的切线的作法和计算函数极值的线的切线的作法和计算函数极值的过程中创立的过程中创立的6.3.1费马方法与圆法费马方法与圆法l费马求函数极大或极小值的思想方法：费马求函数极大或极小值的思想方法：如果如果f f(x x)在
11、在x x点上有一个普通的极大值或极小值，并且若点上有一个普通的极大值或极小值，并且若e e很小，则很小，则f f（x xe e）的值几乎等于）的值几乎等于f f（x x）的值。所以，我）的值。所以，我们暂时令们暂时令f f(x xe e)=)=f f(x x)，然后，令，然后，令e e取值零，使得等式取值零，使得等式成为正确的，所得方程的根就给出使成为正确的，所得方程的根就给出使f f(x x)取极大值或极取极大值或极小值的那些小值的那些x x的值。这是现代微积分学求函数的值。这是现代微积分学求函数f f(x x)的普通的普通极大值或极小值的常用方法，然而，费马只是给出了函数极大值或极小值的常
12、用方法，然而，费马只是给出了函数极值存在的必要但不充分的条件。极值存在的必要但不充分的条件。l笛卡尔圆法笛卡尔圆法(重根法重根法)，是采用代数形式给出了求切线的，是采用代数形式给出了求切线的方法，它不涉及极限的概念方法，它不涉及极限的概念.圆法在本质上将切线视为割圆法在本质上将切线视为割线的极限位置，这与现代的切线概念相一致。但重根的计线的极限位置，这与现代的切线概念相一致。但重根的计算过程十分复杂。算过程十分复杂。例如，对于抛物线例如，对于抛物线y y2=2=kxkx，有，有y y=f f(x x)=,)=,则则方程方程kxkx+（v vx x）2=2=r r2 2有重根的条件为有重根的条件
13、为kxkx+（v vx x）2 2r r2=(2=(x xe e)2.)2.令等式两边令等式两边x x的系数相等，得的系数相等，得k k2v=2v=2e,2e,即即v=v=e e+.+.代入代入e=xe=x,于是于是v vx=kx=k，故而求得抛物线在，故而求得抛物线在点（点（x x,）处的切线斜率是）处的切线斜率是6.3.2 特征三角形求切线法特征三角形求切线法16691669年英国数学家巴罗利用它找到了求年英国数学家巴罗利用它找到了求切线的几何方法，并发现了积分与微分切线的几何方法，并发现了积分与微分的互逆关系。此后，莱布尼兹应用这个的互逆关系。此后，莱布尼兹应用这个三角形建立起他的无穷小
14、量的微积分理三角形建立起他的无穷小量的微积分理论。论。巴罗用几何法求切线的思想方法巴罗用几何法求切线的思想方法例如，求曲线例如，求曲线x x3+3+y y3=3=r r3 3在一点处的切线，在一点处的切线，可令可令（x xe e）3+3+（y ya a）3=3=r r3 3，或或 x x3 33 3x x2 2e e+3+3xexe2 2e e3+3+y y3 33 3y y2 2a a+3+3yaya2 2a a3=3=r r3 3。令令a a和和e e的二次幂和高次幂等于零，并利用已知等式的二次幂和高次幂等于零，并利用已知等式x x3+3+y y3=3=r r3 3，上式可化简为上式可化简
15、为3 3x x2 2e e+3+3y y2 2a a=0=0，由此我们得到由此我们得到a a/e e=x x2/2/y y2 2。n 莱布尼兹提出了自己的特征三角形并利用它莱布尼兹提出了自己的特征三角形并利用它“毫无毫无困难地建立起大量的定理困难地建立起大量的定理”（莱布尼兹语）。它所得到（莱布尼兹语）。它所得到的第一个定理是：的第一个定理是：“由一条曲线的法线形成的图形，即由一条曲线的法线形成的图形，即将这些法线（在圆的情形就是半径）按纵坐标方向置于将这些法线（在圆的情形就是半径）按纵坐标方向置于轴上所形成的图形，其面积与曲线绕轴旋转而成的立体轴上所形成的图形，其面积与曲线绕轴旋转而成的立体
