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1、数学试卷(共 4 页)第页学科网(北京)股份有限公司1东风高中、天门中学、仙桃中学 2023 届高三 12 月考试高三数学试题考试时间:2020 年 12 月 16 日下午 15:00-17:00试卷满分:150 分一、选择题:本题共一、选择题:本题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有一项分在每小题给出的四个选项中,只有一项是是符符合合题题目目要要求求的的1.已知全集RU,集合1xxA,22xxB,则如图中阴影部分表示的集合为()A.2x x B.2x x C.12xxD.1x x 2.已知复数(2i)(1 3i)()zaaR的实部与虚部的
2、和为 12,则|5|z()A.3B.4C.5D.63.已知ABC所在平面内的一点P满足BCPCPBPA,则点P必在()A.ABC的外面B.ABC的内部C.边AB上D.边AC上4.已知512myxyx的展开式中24x y的系数为 40,则m的值为()A.-2B.-1C.1D.25.如图,圆内接四边形ABCD中,,45,2,2 2,6DAABDABBCAD现将该四边形沿AB旋转一周,则旋转形成的几何体的体积为()A.30B.40C.1843D.20036.设0.1a,sin0.1b,1.1ln1.1c,则,a b c的大小关系正确的是()A.bcaB.bacC.abcD.bca7.已知,02,2s
3、in21cos2,则1tan21tan2()A.52B.25 C.25D.258.定义在R上的偶函数 f x满足20fxf x,当01x时,1exf xx,则()A.0.313e2023lne10fffB.0.313e2023eln10fff数学试卷(共 4 页)第页学科网(北京)股份有限公司2C.0.313eeln202310fffD.0.313elne202310fff二、选择题:本题共二、选择题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得 5 分,部分选对的得分
4、,部分选对的得 2 分,有选错的得分,有选错的得 0 分分9.对于变量 x 和变量 y,通过随机抽样获得 10 个样本数据,1,2,3,10iix yi,变量 x 和变量 y 具有较强的线性相关并利用最小二乘法获得回归方程为2 yxa,且样本中心点为6,9.3,则下列说法正确的是()A.变量 x 和变量 y 呈正相关B.变量 x 和变量 y 的相关系数0r C.21.3a D.样本数据5,12比7 5,的残差绝对值大10.已知函数()sin()0,0,2f xAxA的部分图象如图(1)所示,函数1111()cos0,0,|g xAxA的部分图象如图(2)所示,下列说法正确的是()A.函数()y
5、f x的周期为2B.函数()yf x的图象关于直线1912x对称C.函数()1yf x在区间0,2 上有 4 个零点D.将函数()yf x的图像向左平移23可使其图像与()yg x图像重合11.如图,在直三棱柱111ABCABC-中,ABC是直角三角形,且1ACBC,13AA,E为1BC的中点,点F是棱11AC上的动点,点P是线段1AB上的动点,则下列结论正确的是()A.异面直线AB与1BC所成角的余弦值是24B.三棱柱111ABCABC-的外接球的球面积是20C.当点P是线段1AB的中点时,三棱锥1PBCF的体积是312D.PEPF的最小值是75数学试卷(共 4 页)第页学科网(北京)股份有
6、限公司312.设函数0,ln0,2)(2xxxxxxf,则下列命题中正确的是()A.若方程()f xa有四个不同的实根1x,2x,3x,4x,则1234xxxx的取值范围是(0,1)B.若方程()f xa有四个不同的实根1x,2x,3x,4x,则1234xxxx的取值范围是(0,)C.若方程()f xax有四个不同的实根,则a的取值范围是10,eD.方程21()()()10fxaf xa 的不同实根的个数只能是 1,2,3,6三、填空题:本题共三、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分13.已知,a b 为单位向量,3ab,则,a b 的夹角为_14.某校安
