4-2 绘制根轨迹的基本法则.ppt

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1、4.2 根轨迹的绘制根轨迹的绘制低阶系统（如二阶系统）低阶系统（如二阶系统）解析法求根轨迹（解析法求根轨迹（【例例4.1.1】）高阶系统高阶系统根轨迹绘制法则，根轨迹绘制法则，8条条14.2.1 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则法则法则1：根轨迹的分支数、对称性和连续性：根轨迹的分支数、对称性和连续性u分支数分支数MAX（n,m）u特征方程的根为实数或共轭复数，因而对称特征方程的根为实数或共轭复数，因而对称于实轴于实轴 u特征方程是多项式函数，根是特征方程是多项式函数，根是K*的隐函数，的隐函数，因此根轨迹连续因此根轨迹连续 2法则法则2：根轨迹起于开环极点，终于开环零点：根轨迹起于开

2、环极点，终于开环零点 证明：证明：根轨迹起点根轨迹起点:根轨迹终点根轨迹终点:因为有因为有MAX(n,m)个根轨迹分支，所以有个根轨迹分支，所以有n个根个根所以，根轨迹起于开环极点所以，根轨迹起于开环极点？有几个？有几个根根3根轨迹方程又可以写为（根轨迹方程又可以写为（K*0）所以根轨迹终于开环零点所以根轨迹终于开环零点 4一般情况下一般情况下有有n-m条根轨迹终于无穷远处条根轨迹终于无穷远处 将穷远处的零点叫做将穷远处的零点叫做无穷零点无穷零点，那么根轨迹终，那么根轨迹终止于开环零点止于开环零点 如果包括无穷零点，则有：如果包括无穷零点，则有：开环零点数（有限零点无穷零点）开环极点数开环零点

3、数（有限零点无穷零点）开环极点数 5法则法则3：根轨迹的渐近线：根轨迹的渐近线 当当 时，有时，有 条根轨迹分支沿着与实轴交条根轨迹分支沿着与实轴交角为角为 、交点为、交点为 的一组渐近线趋向于无穷远处，的一组渐近线趋向于无穷远处，且有且有 6证明：角度的简单证明证明：角度的简单证明 无穷远处的一个闭环特征根无穷远处的一个闭环特征根与有限零点和有限极点所成角与有限零点和有限极点所成角度相同，都设为度相同，都设为相角条件相角条件根轨迹对称于实轴，也可写为根轨迹对称于实轴，也可写为交角有交角有n-m个，交点只有一个个，交点只有一个7【例例4.2.1】一个系统开环传递函数为一个系统开环传递函数为 根

4、据前面根据前面3个根轨迹法则确定根轨迹基本特性个根轨迹法则确定根轨迹基本特性 解：解：1)根轨迹起始于开环极点根轨迹起始于开环极点 2)根轨迹有根轨迹有4条，且对称于实轴条，且对称于实轴 终于开环无穷远零点和有限零点终于开环无穷远零点和有限零点83)有有n-m=3条渐近线，其与实轴交点为条渐近线，其与实轴交点为 与实轴交角为与实轴交角为 9例例4.2.1的根轨迹的根轨迹u开环极点用开环极点用表示表示u开环零点用开环零点用表示表示有三条渐近线有三条渐近线u一条根轨迹起于一条根轨迹起于p1,终止于终止于z1u其他三条终止于无其他三条终止于无穷远处穷远处100法则法则4：实轴上的根轨迹：实轴上的根轨

5、迹 实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。之和为奇数，则该区域必是根轨迹。证明：根轨迹上的点必须满足相角条件证明：根轨迹上的点必须满足相角条件 11实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹（p4,z2）段是根轨迹，其右侧实轴零极点数为）段是根轨迹，其右侧实轴零极点数为3个个（p1,z1）段是根轨迹，右侧实轴）段是根轨迹，右侧实轴1个零极点个零极点12法则法则5：根轨迹的分离点与分离角：根轨迹的分离点与分离角 两条或两条以上根轨迹分支在两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的的

