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1、例例4-2-2)2)(1()5()()( ssssKsHsGr要求画出根轨迹。要求画出根轨迹。 某单位反馈系统某单位反馈系统分析：分析：1个开环零点，个开环零点，3个开环极点，个开环极点，, 51 z, 01 p, 12 p23 p0 j-5-2-103 绘制根轨迹图的基本规则绘制根轨迹图的基本规则规则一、规则一、根轨迹的分支数：根轨迹的分支数等于开环极点数根轨迹的分支数：根轨迹的分支数等于开环极点数n。根轨迹的分支数即根轨迹的条数。既然根轨迹是描述闭环系统特根轨迹的分支数即根轨迹的条数。既然根轨迹是描述闭环系统特征方程的根（即闭环极点）在征方程的根（即闭环极点）在s平面上的分布，那么，根轨迹
2、的平面上的分布，那么，根轨迹的分支数就应等于系统特征方程的阶数。分支数就应等于系统特征方程的阶数。)()(1sHsG 闭闭环环特特征征方方程程0)2)(1()5(1 ssssKr0)5()2)(1( sKsssr闭环系统的阶次为闭环系统的阶次为3 ，有，有3条根轨迹条根轨迹 。 闭环极点数闭环极点数 = 闭环特征方程的阶次闭环特征方程的阶次 = 开环传递函数的阶次开环传递函数的阶次= 开环极点数开环极点数例例阶阶3)2)(1()5()()( ssssKsHsGr规则二、规则二、 根轨迹的起点和终点：每条根轨迹都起始根轨迹的起点和终点：每条根轨迹都起始于开环极点，终止于开环零点或无穷远点。于开环
3、极点，终止于开环零点或无穷远点。 根轨迹是根轨迹是Kr从从0时的根变化轨迹，因此必须时的根变化轨迹，因此必须 起始于起始于Kr=0处，终止于处，终止于Kr=处处。观察幅值条件：观察幅值条件：mnrzszszspspspsK 2121njpsKjr.,2 , 1 , 0 必有必有mizsKir,.,2 , 1 , 必有必有)2)(1()5()()( ssssKsHsGr分三种情况讨论：分三种情况讨论：如果如果n = m，即开环零点数与极点数相同时，根轨迹的起点与终，即开环零点数与极点数相同时，根轨迹的起点与终点均有确定的值。点均有确定的值。如果如果n m, m条根轨迹趋向开环的条根轨迹趋向开环的
4、m 个零点（称为有限零点）个零点（称为有限零点）,而另而另n-m条根轨迹趋向无穷远处（称为有限零点）。条根轨迹趋向无穷远处（称为有限零点）。 对于例题，对于例题，3条根轨迹始于条根轨迹始于3个开环极点，一条止个开环极点，一条止于开环零点，另两条（于开环零点，另两条（n-m=2）趋于无穷远处。趋于无穷远处。如果如果n m, 即开环零点数大于开环极点数时，除有即开环零点数大于开环极点数时，除有n条根轨迹起条根轨迹起始于开环极点始于开环极点(称为有限极点称为有限极点)外，还有外，还有m-n条根轨迹起始于无穷条根轨迹起始于无穷远点远点(称为无限极点称为无限极点)。这种情况在实际的物理系统中虽不会出现，
5、。这种情况在实际的物理系统中虽不会出现，但在参数根轨迹中，有可能出现在等效开环传递函数中。但在参数根轨迹中，有可能出现在等效开环传递函数中。 *规则三、规则三、 根轨迹的对称性：根轨迹各分支是连续的，根轨迹的对称性：根轨迹各分支是连续的，且对称于实轴。且对称于实轴。证明：（证明：（1）连续性）连续性 系统开环根轨迹增益系统开环根轨迹增益 Kr (实变量）与复变量实变量）与复变量s有一一有一一对应的关系，当对应的关系，当Kr由零到无穷大连续变化时，描述系由零到无穷大连续变化时，描述系统特征方程根的复变量统特征方程根的复变量s在平面上的变化也是连续的，在平面上的变化也是连续的，因此，根轨迹是因此，
6、根轨迹是n条连续的曲线。条连续的曲线。证明：（证明：（2）对称性）对称性 由于实际的物理系统的参数都是实数，若它的特征由于实际的物理系统的参数都是实数，若它的特征方程有复数根，一定是对称于实轴的共轭复根，因此方程有复数根，一定是对称于实轴的共轭复根，因此,根轨迹总是对称于实轴的。根轨迹总是对称于实轴的。规则四、规则四、 实轴上的根轨迹：在实轴的线段上存在根实轴上的根轨迹：在实轴的线段上存在根轨迹的条件是：其右边开环零点和开环极点数目之和轨迹的条件是：其右边开环零点和开环极点数目之和为奇数。为奇数。例如系统的开环零、极点分布如图。例如系统的开环零、极点分布如图。 j01251 2 4p5p0s要
