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1、2019/9/29,根轨迹分析法-绘制根轨迹的基本法则,1,第二节 根轨迹绘制的基本准则,2019/9/29,根轨迹分析法-绘制根轨迹的基本法则,2,2、根轨迹的对称性： 一般物理系统特征方程的系数是实数，其根必为实根或共轭复根。即位于复平面的实轴上或对称于实轴。,用解析法或试探法绘制根轨迹很烦琐。下面讨论的内容通过研究根轨迹和开环零极点的关系，根轨迹的特殊点，渐近线和其他性质将有助于减少绘图工作量，能够较迅速地画出根轨迹的大致形状和变化趋势。以下的讨论是针对参数 的180度根轨迹的性质。,根轨迹的连续性和对称性,1、根轨迹的连续性： 闭环系统特征方程的某些系数是增益 的函数。当 从0到无穷变
2、化时，这些系数是连续变化的。故特征方程的根是连续变化的，即根轨迹曲线是连续曲线。,2019/9/29,根轨迹分析法-绘制根轨迹的基本法则,3,4、根轨迹的起点和终点：,根轨迹方程为：,时为起点， 时为终点。,根轨迹的支数和起始点,3、根轨迹的分支数： n阶特征方程有n个根。当 从0到无穷大变化时，n个根在复平面内连续变化组成n支根轨迹。即根轨迹的分支数等于系统的阶数。,当 时，只有 时，上式才能成立。而 是开环传递函数的极点，所以根轨迹起始于开环极点。n阶系统有n个开环极点，分别是n支根轨迹的起点。,2019/9/29,根轨迹分析法-绘制根轨迹的基本法则,4,我们称系统有n-m个无限远零点。有
3、限值零点加无穷远零点的个数等于极点数。,那么，n-m支根轨迹是如何趋于无限远呢？,根轨迹的起点和终点,当 时， ，上式成立。 是开环传递函数有限值的零点，有m个。故n阶系统有m支根轨迹的终点在m个有限零点处。若nm，那么剩余的n-m个终点在哪里呢？在无穷远处。 由根轨迹方程知：当 时,2019/9/29,根轨迹分析法-绘制根轨迹的基本法则,5,根轨迹的渐近线,5.根轨迹的渐近线：,若开环零点数m小于开环极点数n，则当系统的开环增益Kg时趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条。这n-m条根轨迹趋向无穷远的方位可由渐近线决定。,由根轨迹方程可得：,式中 ，,2019/9/29,根轨迹分析法-绘制根轨迹的
4、基本法则,6,根轨迹的渐近线,当Kg，由于m=2时， ，即：,闭环极点之积为：,根据上述10个性质（或准则），可以大致画出根轨迹的形状。为了准确起见，可以用相角条件试探之。,闭环系统极点之和与之积,当有为零的开环极点：,2019/9/29,根轨迹分析法-绘制根轨迹的基本法则,31,根轨迹作图步骤,一、标注开环极点和零点，纵横坐标用相同的比例尺；二、实轴上的根轨迹；三、n-m条渐近线；四、根轨迹的出射角、入射角；五、根轨迹与虚轴的交点；六、根轨迹的分离点、会合点； 结合根轨迹的连续性、对称性、根轨迹的支数、起始点和终点，闭环极点与闭环极点之和及之积等性质画出根轨迹。,2019/9/29,根轨迹分
5、析法-绘制根轨迹的基本法则,32,渐近线,例开环传递函数为： ，画根轨迹。,出射角 ，,求与虚轴的交点，此时特征方程为,解：求出开环零极点，即：,实轴上的根轨迹：(，0,将 代入得：,2019/9/29,根轨迹分析法-绘制根轨迹的基本法则,33,求分离会合点：由特征方程,由图知这两点并不在根轨迹上，所以并非分离会合点，这也可将 代入得 为复数。,2019/9/29,根轨迹分析法-绘制根轨迹的基本法则,34,渐近线,例开环传递函数为： ，画根轨迹。,出射角 ，,求与虚轴的交点，此时特征方程为,解：求出开环零极点，即：,实轴上的根轨迹：(，0,将 代入得：,2019/9/29,根轨迹分析法-绘制根
6、轨迹的基本法则,35,求分离会合点：由特征方程,由图知这两点都在根轨迹上，所以都是分离会合点。,2019/9/29,根轨迹分析法-绘制根轨迹的基本法则,36,渐近线,例开环传递函数为： ，画根轨迹。,出射角 ，,求与虚轴的交点，此时特征方程为,解：求出开环零极点，即：,实轴上的根轨迹：(，0,将 代入得： ，,2019/9/29,根轨迹分析法-绘制根轨迹的基本法则,37,求分离会合点：由特征方程,由图知这点在根轨迹上，所以是分离会合点。而且是三重根点。此时分离角为,2019/9/29,根轨迹分析法-绘制根轨迹的基本法则,38,小结,需掌握绘制根轨迹的十个准则 根轨迹的连续性和对称性； 根轨迹的支数、起始点和渐进线； 根轨迹实轴上的点和根轨迹的分离点，会合点； 根轨迹的出射角、入射角和虚轴的交点； 闭环极点之积和之和。,