6、点，称为根轨迹的分离点（会合点）分离点（会合点）u若相邻两极点间有根轨迹，则必有分离点若相邻两极点间有根轨迹，则必有分离点u若相邻两零点间有根轨迹，则必有会合点若相邻两零点间有根轨迹，则必有会合点u分离点实际上是相同的闭环特征值，即特征方程有重根分离点实际上是相同的闭环特征值，即特征方程有重根13分离点的坐标分离点的坐标d是可由如下方法确定：是可由如下方法确定：分离角为分离角为 为分离的根轨迹条数（一般为分离的根轨迹条数（一般情况下情况下l=2）,k=0,1,，l-1(1)公式法（凑试公式法（凑试法）法）14闭环特征方程：闭环特征方程：即：即：(2)重根法重根法(3)极值法极值法分离点分离点分

7、离点分离点15-4-3-2-101-10-50510p1=0p2=-2p3=-3z1=-1?4.2.2?Real AxisImaginary Axis?d=-2.47,K*=0.419【例例4.2.2】绘制开环传递函数的根轨迹草图绘制开环传递函数的根轨迹草图解解:(1)实轴上根轨迹实轴上根轨迹u(z1,p1)之间有根轨迹，而且之间有根轨迹，而且没有分离点，所以起于没有分离点，所以起于p1，终，终于于z1u(p2,p3)之间有根轨迹，且有之间有根轨迹，且有分离点分离点(2)(p2,p3)之间的分离点之间的分离点分离角分离角16（3）n-m=2,有有2条根轨迹趋于无穷条根轨迹趋于无穷 渐近线的参数

8、为渐近线的参数为（4）分离点处的根轨迹增益）分离点处的根轨迹增益K*-4-3-2-101-10-50510p1=0p2=-2p3=-3z1=-1?4.2.2?Real AxisImaginary Axis?d=-2.47,K*=0.41917法则法则6：起始角与终止角：起始角与终止角 起始角（出射角）：根轨迹在开环极点处切线的角度起始角（出射角）：根轨迹在开环极点处切线的角度 其中其中18终止角（入射角）：根轨迹在开环零点处切线的角度终止角（入射角）：根轨迹在开环零点处切线的角度 其中其中19证明：在极点证明：在极点pi附近根轨迹上取一点附近根轨迹上取一点s1，连线角度近似为起，连线角度近似为

9、起始角，则始角，则 正负一样正负一样其中其中20整理即得整理即得终止角的证明类似终止角的证明类似21-4-3-2-101-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5p1=-1+jp2=-1-jz1=-2Imaginary Axis【例例4.2.3】绘制如下开环传递函数的根轨迹草图绘制如下开环传递函数的根轨迹草图 解：解：（1）有根轨迹，且有会合点，分离角为有根轨迹，且有会合点，分离角为Real Axisd=-3.414尝试其它方法尝试其它方法22（2）p1点的出射角为点的出射角为根轨迹的复平面部分是以根轨迹的复平面部分是以零点到分离点距离为半径零点到分离点距离为半径的圆周的一部分的

10、圆周的一部分 23法则法则7：根轨迹与虚轴的交点：根轨迹与虚轴的交点 即有纯虚根即有纯虚根 ，此时，此时K*使系统处于临界稳定状态使系统处于临界稳定状态两种计算方法：两种计算方法：u劳斯稳定判据计算临界增益劳斯稳定判据计算临界增益u采用代入法计算采用代入法计算 24【例例4.2.4】已知某单位负反馈系统的开环传递函数，已知某单位负反馈系统的开环传递函数，试确定根轨迹与虚轴的交点及相交时的试确定根轨迹与虚轴的交点及相交时的K*解：闭环特征方程为解：闭环特征方程为Gk(s)25计算劳斯表计算劳斯表用用s2行构造辅助方程行构造辅助方程 26所以，与虚轴的交点为所以，与虚轴的交点为 ，临界增益为，临界

11、增益为6或者将或者将 直接代入特征方程，得直接代入特征方程，得27法则法则8：闭环极点的和：闭环极点的和 当当 时时，开环极点之和等于闭环极点之和，即，开环极点之和等于闭环极点之和，即 由于开环极点之和为常数，所以当某些闭环极点在由于开环极点之和为常数，所以当某些闭环极点在s平面平面上左移时，另外某些极点必然右移上左移时，另外某些极点必然右移28证明：当证明：当 时，系统闭环特征方程时，系统闭环特征方程29根轨迹绘制规则总结根轨迹绘制规则总结序序内容内容规规 则则 1分支数分支数对称性对称性等于开环传递函数的极点数（nm）对称于实轴2起点起点终点终点起始于开环的极点，终止于开环传的零点（包括无

