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1、青海师范大学附属实验中学青海师范大学附属实验中学 2022-2023 学年度第一学期教学质量检测学年度第一学期教学质量检测高三理科数学高三理科数学一、单选题一、单选题：本题本题 1212 小题，共小题，共 6060 分。分。1复数 z 满足1i32iz（i 为虚数单位），则复数 z 在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知定义在R上的偶函数()f x，在(,0上为减函数，且(3)0f，则不等式(3)()0 xf x的解集是（）A(,3)(3,)B(,3)(0,3)C(3,0)(0,3)D(,3)(3,3)3已知集合101A ，集合2 0 2B ，则AB（）A 0
2、B21012，C0D2 2，4“0a，0b”是“0ab”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5等比数列an中，a1a310，a2a45，则数列an的通项公式为（）A42nnaB42nnaC32nnaD32nna6已知函数 3=sin3cos,44fxxxxR，则 f x A最大值为 2，且图象关于点,012对称B周期为，且图象关于点,012对称C最大值为 2，且图象关于512x对称D周期为2，且图象关于点,012对称7 设 na是公差不为 0 的等差数列，12a 且136,a a a成等比数列，则 na的前n项和nS=A2744nnB2533nnC2324nn
3、D2nn8在ABC中，1,2A，2,4B，0,6C，D为BC中点，则AD的坐标为A0,3B0,3C3,0D3,09为更好实施乡村振兴战略，加强村民对本村事务的参与和监督，根据村委会组织法，某乡镇准备在各村推选村民代表.规定各村每 15 户推选 1 人，当全村户数除以 15所得的余数大于 10 时再增加 1 人.那么，各村可推选的人数 y 与该村户数 x 之间的函数关系用取整函数 yx(x表示不大于 x 的最大整数)可以表示为（）A1115xyB415xyC1015xyD515xy10数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学
4、素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数字通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选 2 门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）A36 种B54 种C72 种D90 种11椭圆 C：222210 xyabab左右焦点分别为1F，2F，P 为 C 上除左右端点外一点，若121cos2PFF，211cos3PF F，则椭圆 C 的离心率为（）A436B52 37C73 35D72 6512 已知数列 na的首项1aa，且04a，14464nnnnnaaaaa，nS是此数列的前n项和，则以下结论正确的是A不存在a和n使得201
5、5nS B不存在a和n使得2016nS C不存在a和n使得2017nS D不存在a和n使得2018nS 二、填空题二、填空题：本题本题 5 5 小题，共小题，共 2020 分。分。13 已知1(34)(2)izxyyx，2(2)(3)izxyxy，,x y为实数，若1253izz，则12zz_14在ABC中，若cos2cos2cosACcaBb，则sinsinCA_15已知函数 tanf xx的导函数为 fx，者(0,)2x，满足 4fxfx的实数x的最大值为，则cos3_.16 已知曲线 y()f x存在两条互相平行的切线，请写出一个满足条件的函数：_.三、解答题三、解答题：本题本题 6 6
6、 小题，共小题，共 7070 分。分。17某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1，2，3，4，5 的学生进行投篮训练，每人投10 次，投中的次数统计如下表：学生1 号2 号3 号4 号5 号甲班65798乙班48977（1）从统计数据看，甲、乙两个班哪个班成绩更稳定（用数字特征说明）；（2）在本次训练中，从两班中分别任选一个同学，比较两人的投中次数，求甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率18经过抛物线24yx的焦点的直线 l 交该抛物线于 M，N 两点，求MN的取值范围19已知等差数列an满足 a1+a2=10,a5=a3+4.(1)求an的通项公式;(2)记an的前 n 项和为 Sn
7、若 Sk+12ak+a2,求正整数 k 的值20如图，1111ABCDABC D是正四棱柱.(1)求证：BD平面11ACC A；(2)若二面角1CBDC的大小为60，求异面直线1BC与AC所成角的大小.21已知奇函数 fx的定义域为,00,，且当0 x 时，2logf xxx.（1）求 fx的解析式；（2）已知 2xg xx，存在1x，2x使得 120f xg x，试判断1x，2x的大小关系并证明.22已知圆 C 的圆心位于 x 轴的正半轴上，该圆与直线3470 xy相切，且被 y 轴截得的弦长为2 3，圆 C 的面积小于 13(1)求圆 C 的标准方程(2)设过点 M（0，3）的直线 l 与
8、圆 C 交于不同的两点 A，B，以 OA，OB 为邻边作平行四边形 OADB是否存在这样的直线 l，使得直线 OD 与 MC 恰好平行？如果存在，求出 l 的方程；如果不存在，请说明理由23已知函数 1|2fxxxa，0a（1）若1a 时，求不等式 1f x 的解集；（2）若 fx的图象与x轴围成的三角形面积小于 6，求a的取值范围参考答案参考答案1D判断复数在复平面上的象限，只要把复数表示成标准的复数形式即可.由(1 i)32i z，得232i(32i)(1i)33i2i2i51i1i(1i)(1i)222z，所以复数 z 在复平面内对应的点为51,22，位于第四象限，故选:D2D根据函数的
9、性质，画出函数的图象，数形结合求出解集由题意，画出()f x的图象如图，(3)()0 xf x等价于30()0 xf x，或30()0 xf x，由图可知，不等式的解集为(,3)(3,3)故选：D3A由集合的交集运算可得答案.由集合101A ，集合2 0 2B ，可得 0AB故选：A4A利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.若0,0ab，则必有0ab.若0ab，则0,0ab或0,0ab.所以0,0ab是0ab 的充分不必要条件.故选:A.本题主要考查充分条件和必要条件的定义和判断.5A设等比数列an的公比为q，由2413aaaa可求出公比，再将1310aa，可求出1a，从而得出答案.设等比