7、判断要判断 和和 之间的线段是否存之间的线段是否存在根轨迹，取实验点在根轨迹，取实验点3p1z0sq 开环共轭极点和零点提供的相角开环共轭极点和零点提供的相角相互抵消，相互抵消，G(s0)的相角由实轴上的的相角由实轴上的开环零极点决定。开环零极点决定。q 处在处在G(s0)左边的开环零极点提供的角度均左边的开环零极点提供的角度均为零，为零， 相角条件由其右边的零极点决定。相角条件由其右边的零极点决定。q 奇数个奇数个，无论如何加减组合，总能无论如何加减组合，总能使使l(l=1,3,)成立。成立。对于例题，对于例题， 在实轴上的根轨迹：在实轴上的根轨迹：一条始于开环极点，止于开环零点，一条始于开
8、环极点，止于开环零点，另两条始于开环极点，止于无穷远处。另两条始于开环极点，止于无穷远处。)2)(1()5()()( ssssKsHsGr规则四、规则四、实轴上的根轨迹：在实轴的线段上存在根轨迹实轴上的根轨迹：在实轴的线段上存在根轨迹的条件是：其右边开环零点和开环极点数目之和为奇数的条件是：其右边开环零点和开环极点数目之和为奇数0 j125渐近线：根轨迹有渐近线：根轨迹有n-m条渐进线。条渐进线。 渐近线与实轴的夹角为：渐近线与实轴的夹角为： .5 , 3 , 11800 lmnl 渐近线与实轴的交点为：渐近线与实轴的交点为：mnzpnjmiij11l l 它们是针对它们是针对n-m条趋向无穷
9、远点的根轨迹而设立的条趋向无穷远点的根轨迹而设立的l l 如果知道了渐近线，可以马上画出根轨迹的大致形状如果知道了渐近线，可以马上画出根轨迹的大致形状规则五、规则五、证明：证明： 见图见图4-5。 对于位于根轨迹上某一动点对于位于根轨迹上某一动点s0， 从各开环零极点到这一点的向从各开环零极点到这一点的向 量的相角随量的相角随s0轨迹的变化而变化，轨迹的变化而变化， 当当s0到达无穷远处，各相角相等，到达无穷远处，各相角相等， 令其为令其为，可写成：可写成： 180lnm 进而求出渐近线夹角：进而求出渐近线夹角：,.3 , 1,180 lmnl j图图4501251 2 4P5P0S由对称性知
10、，由对称性知， 渐近线一定交于实轴上，其交点实际渐近线一定交于实轴上，其交点实际上相当于零极点的质量重心。上相当于零极点的质量重心。按照重心的求法，可求知交点的坐标按照重心的求法，可求知交点的坐标 mnzpnjmiij11对例对例4-2-2，mnl 180 ), 3 , 1(2180 ll,900 )270(9000 交点坐标为：交点坐标为：,12)5(21 即（即（1，j0）。）。渐近线与实轴夹角为：渐近线与实轴夹角为：)2)(1()5()()( ssssKsHsGr10125 j规则六、规则六、 当两条根轨迹在复平面上相遇又分开的点叫作分离当两条根轨迹在复平面上相遇又分开的点叫作分离点或会
11、合点，点或会合点，大多发生在大多发生在实轴实轴上（仅讨论实根）。上（仅讨论实根）。性质：性质：q 在此点上必出现在此点上必出现重根重根。 q 利用根轨迹的性质可知，当根轨迹出现在实轴利用根轨迹的性质可知，当根轨迹出现在实轴 上两相邻极点间时，必有一上两相邻极点间时，必有一分离点分离点。 q 若当根轨迹出现在两相邻零点间（包括无穷远零若当根轨迹出现在两相邻零点间（包括无穷远零 点）时，必有一点）时，必有一会合点会合点。 根轨迹的分离点与会合点：分离点与会根轨迹的分离点与会合点：分离点与会合点是方程式合点是方程式 的根。的根。 0dsdKrq 根轨迹在该点上对应的根轨迹在该点上对应的Kr取这段实轴
12、区域的极值。取这段实轴区域的极值。 分离点最大值，会合点最小值。分离点最大值，会合点最小值。 Kr=0Kr=0Kr=Kr=分离点分离点会合点会合点由求极值的公式求出：由求极值的公式求出： 它们可以利用它们可以利用代数重根法代数重根法或或极值法极值法求出。求出。(介绍后者介绍后者)0)()(1)()(1 sasbKsGsHr在实轴根轨迹上，求使在实轴根轨迹上，求使Kr达到最大（最小）值的达到最大（最小）值的s 值值: 0)()( )()()( 2 sbsbsasbsadsdKr0)( )()()( sbsasbsa注意：注意：求出结果，需经判断，保留合理解。求出结果，需经判断，保留合理解。如果根