12、限零点）3实轴上实轴上分布分布实轴上的根轨迹在实轴的某一区间内存在根轨迹，则其右边开环传递函数的零点、极点数之和必为奇数4渐近线渐近线相交于实轴上的同一点：坐标为：倾角为：30序序内容内容规规 则则 5分离（会分离（会合）点合）点实轴上的分离（会合）点6起始角起始角终止角终止角复极点处的出射角：复零点处的入射角：7虚轴交点虚轴交点（1）由劳斯阵列求得（2）闭环特征方程 8闭环极点闭环极点之和之和当 时，闭环极点之和等于开环极点之和K*K*计算计算 模值条件：31绘制根轨迹基本步骤绘制根轨迹基本步骤n计算开环极点、零点，并标注n确定根轨迹分支数n确定根轨迹起点和终点n确定实轴上的根轨迹n确定渐近

13、线n确定分离点或会合点n确定初始角和终止角n确定与虚轴的交点n计算要求的参数32【例例4.2.5】单位负反馈系统开环传递函数如下，绘单位负反馈系统开环传递函数如下，绘制其根轨迹制其根轨迹解：解：1）绘制零极点分布）绘制零极点分布-30332）实轴上的根轨迹）实轴上的根轨迹-30(-3,0)之间必有根轨迹之间必有根轨迹3）渐近线）渐近线条渐近线条渐近线-1.25344）分离点）分离点无有限零点，故无有限零点，故-30-1.25-2.3355）起始角）起始角-1+j处的起始角处的起始角-30-1.25-2.3对称的对称的366）与虚轴交点）与虚轴交点闭环特征方程为闭环特征方程为列劳斯表列劳斯表令令

14、s1的行为零的行为零37由由s2行构造行构造-30-1.25-2.338例例4.2.64.2.6已知控制系已知控制系统统开开环传递环传递函数函数试绘试绘制根制根轨轨迹。迹。解：（解：（1 1）作出开）作出开环环零、极点分布。零、极点分布。（2 2）因）因为为 ，因此有，因此有4 4条条 根根轨轨迹分支。迹分支。其起点分其起点分别为别为4 4个开个开环环极点。极点。故有一条根故有一条根轨轨迹迹终终止于开止于开环环零点；零点；故有三条根故有三条根轨轨迹分支迹分支终终止于无止于无穷远处穷远处。（3）确定实轴上的根轨迹）确定实轴上的根轨迹39（4 4）渐近线：因为有三条根轨迹分支终止于无）渐近线：因为

15、有三条根轨迹分支终止于无穷远处，故有三条渐近线。穷远处，故有三条渐近线。（5 5）复数极点的出射角）复数极点的出射角经计经计算得算得将以上求得的将以上求得的4 4个数据代入上式得个数据代入上式得利用根利用根轨轨迹的迹的对对称性可知：称性可知：40（6）根）根轨轨迹与虚迹与虚轴轴的交点：令的交点：令代入系代入系统闭环统闭环特征方程中，得特征方程中，得分分别别令上式的令上式的实实部与虚部等于零，得部与虚部等于零，得解上述方程解上述方程组组，并舍去无意，并舍去无意义值义值，得，得；4142利用利用MATLAB绘制根轨迹绘制根轨迹命令命令1：零、极点模型zpk,传递函数tf例：命令命令2：绘制根轨迹r

16、locusrlocus(Gk)Gk=tf(1,4,1,0,2,2)Gk=tf(1,4,1,0,2,2)Gk=Gk=zpkzpk(,0,0,-2,1)(,0,0,-2,1)Gk=zpk(-4,0,0,-2,1)Gk=zpk(-4,0,0,-2,1)43它的开环传递函数为它的开环传递函数为（1）有）有2个开环极点（起点）个开环极点（起点），。4.2.2 自动控制系统的根轨迹自动控制系统的根轨迹二阶系统二阶系统 二阶系统的结二阶系统的结构图如图所示。构图如图所示。44由此得分离点由此得分离点（2）有二个开环无限零点（终点），故二）有二个开环无限零点（终点），故二条根轨迹都将延伸到无限远。条根轨迹都将