16、的面积成正比的面积成正比”。n莱布尼兹在关于特征三角形的研究中认识到：求曲线莱布尼兹在关于特征三角形的研究中认识到：求曲线的切线依赖于纵坐标的差值与横坐标的差值，以及当这的切线依赖于纵坐标的差值与横坐标的差值，以及当这些差值变成无限小时它们的比值；而求曲线下的面积时，些差值变成无限小时它们的比值；而求曲线下的面积时，则依赖于无限小区间上的纵坐标之和（指纵坐标乘以无则依赖于无限小区间上的纵坐标之和（指纵坐标乘以无限小区间的长度再相加，因而也相当于宽度为无限小的限小区间的长度再相加，因而也相当于宽度为无限小的矩形面积之和）。莱布尼兹也看出了这两类问题的互逆矩形面积之和）。莱布尼兹也看出了这两类问题
17、的互逆关系。并且建立起一种更一般的算法，将以往解决这两关系。并且建立起一种更一般的算法，将以往解决这两类问题的各种结果和技巧统一起来类问题的各种结果和技巧统一起来6.4牛顿的流数术牛顿的流数术牛顿微积分理论研究的三个阶段：牛顿微积分理论研究的三个阶段：第一阶段，像他的前人那样使用静态的无穷小量观点，第一阶段，像他的前人那样使用静态的无穷小量观点，凭借二项式定理的推广形式，使微积分的计算方法变得凭借二项式定理的推广形式，使微积分的计算方法变得程序化；程序化；第二阶段，用变量流动生成法，创造了流数术基本概念第二阶段，用变量流动生成法，创造了流数术基本概念体系；体系；第三阶段则用第三阶段则用“最初比
18、与最末最初比与最末”方法完善其流数术的思方法完善其流数术的思想。在不断的发展和变化中形成了其特有的微积分理论想。在不断的发展和变化中形成了其特有的微积分理论6.4.1 6.4.1 二项式定理的推广二项式定理的推广牛顿牛顿(1676(1676年年)的二项式定理，使用的二项式定理，使用现代的方法它可以表示为现代的方法它可以表示为 ：=1+Q+=1+Q+例如求的近似值的方法如下：例如求的近似值的方法如下：7=97=9（）（）=9=9（1 1），则），则=3=3代入牛顿代入牛顿二项式定理，并取前二项式定理，并取前6 6项，得：项，得：=3=3（1 1）=2.64576=2.64576牛顿利用二项式定理
19、论证了称之为牛顿利用二项式定理论证了称之为“瞬瞬”的无穷小增量（他称之为的无穷小增量（他称之为“瞬瞬”）的思想。）的思想。例如，如果平面曲线下的面积（曲边梯形）面积的例如，如果平面曲线下的面积（曲边梯形）面积的公式是公式是 则曲线的公式是则曲线的公式是y=y=。事实上，假如横坐标的瞬或无限小增量为事实上，假如横坐标的瞬或无限小增量为o o，则新的，则新的横坐标是横坐标是x x+o o,面积为面积为Z Z+oyoy =a a用二项式定理把展开，减掉用二项式定理把展开，减掉Z=Z=，然后用，然后用o o除两边，最后舍去那些包含除两边，最后舍去那些包含o o的项，结果就是。的项，结果就是。牛顿进一步
20、指出：反之，如果曲线是，则曲线下的牛顿进一步指出：反之，如果曲线是，则曲线下的曲边梯形的面积便是曲边梯形的面积便是 Z=Z=。6.4.2 流数法流数法流、流数与流的增量流、流数与流的增量牛顿把一条曲线看作是由一个点的连续运动生成的，牛顿把一条曲线看作是由一个点的连续运动生成的，而时间是基本的自变量。变动的量被称为流，流的变而时间是基本的自变量。变动的量被称为流，流的变化速度（即变化率）称为它的流数）。如果一个流化速度（即变化率）称为它的流数）。如果一个流（比如，生成一条曲线的点的纵坐标）用（比如，生成一条曲线的点的纵坐标）用 y y表示，则表示，则这个流的流数用表示。这个流的流数用表示。流的矩