13、在实轴根轨迹上，保留，否则，舍去。如果根在实轴根轨迹上，保留，否则，舍去。)()(sbsaKr mn 0180 求出重根角为求出重根角为:在例题在例题4-2-2中，中， )2)(1()5()()( ssssKsHsGr)5()2)(1( ssssKr52323 ssssdsdKr0103018223 sss02232)5()23()5)(263( sssssss223)5(1030182 ssss解出：解出：94. 6,61. 1,447. 0321sss对上图的观察，后两个根不在根轨迹上，因此交点坐对上图的观察，后两个根不在根轨迹上，因此交点坐标为（标为（-0.447,j0）处。处。 - -
14、0.4470090180 mn 求出重根角为求出重根角为: j01251规则七、规则七、 根轨迹与虚轴的交点：交点和相应的根轨迹与虚轴的交点：交点和相应的Kr值值利用劳斯判据求出。利用劳斯判据求出。 根轨迹与虚轴的交点对应于临界稳定状态，此时系统根轨迹与虚轴的交点对应于临界稳定状态，此时系统出现虚根。出现虚根。 在例在例4-2-2中，系统闭环特征方程式为：中，系统闭环特征方程式为： , 0)2)(1()5(1ssssKr0)5()2)(1( sKsssr即：即：0)5(2323 sKsssrrrrrKsKsKsKs5032653210123 劳斯行列式劳斯行列式q当当6-2Kr=0时，特征方程
15、出现时，特征方程出现共轭虚根，求出共轭虚根，求出Kr=3。 q虚根可利用虚根可利用s2行的辅助方程求出：行的辅助方程求出： 01535322 sKsr5js 与虚轴的交点与虚轴的交点 j01251 与虚轴的交点为与虚轴的交点为。5j 例例4-2-2的根轨迹如图。的根轨迹如图。Kr=.084.447)2)(1()5()()( ssssKsHsGr1、画出开环零极点、画出开环零极点2、确定根轨迹根数、确定根轨迹根数3、画出实轴上的根轨迹、画出实轴上的根轨迹4、求渐进线（、求渐进线（nm）5、求分离点、求分离点6、求与虚轴交点、求与虚轴交点3,5 rKj3,5 rKj7、画出根轨迹、画出根轨迹8、求
16、出特殊点对应的、求出特殊点对应的Kr值值miinjjrzspsK11规则九：规则九：Kr值由根轨迹幅值条件求出：值由根轨迹幅值条件求出：如分离点（如分离点（-0.447，j0）处的处的Kr值：值： 5447. 02447. 01447. 00447. 0 rK084. 0 规则八、规则八、根轨迹的出射角：根轨迹的出射角：在开环复数在开环复数极点极点px处，根轨迹的处，根轨迹的出射角出射角为：为： nxjjjxmiixxppzp11)()(180出出 在开环复数在开环复数零点零点zy处，根轨迹的处，根轨迹的入射角入射角为：为： myiiiynjjyyzzpz11)()(180入若系统存在复数开环
17、零极点，需要知道根轨迹从此若系统存在复数开环零极点，需要知道根轨迹从此点出发（进入）的方向角度。可根据相角条件求出。点出发（进入）的方向角度。可根据相角条件求出。证明：证明： 设一系统的开环零、极点分布如图所示，设一系统的开环零、极点分布如图所示， j01P2P3P4P1Z1P3P2P4Pzlppppz04321180)(0s3p 点为从点为从 出发的根轨迹上一点。出发的根轨迹上一点。该点到所有零极点的应符合相角条件：该点到所有零极点的应符合相角条件：)(18042103pppzpl 当当s0一点点趋近一点点趋近p3时，可认为时，可认为3p3p。出为为 处的出射角处的出射角l l 而而p1、p
18、2、p4、z都分别趋近于各开环零都分别趋近于各开环零极点相对于极点相对于P3点的向量的相角。点的向量的相角。出出 此时，出射角此时，出射角 可以计算：可以计算：)()()()(18043231313ppppppzpl 出)()()()(18043231313ppppppzp 同理可证明入射角。同理可证明入射角。)(18042103pppzpl 1p2p3p4p1z1P3P2P4Pz j例例4-2-3 设系统开环零极点图如图设系统开环零极点图如图4-7。其中其中,85)(013 zp013135)(pp,45)(023 pp04390)(pp确定根轨迹离开共轭复数根的出射角。确定根轨迹离开共轭复