17、延伸到无限远。（3）由上节法则）由上节法则4可知，在可知，在0和和 间必有间必有根轨迹。根轨迹。（4）按式根轨迹的分离点计算公式）按式根轨迹的分离点计算公式45(5)根轨迹的渐近线倾角计算，得根轨迹的渐近线倾角计算，得 渐近线交点计算渐近线交点计算 它和根轨迹的分离点重合。它和根轨迹的分离点重合。46二阶系统增加一个零点时，系统结构图二阶系统增加一个零点时，系统结构图开环具有零点的二阶系统开环具有零点的二阶系统它的开环传递函数为它的开环传递函数为47开环具有零点的二阶系统开环具有零点的二阶系统 的根轨迹如图的根轨迹如图48二阶系统附加一个极点的系统的结构图二阶系统附加一个极点的系统的结构图三阶

18、系统三阶系统它的开环传递函数为它的开环传递函数为49三阶系统的如图根轨迹三阶系统的如图根轨迹50二阶系统中增加一个极点，一个零点后系统二阶系统中增加一个极点，一个零点后系统的结构图如图所示，它的开环传递函数为的结构图如图所示，它的开环传递函数为开环具有零点的三阶系统开环具有零点的三阶系统51开环具有零点的三阶系开环具有零点的三阶系统统的根轨迹如图的根轨迹如图52开环传递函数为开环传递函数为具有复数极点的四阶系统具有复数极点的四阶系统53具有复数极点的四阶系具有复数极点的四阶系统统的根轨迹如图的根轨迹如图54课程回顾（1）根轨迹：根轨迹：系统某一参数由系统某一参数由 0 0 变化时，系统闭环极变

19、化时，系统闭环极 点点在在s s 平面相应变化所描绘出来的轨迹平面相应变化所描绘出来的轨迹 闭环极点闭环极点 与开环零点、开环极点及与开环零点、开环极点及 K*K*均有关均有关相角条件：相角条件：模值条件：模值条件：根轨迹方程根轨迹方程 根轨迹增益根轨迹增益 闭环零点闭环零点 =前向通道零点前向通道零点 +反馈通道极点反馈通道极点55课程回顾（2）法则法则1 1 根轨迹的起点和终点：根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数少于开环极点个数，则有少于开环极点个数，则有 n-m 条根轨迹终止于无穷远处。条根轨迹

20、终止于无穷远处。法则法则2 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性：根轨迹的分支数，对称性和连续性：根轨迹的分支数根轨迹的分支数 =开环极点数；根轨迹连续且对称于实轴。开环极点数；根轨迹连续且对称于实轴。法则法则3 3 实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：从实轴上最右端的开环零、极点算起，奇数开环零、极点到从实轴上最右端的开环零、极点算起，奇数开环零、极点到 偶数开环零、极点之间的区域必是根轨迹。偶数开环零、极点之间的区域必是根轨迹。定理定理:若系统有若系统有2 2个开环极点，个开环极点，1 1个开环零点，且在复平面存在根轨迹，个开环零点，且在复平面存在根轨迹，则复平面的根轨迹一定是以该零点为圆心的圆

21、弧。则复平面的根轨迹一定是以该零点为圆心的圆弧。564.2 绘制根轨迹的基本法则（6）法则法则4 4 根之和根之和：证明：证明：n-m 2时，闭环根之和保持一个常值时，闭环根之和保持一个常值。由代数定理：由代数定理：n-m 2时，一部分根左移，另一部分根必右移，且移动总量为零时，一部分根左移，另一部分根必右移，且移动总量为零。574.2 绘制根轨迹的基本法则（7）法则法则5 5 渐近线渐近线：n m时，时，n-m条根条根轨迹分支趋于无穷远处的规律轨迹分支趋于无穷远处的规律。例例1 系统开环传递函数为系统开环传递函数为 ，试绘制根轨迹，试绘制根轨迹。解解.实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-2-2