21、，指的是流在无穷小的时间间隔流的矩，指的是流在无穷小的时间间隔o o中增加的无中增加的无穷小量，即在无限小时间内流的增量。流穷小量，即在无限小时间内流的增量。流x x的矩由乘的矩由乘积积o o给出。牛顿指出：在任何问题中，可以略去所有给出。牛顿指出：在任何问题中，可以略去所有包含包含o o的二次或二次以上幂的项。的二次或二次以上幂的项。流数法的实例流数法的实例考虑三次方程考虑三次方程x x3 3axax2+2+axyaxyy y3=0 3=0，以，以x x+o o代替代替x x,以以y y+代替代替y y，得，得x x3+33+3x x2(2(o o)+3)+3x x(o o)2+()2+(o
22、 o)3)3axax2 22 2axax(o o)a a(o o)2)2+axyaxy+ayay(o)+(o)+a a(o(o)()+)()+axax()()y y3 33 3y y2()2()3 3y y()2()2()3=0()3=0然后利用然后利用x x3 3 axax2+2+axyaxy y y3=03=0，把余下的项除以，把余下的项除以o o，再舍弃所有包含，再舍弃所有包含o o的二次或二次以上幂的项，便可以的二次或二次以上幂的项，便可以得到：得到：3 3x x2 22 2axax+axax+a ay y3 3y y2=02=0由此不难解得由此不难解得/，求出我们今天所谓的微分，求出
23、我们今天所谓的微分dydy/dxdx。6.4.3最初比与最终比最初比与最终比“最初比最初比“与与”最后比最后比”的概念，是从实无限小量观的概念，是从实无限小量观点转向了极点转向了极限观点。限观点。牛顿写道：牛顿写道：“流数之比非常接近于在相等但却很小的流数之比非常接近于在相等但却很小的时间间隔内生成时间间隔内生成的流量的增量比，确切地说它们构成增量的最初比的流量的增量比，确切地说它们构成增量的最初比”。牛顿还借助于几何解释把流数理解为增量消逝时获得牛顿还借助于几何解释把流数理解为增量消逝时获得的最终比。的最终比。应用实例应用实例为了求为了求y=y=xnxn的流数，设的流数，设x x经均匀流动经
24、均匀流动变为变为x x+o o,xnxn则变为则变为(x x+o)o)n n =xnxn +naxn-1 naxn-1+o o2 2 x nx n-2+-2+，构成两变化的，构成两变化的“最初比最初比”为：为：然后设增量然后设增量o o消逝，即令消逝，即令o0o0 时，得到时，得到它们的最末比就是。这也是它们的最末比就是。这也是x x的流数与的流数与xnxn的流数之比，即变化率的流数之比，即变化率6.5 莱布尼兹的数列阶差法莱布尼兹的数列阶差法莱布尼兹则是从数列的阶差入手证明微莱布尼兹则是从数列的阶差入手证明微积分的积分的莱布尼兹凭借着对数列的洞察力，建立莱布尼兹凭借着对数列的洞察力，建立了自
25、己的积分方法了自己的积分方法譬如：对于函数譬如：对于函数y=xy=x，他把，他把x x用来表示相邻两项的用来表示相邻两项的次序，并取序数差为次序，并取序数差为1 1，设，设l l为两相邻项的实际差。为两相邻项的实际差。莱布尼兹用拉丁文莱布尼兹用拉丁文omniaomnia的缩写的缩写omnomn.表示和，则表示和，则有：有：omnomn.l.l=y=y。图图6.116.11离散值积分方法离散值积分方法在在y=xy=x的条件下，如图的条件下，如图6.116.11所示所示,对于无限小的对于无限小的l l来说来说,ylyl的和等于的和等于 y y2.2.莱布尼兹在这里认为：莱布尼兹在这里认为：“从从0
26、 0起增长的直线，每一个用与它相应的增长的起增长的直线，每一个用与它相应的增长的元素相乘，组成一个三角形元素相乘，组成一个三角形”。所以可以写出：。所以可以写出：omn.omn.ylyl=y y2 2。6.6函数概念的发展函数概念的发展6.6.1 6.6.1 函数的曲线表示形式函数的曲线表示形式哲学家的哲学家的“形态幅度形态幅度”（1414世纪）与数学家的世纪）与数学家的“图线原理图线原理”对运动的研究，导致对各种变化过程和各种变化对运动的研究，导致对各种变化过程和各种变化着的量的依赖关系的着的量的依赖关系的研究研究 1818世纪世纪 欧拉提出的函数的一个定义是：函数欧拉提出的函数的一个定义是