7、排 5 名同学去 A,B,C,D 四个爱国主义教育基地学习,每人去一个基地,每个基地至少安排一人,则甲同学被安排到 A 基地的排法总数为_.15.已知事件 A 和 B 是互斥事件,16P C,118P BC,89PAB C,则P A C _16.已知0,x,11 lnxx exx,则实数的取值范围为_四、解答题:本题共四、解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(10 分)在ABC中,内角,A B C的对边分别为,a b c.已知cos2cos2cosACcaBb(1)求sinsinCA的值(2)若1co
8、s,24Bb,求ABC的面积.18.(12 分)已知函数 2e21xfxxax,其中Ra,若 f x的图象在点 0,0f处的切线方程为210 xby(1)求函数 f x的解析式;(2)求函数 f x在区间3,1上的最值19.(12 分)设等差数列 na的前 n 项和为nS,已知535S,且4a是1a与13a的等比中项,数列 nb的前 n 项和245nTnn(1)求数列 nnab、的通项公式;(2)若14a,对任意*nN总有1122111444nnSbSbSb恒成立,求实数的最小值数学试卷(共 4 页)第页学科网(北京)股份有限公司420.(12 分)如图,在三棱柱111ABCABC-中,1AA
9、 平面ABC,D为线段AB的中点,4CB,4 3AB,118AC(1)证明:1CBAD;(2)若三棱锥1AADC的体积为16 33,求平面1DAC与平面1ACB夹角的余弦值21.(12 分)移动支付(支付宝及微信支付)已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式,为调查市民使用移动支付的年龄结构,随机对100位市民做问卷调查得到22列联表如下:35 岁以下(含 35 岁)35 岁以上合计使用移动支付402060不使用移动支付103040合计5050100(1)按年龄35岁以下(含 35 岁)是否使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查,从这10人随机中选出3人颁发参与奖励,
10、设使用移动支付的人数为X,求X的分布列及期望.(2)用这100位市民使用移动支付的频率代替全市市民使用移动支付的概率,从全市随机中选出10人,则使用移动支付的人数最有可能为多少?22.(12 分)已知函数21()2ln2f xxxax(a 为常数)(1)若函数()f x在定义域上单调递增,求 a 的取值范围;(2)若()f x存在两个极值点1212,x xxx,且211xx,求 12f xf x的取值范围数学答案(共 4 页)第页1东风高中、天门中学、仙桃中学 2023 届高三 12 月考试数学试题答案BCCBDBACBCBCDACDAD326095,1e17.(1)由正弦定理得2 sin,2
11、 sin,2 sinaRA bRb cRC,所以coscos22sinsincossinACcaCABbB即sincos2sincos2sincossincosBABCCBAB即有sin2sinABBC,即sin2sinCA所以sin2sinCA.(5 分)(2)由(1)知sin2sincCaA,即2ca,又因为2b,所以由余弦定理得:2222cosbcaacB,即222124224aaaa,解得1a,所以2c,又因为1cos4B,所以15sin4B,故ABC的面积为11sin1 222acB 154=154.(10 分)18.(1)依题意,(0)1f,切点(0,1)在切线210 xby 上,
12、则1b,()fx22e21e4e241xxxxaxxaxaxa,而 f x的图象在点 0,0f处的切线斜率为2,(0)f 12a ,解得得1a ,所以函数 f x的解析式为 2e21xf xxx.(6 分)(2)由(1)知,()fx2e232e221xxxxxx,由 0fx得2x 或12x,当 3,1x 时,32 x或112x,有()0fx,122x,有 0fx,因此函数 f x在1 3,2,12上单调递增,在12,2上单调递减,又3203ef,292ef,121e2f,(1)0f,所以 f x在3,1上的最大值为29e,最小值为12e.(12 分)数学答案(共 4 页)第页219.(1)设等