19、数根的出射角。根据公式：根据公式： 590451358518000000出考虑到根轨迹的对称性考虑到根轨迹的对称性出射角出射角p3= -5，p4= 5 nxjjjxmiixxppzp11)()(180出1p2p3p4p1z1P3P2P4Pz j图图4-7例例 ) 5 . 15 . 0)(5 . 15 . 0)(5 . 2()2)(2)(5 . 1()(jsjsssjsjssKsG根轨迹起始角根轨迹起始角3142122)()() 12 (2ijjjipppzph(21)56.51959108.59037(21)10179(0)hhh取-1-21=108.59059 37 19 56.5 P2P3
20、P4P1Z3Z2Z101p5 . 11zjz 23 , 25 . 15 . 03,2jp5 . 24p4132122)()() 12(2jiiijzzzpzh(21)15319912163.511790(21)329.5hh5 .14990 121 153 199 63.5 117 P2P3P4P1Z3Z2Z1根轨迹终止角根轨迹终止角 （k=-1） 01p5 . 11zjz 23 , 25 . 15 . 03,2jp5 . 24p根轨迹示例根轨迹示例1j0j0j0j0j0j00j0j0jj00j根轨迹根轨迹示例示例2j0j0j00jj0j0j0j00jj00jj0n=1;d=conv(1 2
21、0,1 2 2);rlocus(n,d)n=1 2;d=conv(1 2 5,1 6 10);rlocus(n,d) j0例例4-2-4 作作 的根轨迹。的根轨迹。16)4()(20ssKsGr开环极点开环极点3个：个：44, 03,21jpp 分析：分析：n=3，m=0, 没有开环零点没有开环零点。(在在s平面上的极点处标以平面上的极点处标以“”)根据根据规则一、二规则一、二 、三、三 ：根据根据规则四规则四，实轴上，实轴上0-为根轨迹。为根轨迹。 分别起始于分别起始于3个开环极点，个开环极点，均终止于无穷远处。均终止于无穷远处。根轨迹有三个分支：根轨迹有三个分支：图图4-8根据根据规则五规
22、则五，求渐近线，求渐近线:n-m=3条条例例4-2-4 mnl 180渐近线与实轴夹角：渐近线与实轴夹角： 601渐近线与实轴的交点：渐近线与实轴的交点： mnzpnjmiij111802)300(6035 , 3 , 1,03180 ll03080 767. 2 -2.76744, 03,21jpp 60没有分离点。没有分离点。 j0 j0例例4-2-4 根据根据规则七规则七：求出根轨迹与虚轴的交点。：求出根轨迹与虚轴的交点。闭环特征方程：闭环特征方程： 032823rKsss0323256810123rrrKKKssssKr=256，必对应于一对纯虚根必对应于一对纯虚根2s以以 的系数构成
23、辅助方程的系数构成辅助方程:02568822sKsr322 s66. 532jjs 16)4()(20ssKsGr-j5.66j5.66例例4-2-4 根据根据规则八规则八求出射角：求出射角： 对对P2，根轨迹的出射角为：根轨迹的出射角为： 1359001802由对称性知：由对称性知：-4-j4处的射角为处的射角为45)1(1 tg135 1 tg44 452344, 03,21jpp 根轨迹完成。根轨迹完成。nxjjjxmiixxppzp11)()(180出16)4()(20ssKsGrj5.66-j5.66 j0例例4-2-5 作作 的根轨迹。的根轨迹。)12() 1()(20sssKsG
24、r该系统该系统 n=3 ，m=1。根据根据规则一、二、三规则一、二、三：,12, 032, 1 pp1z一个零点：一个零点：有三个开环极点：有三个开环极点：该根轨迹有三个分支该根轨迹有三个分支,分别起始于分别起始于p = 0(两条两条)和和p = -12处，处，有一个分支终止于有一个分支终止于z = -1,另两个分支趋于无穷远。另两个分支趋于无穷远。根据根据规则四规则四： 实轴上存在根轨迹是从实轴上存在根轨迹是从-12到到-1之间。之间。-2-4-6-12 j0例例4-2-5根据根据规则五规则五：渐近线有：渐近线有2条，条，n-m2。-5.5渐近线夹角：渐近线夹角： mnl 1803 , 1
25、l 901)270(9002渐近线与实轴的交点：渐近线与实轴的交点： mnzpnjmiij112)1(12 211 5 . 5 )12() 1()(20sssKsGr-2-4-6-12 j0-2-4-6-12例例4-2-5根据根据规则七规则七、求根轨迹与虚轴的交点。求根轨迹与虚轴的交点。 闭环特征方程是：闭环特征方程是：01223rrKsKss0012121210123rrrrrKsKKsKsKsKr0时，第一列元素都为时，第一列元素都为正值，根轨迹与虚轴交点正值，根轨迹与虚轴交点于于Kr=0处。处。 )12() 1()(20sssKsGr-2-4-6-12 j0-2-4-6-12例例4-2-