22、，00 渐近线：渐近线：584.2 绘制根轨迹的基本法则（8）例例2 系统结构图如图所示。系统结构图如图所示。解解.(1)渐近线：渐近线：实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-4,-2,-1,0-4,-2,-1,0（1）绘制当）绘制当K*=0时系统的根轨迹；时系统的根轨迹；（2）当）当Rel l1 1 =-1 时，时，l l3 3=?=?用根用根之和法则分析绘制根轨迹：之和法则分析绘制根轨迹：(2)594.2 绘制根轨迹的基本法则（9）法则法则6 6 分离点分离点 d d：说明：说明：（无零点时右端为（无零点时右端为0）（对应重根）（对应重根）试根试根:604.2 绘制根轨迹的基本法则（10）例例

23、3 单位反馈系统的开环传递函数为单位反馈系统的开环传递函数为解解.渐近线：渐近线：实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-,-2,-1,0-,-2,-1,0，绘制根轨迹。，绘制根轨迹。分离点：分离点：整理得：整理得：解根：解根：与虚轴交点：与虚轴交点：?614.2 绘制根轨迹的基本法则（11）法则法则7 7 与虚轴交点与虚轴交点：解法解法I：1 1）系统临界稳定点）系统临界稳定点2 2）s=jw w 是根的点是根的点接例接例3 Routh：解法解法II：稳定范围稳定范围：0K3624.2 绘制根轨迹的基本法则（12）法则法则8 8 出射角出射角/入射角入射角 （起始角（起始角/终止角）终止角）例例4

24、 单位反馈系统的开环传递函数为单位反馈系统的开环传递函数为，绘制根轨迹。，绘制根轨迹。634.2 绘制根轨迹的基本法则（13）例例5 已知系统结构图，绘制根轨迹。已知系统结构图，绘制根轨迹。解解.渐近线：渐近线：实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-,0-,0 与虚轴交点：与虚轴交点：出射角：出射角：644.2 绘制根轨迹的基本法则（14）例例6 单位反馈系统的开环传递函数为单位反馈系统的开环传递函数为解解.渐近线：渐近线：实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-20,0，绘制根轨迹。，绘制根轨迹。分离点：分离点：试根得试根得：虚轴交点：虚轴交点：出射角：出射角：654.2 绘制根轨迹的基本法则（15）

25、例例6 渐近线渐近线：实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-20,0 分离点分离点：虚轴交点虚轴交点：出射角出射角：稳定的开环增益范围稳定的开环增益范围：0 K 3.4725基于根轨迹的系统设计工具基于根轨迹的系统设计工具RLTool664.2 绘制根轨迹的基本法则（16）解解.渐近线渐近线：实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹：(-,-1,0,1例例6 已知已知，绘根轨迹，绘根轨迹;求稳定的求稳定的K范围。范围。分离点分离点：出射角出射角：674.2 绘制根轨迹的基本法则（17）例例6零点靠近极点时的情况零点靠近极点时的情况(例例3)3)虚轴交点虚轴交点：稳定的稳定的 范围范围：稳定的稳定的 范围范围：

26、68绘制根轨迹法则小结法则法则 5 5 渐近线渐近线法则法则 1 1 根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点法则法则 2 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性根轨迹的分支数，对称性和连续性法则法则 3 3 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹法则法则 4 4 根之和根之和法则法则 6 6 分离点分离点法则法则 7 7 与虚轴交点与虚轴交点法则法则 8 8 出射角出射角/入射角入射角694.2 绘制根轨迹的基本法则（18）例例1 系统结构图如图所示系统结构图如图所示解解.(1)渐近线：渐近线：实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-0.5,1.75（1）绘制当）绘制当K*=0 时系统的根轨迹；时系统的根轨迹；（2

27、）分析系统稳定性随）分析系统稳定性随K*变化的规律。变化的规律。出射角：出射角：与虚轴交点：与虚轴交点：704.2 绘制根轨迹的基本法则（19）例例1 系统结构图如图所示系统结构图如图所示解解.(2)分析：分析：（1）绘制当）绘制当K*=0 时系统的根轨迹；时系统的根轨迹；（2）分析系统稳定性随）分析系统稳定性随K*变化的规律。变化的规律。开环稳定开环稳定 闭环稳定闭环稳定负反馈未必一定能改善系统性能负反馈未必一定能改善系统性能714.4 绘制根轨迹的基本法则（20）例例3 单位反馈系统的开环传递函数为单位反馈系统的开环传递函数为解解.渐近线：渐近线：实轴上：实轴上：-,-2,-1,0，选定选