13、差数列 na的公差为 d,由535S 得151035ad,因为4a是1a与13a的等比中项,所以2111312adaad化简得172ad且2123a dd,解方程组得17,0ad或13,2ad故 na的通项公式为7na 或21nan(其中Nn)(3 分)因为245nTnn,所以214(1)5(1)nTnn,(2)n,所以221454(1)5(1)81nnnbTTnnnnn,因为119bT,满足上式,所以81Nnbnn;.(6 分)(2)因为14a,所以21nan,所以(2)nSn n,所以221114488141nnSbnnnn=)121121(21nn所以222112211111144421
14、41(2)1nnSbSbSbn1111 33 5(21)(21)nn111111123352121nn111221n,易见111221n随 n 的增大而增大,从而11112212n恒成立,所以12,故的最小值为12.(12 分)20.(1)证明:因为1AA 平面ABC,CB 平面ABC,所以1AABC,在三棱柱111ABCABC-中,四边形11AAC C为平行四边形,则118ACAC,因为4 3AB,4CB,所以222ABCBAC,所以CBAB,又因为1ABAAA,1AA 平面11ABB A,AB平面11ABB A,所以CB 平面11ABB A,又1AD 平面11ABB A,所以1CBAD.(
15、5 分)(2)解:由(1)得,18 32ABCSAB BC,D为AB的中点,则14 32ACDABCSS,因为1AA 平面ABC,11111116 34 3333A ACDAACDACDVVSAAAA,所以14AA,因为1BB 平面ABC,BCAB,以点B为坐标原点,BA、1BB、BC所在直线分别为x、y、z轴建数学答案(共 4 页)第页3立如下图所示的空间直角坐标系,则0,0,4C、2 3,0,0D、14 3,4,0A、10,4,0B,设平面1DAC的法向量为111,mx y z,12 3,4,0DA ,2 3,0,4DC ,则111112 3402 340m DAxym DCxz ,取12
16、x,可得2,3,3m,设平面1ACB的法向量为222,xny z,14 3,4,0BA,0,0,4BC ,则12224 34040n BAxyn BCz,取21x,可得1,3,0n,所以,510cos,4102m nm nmn ,所以平面1DAC与平面1ACB夹角的余弦值为104(12 分)21(1)根据分层抽样知使用移动支付的人数为8人,不使用移动支付的有2人,则X的可能值为1,2,3,12823101115C CP XC,21823107215C CP XC,30823107315C CP XC,分布列为X123P11571571517712()1231515155E X .(6 分)(2
17、)从全市随机选出10人,设使用移动支付的人数为Y,则310,5YB,且100,5253)(1010kNkCkYPkkk由10111110101019110103232555532325555kkkkkkkkkkkkCCCC ,解得283355k,因为*kN,所以6k 数学答案(共 4 页)第页4故使用移动支付的人数最有可能为 6.(12 分)22.(1)21()2ln(0)2f xxxax x,2()fxxax,()f x是定义域上的单调递增函数,()0fx在定义域上恒成立,即20 xax 在(0),上恒成立即2axx,令2()0g xx xx,则2()2 2g xxx,当且仅当2x 等号成立
18、实数a的取值范围为(,2 2.(5 分)(2)由(1)知222()0 xaxfxxaxxx,根据题意由()f x有两个极值点,即方程220 xax有两个正根1x,2x所以122xx,12xxa,不妨设1202xx,则()f x在1(x,2)x上是减函数,12()()f xf x,12|()()|f xf x12()()f xf x22111222112ln2ln22xxaxxxax22112121221()()()2ln2xxxxxxxx2212121()2ln2xxxx222222122ln2ln22xxx,令22tx,则2t,又21222|1xxxx,即22220 xx,解得222x,2224tx 设12()2ln2ln2(24)2h ttttt,则22(2)()02th tt,()h t在(2,4上单调递增,(2)0h,3(4)2ln22h,()h t 302ln22,即12|()()|f xf x302ln22,所以12|()()|f xf x的取值范围为302ln22,.(12 分)