26、5根据根据规则六规则六、求分离点和会合点、求分离点和会合点 11223sssKr0dsdKr0) 1(24152223ssssdsdKr则：则： 02415223 sss s1 =-5.18, s2= -2.31，s30。可知一部分根轨迹为圆。可知一部分根轨迹为圆。据此，可画出根轨迹。据此，可画出根轨迹。均在根轨迹上。均在根轨迹上。大大Kr分离点，分离点，小小Kr会合点。会合点。 )12() 1()(20sssKsGr0090180mn求出重根角为求出重根角为:-2-4-6-12 j0-2-4-6-12例例4-2-5利用幅值条件，可求出分离点和会合点处的利用幅值条件，可求出分离点和会合点处的K
27、r值。值。 ,78.431)12(001111ssssKr代代入入幅幅值值条条件件：把把处处在在18.5s,11 s47.3911223sssKrs1是分离点，是分离点，s2是会合点。是会合点。完整的绘出根轨迹如图完整的绘出根轨迹如图4-9所示。所示。)12() 1()(20sssKsGrmiinjjrzspsK11表表达达式式：代代入入把把处处在在r22K31.2s, s图图4-9作业：作业：4-1，4-2，4-3看书看书p151，表表4-1常规根轨迹。常规根轨迹。 s1 =-5.18, s2= -2.31，s30。-2-4-6-12 j0-2-4-6-12例例4-2-6 的根轨迹作4) 1
28、)(2()(20sssKsGr根据根据规则一、二、三规则一、二、三、有四个极点：、有四个极点：p1=0, p2= -2, p3,4= -1j2分析：分析：n=4，m=0。该根轨迹共有四个分支，该根轨迹共有四个分支，-2P1P2P3P4根据根据规则四规则四、实轴上存在、实轴上存在根轨迹是从根轨迹是从-2到到0之间。之间。 终止于无穷远。终止于无穷远。分别起始于分别起始于p1, p2, p3,4，0 j例例4-2-6 根据根据规则五规则五、n-m=4条渐近线条渐近线与实轴交点：与实轴交点： 14411 mnzpnjmiij 渐近线相角分别为：渐近线相角分别为： mnl 180 4180 l5 ,
29、3 , 1 l 135,45,135,45 p1=0, p2= -2, p3,4= -1j2-10 j1 2 4 根据根据规则八规则八、计算出射角和入射角。、计算出射角和入射角。例例4-2-6 复数极点复数极点p3= -1+j2的出射角：的出射角：421180 出出 6 .116121arctg 4 .63122arctg 904 90复数极点复数极点p4：p4= -1-j2 的出射角为的出射角为90 p1=0, p2= -2, p3,4= -1j2Im(s)Re(s)0-2P1P2P3P4p3= -1j2例例4-2-6 根据根据规则七规则七、求出根轨迹与虚轴的交点、求出根轨迹与虚轴的交点特征
30、方程：特征方程： 01094234rKssss465rK必对应于虚根必对应于虚根00001049105 . 64651213234ssKssKsrKrr构造辅助方程：构造辅助方程：05 . 62rKs5 . 25 . 62rKs求出：求出：58. 1js 465rK时，第一列元素都为正值时，第一列元素都为正值j1.58,K=65/4-j1.58,K=65/4Im(s)Re(s)0-2P1P2P3P44)1)(2()(20 sssKsGr例例4-2-6 根据根据规则六规则六、求根轨迹的分离点和会合点、求根轨迹的分离点和会合点（重根点）（重根点） )1094(234ssssKr dsdKr0101812423 sss0)1084)(1(2 sssjss22. 11, 13,21 均是根轨迹的重根点，均是根轨迹的重根点，后者符合相角条件。后者符合相角条件。完整的根轨迹见图完整的根轨迹见图4-10所示。所示。 图图4-104)1)(2()(20 sssKsGj1.58,Kr=65/4-j1.58,Kr=65/4Im(s)Re(s)0-2P1P2P3P4011180)()( lpszsKniimiir