28、定K*值，绘制值，绘制 分离点：分离点：解根：解根：虚轴交点：虚轴交点：当当T变化时的根轨迹。变化时的根轨迹。724.4 绘制根轨迹的基本法则（21）虚轴交点：虚轴交点：73自动控制原理自动控制原理（第 16 讲）4.1 4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念4.2 4.2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则4.3 4.3 广义根轨迹广义根轨迹 4.4 4.4 利用根轨迹分析系统性能利用根轨迹分析系统性能 4 4 根轨迹法根轨迹法74自动控制原理自动控制原理（第（第 16 讲）讲）4.3 4.3 广义根轨迹广义根轨迹 754.3 广义根轨迹例例2 系统开环传递函数系统开环传递函数解

29、解.(1)渐近线：渐近线：实轴根轨迹：实轴根轨迹：-,0-,0，a=0 变化，绘制根轨迹；变化，绘制根轨迹；x=1x=1时，时，F(F(s)=?)=?分离点：分离点：整理得：整理得：与虚轴交点：与虚轴交点：4.3.14.3.1 参数参数根轨迹根轨迹 除除 K*之外之外其他参数变化时系统的根轨迹其他参数变化时系统的根轨迹构造构造“等效开环传递函数等效开环传递函数”764.3.1 参数根轨迹（1）解解.(2)x=1 x=1 时，对应于分离点时，对应于分离点 d ，ad=2/27774.3.1 参数根轨迹（2）例例3 单位反馈系统的开环传递函数为单位反馈系统的开环传递函数为解解 I.出射角出射角：实

30、轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-,-587.7,-27.7,0 ,T=0,绘制根轨迹。绘制根轨迹。分离点：分离点：整理得：整理得：解根：解根：虚轴交点：虚轴交点：784.3.1 参数根轨迹（3）例例3 单位反馈系统的开环传递函数为单位反馈系统的开环传递函数为解解II.入射角入射角：实轴根轨迹：实轴根轨迹：-,-587.7,-27.7,0 ,T=0,绘制根轨迹。绘制根轨迹。分离点：分离点：虚轴交点：虚轴交点：794.3 广义根轨迹 模值条件模值条件 相角条件相角条件4.3.2 4.3.2 零度零度根轨迹根轨迹 系统实质上处于正反馈时的根轨迹系统实质上处于正反馈时的根轨迹80绘制零度根轨迹的基本法

31、则 法则法则 5 5 渐近线渐近线法则法则 1 1 根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点法则法则 2 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性根轨迹的分支数，对称性和连续性 法则法则 3 3 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹法则法则 4 4 根之和根之和法则法则 6 6 分离点分离点法则法则 7 7 与虚轴交点与虚轴交点 法则法则 8 8 出射角出射角/入射角入射角814.3.2 零度根轨迹（1）例例4 系统结构图如图所示，系统结构图如图所示，K*=0,变化变化,试分别绘制试分别绘制 0、180根轨迹。根轨迹。解解.实轴轨迹：实轴轨迹：-,-1 出射角：出射角：分离点：分离点：整理得：整理得：解根：解根

32、：(1)(1)180180 根轨迹根轨迹(2)(2)0 0 根轨迹根轨迹-1,824.3.2 零度根轨迹（2）例例5 系统开环传递函数系统开环传递函数 ,分别绘制分别绘制 0 0、180180根轨迹根轨迹。解解.渐近线渐近线：实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹：-3,-1 出射角出射角：(1)绘制绘制 180 根轨根轨迹迹834.3.2 零度根轨迹（3）解解.渐近线：渐近线：实轴轨迹：实轴轨迹：-,-3,-1,-出射角：出射角：(2)绘制绘制 0 0 根轨根轨迹迹 分离点：分离点：整理得：整理得：844.3.2 零度根轨迹（4）0 0根轨迹根轨迹渐近线：渐近线：出射角：出射角：分离点：分离点：演示演示85n作业：n4-6(1)n4-886