27、：函数是是“xyxy平面上随手画出来的曲线所表示的平面上随手画出来的曲线所表示的y y与与x x间间的关系的关系”。即把函数定义为一条随意画出来的曲。即把函数定义为一条随意画出来的曲线。线。6.6.2 函数概念的解析表示函数概念的解析表示在在16671667年第一次给出了函数的解析定义（英国年第一次给出了函数的解析定义（英国数学家格雷果里，数学家格雷果里，16671667年）：从一些其它的量经过一系列代数运算或年）：从一些其它的量经过一系列代数运算或任何其他可以想象的运算而得到的一个量，这任何其他可以想象的运算而得到的一个量，这就是函数就是函数欧把函数定义为：欧把函数定义为：“由变量和数或常量
28、构成的由变量和数或常量构成的解析表达式解析表达式”1818世纪关于弦振动的研究推动了函数概念的深世纪关于弦振动的研究推动了函数概念的深刻变化刻变化6.6.3 函数的对应观函数的对应观德国数学家狄利克雷（德国数学家狄利克雷（1805185918051859）于）于18371837年给出了函数年给出了函数的定义：的定义：若对若对x x（a ax xb b）的每一个值，）的每一个值，y y总有完全确定的值与之总有完全确定的值与之对应，不管建立起这种对应的法则的方式如何，都称对应，不管建立起这种对应的法则的方式如何，都称y y是是x x的函数。的函数。函数、映射又再一次被概括为一种更为广泛的概念函数、
29、映射又再一次被概括为一种更为广泛的概念关系：关系：设集合设集合X X、Y Y，定义定义X X与与Y Y的积集的积集X XY Y如下：如下：X XY Y=(=(x x，y y)|)|x x X,X,y yY Y 积集积集X XY Y中的一个子集中的一个子集R R称为称为X X与与Y Y的一个关系，若的一个关系，若(x x，y y)R R，则称，则称x x与与y y有关系有关系R R，否则称否则称x x与与y y无关系无关系R R。设。设f f是是x x与与y y的关系，即的关系，即fXfXY Y，如果，如果(x x，y y)、(x x，z z)f f,必有必有y=y=z z，那么称，那么称f f
30、为为X X到到Y Y的映射或函数。的映射或函数。6.7 函数概念的认知研究函数概念的认知研究函数概念教育，要突出变化这一数学思想函数概念教育，要突出变化这一数学思想学校函数概念教育的三种途径：学校函数概念教育的三种途径：图像表示法，这是以笛卡尔坐标系为基础的函数曲线表示图像表示法，这是以笛卡尔坐标系为基础的函数曲线表示的方法，算术的表示法，它是以数表（格）、有序对等方的方法，算术的表示法，它是以数表（格）、有序对等方式表现的函数关系；代数表示法，它可以是映射的正规形式表现的函数关系；代数表示法，它可以是映射的正规形式，也可以包括小学课程中的一些有关的公式式，也可以包括小学课程中的一些有关的公式以非形式化的表现形式发展函数的概念以非形式化的表现形式发展函数的概念在学习者的经验基础上发展函数的概念在学习者的经验基础上发展函数的概念发掘函数的变化思想，克服不同的函数表示方法给学生认发掘函数的变化思想，克服不同的函数表示方法给学生认知带来的不必要的禁锢知带来的不必要的禁锢6.8无穷小重返数坛无穷小重返数坛在在2020世纪世纪6060年代出现的年代出现的“非标准分析非标准分析”中，无穷小又得到了清晰的中，无穷小又得到了清晰的数学表示，使无穷小量重返数坛。数学表示，使无穷小量重返数坛。