10、数列an的公比为q，由1324131351102q aaaaqaaaa13111151044aaaaa，解得18a 所以11411822nnnnaa q 故选：A6A试题分析：3sin3cossin3cos4444f xxxxxsin3cos44xx132sincos2424xx2sin2sin4312xx，12xRxR，1sin112x，则 fx的最大值为2；1，周期2T；当12xkkZ时，fx图象关于某一点对称，当0k，求出12x，即 fx图象关于,012对称，故选 A考点：三角函数sinyAx的性质7A设公差为 d 则解得，故选 A.8A根据向量加法的平行四边形法则可得2ABACAD，再
11、将坐标代入，即可得答案；在ABC中，(1,2),(1,4)ABAC ，2ABACAD(1,2)(1,4)(0,3)2，故选：A.本题考查向量加法的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.9B用x除以 15 所得余数分别为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14，其中当余数为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10时结果就是商，但当余数为11,12,13,14时，函数值是商加 1，因此可利用4x后除以 15 取整得解：根据规定 15 推选一名代表，当各班人数除以 15 的余数大于 10 时再增加一名代表，即余数分别为 11，12，13，14 时可以增选一名代表，也
12、就是 x 要进一位，所以最小应该加 4，因此利用取整函数可表示为415xy.故选：B.本题考查函数的应用，解题关键是怎样确定人数除以 15 的余数大于 10 时再增加一名代表，即余数分别为 11，12，13，14 时可以增选一名代表，函数值要在商基础上加 110B根据学习时间是两个学年或者三个学年进行分类讨论，由此计算出不同的选修方式.三个学年学生选科组合有2,2,0，2,1,1，当2,2,0时，三个学年选两个学年选完有23C，再为每个学年选两门课22242222C CAA，故选修方式为222242322218C CCAA；当2,1,1时，三个学年学完，选课方式有112321432236C C
13、CAA；总共有183654种.故选：B11D根据图形在12PFF中，利用余弦定理解出123212PFPFc，再由椭圆的定义式122PFPFa，整理出12,PF PF关于,a c的式子，最后代入已知三角函数值中，得到关于,a c得二次式，从而可求椭圆离心率.解：如图在12PFF中，22222211221212112141cos242PFFFPFPFcPFPFFPFFFcPF，即22212142PFcPFcPF22222221212122112241cos243PFFFPFPFcPFPF FPFFFcPF，即222212443PFcPFcPF且122PFPFa，故+得：2124823ccPFcPF
14、，即123212PFPFc.所以12112221243212612PFPFaPFcaPFPFcPFac，代入到22222211221212112141cos242PFFFPFPFcPFPFFPFFFcPF中，整理得：2251450caca，故两边除以2a得：251450ee解得：72 65e或72 65e，又01e，所以72 65e.即椭圆 C 的离心率为72 65.故选：D.12A当24a时，12,4aa，262,4aa，32,4aa，可知3,2,33,21,nn nk kNSna nkkN，则当672n 时，2016nS；当673,2na时，2018nS；当02a时，10,2aa，264,
15、6aa，320,2aa，444,6aa，50,2aa，可知3,4,33,41,3,42,31,43,nn nk kNna nkkNSn nkkNna nkkN ，则当673,1na时，2017nS；所以2015nS 取不到故选 A点睛：本题考查数列的综合应用本题中的数列情况较为复杂，则学生可以通过列举来寻找规律本题中的26aa，则想到分24a和02a两类进行讨论，再进行列举，就可以发现数列为循环数列，进一步进行求和判断即可132根据复数的加减运算结合1253izz可得x和y的值，再计算12zz，由模长公式即可求解.因为1(34)(2)izxyyx，2(2)(3)izxyxy，所以 12(34)
16、(2)i(2)(3)izzxyyxxyxy(34)(2)(2)(3)ixyxyyxxy(55)(34)i53ixyxy，所以555343xyxy，解得1,0 xy，所以132iz，22zi ，所以121izz，所以122zz故答案为：2.142先用正弦定理边化角，去分母，用两角和与差的正弦公式化简可得.由正弦定理，cos2cos22sinsincossinACcaCABbB，去分母，得sincos2sincos2sincossincosBABCCBAB即sincossincos2sincos2sincosBAABBCCB，得sin2sinABBC，在ABC中，有sin 2sin CA，即sin
17、2sinCA，所以有sin2sinCA.故答案为：21522先对函数求导，进而建立不等式，然后通分化简，结合二倍角公式与三角函数的图象和性质求得x的最大值为512，即可求解.由()tanf xx可得21()cosfxx，由()4()fxf x可得214tancosxx，即22114sincos4tan0coscosxxxxx，故4sincos1xx，故1sin22x，由0,2x可得2(0,)x，故5266x，即51212x，故x的最大值为512，故52cos3cos42.故答案为：22.16 3f xx（答案不唯一）直接根据导数的几何意义即可得结果.两条切线互相平行应先满足在切点处的导数值相等
18、，例如 3f xx，23fxx，11f，11f ，此时 13f，13f ，函数在1,1处的切线方程为：32yx；函数在1,1 处的切线方程为：32yx；合乎题意，故答案为：3f xx（答案不唯一）17（1）甲更稳定；（2）25（1）计算平均数，甲乙两个班的平均值相等，再计算方差比较即可；（2）利用古典概型的概率求解.解：（1）两个班数据的平均值都为7，甲班的方差2222221675777978725s（）（）（）（）（），乙班的方差222222247879777771455s（）（）（）（）（），2212ss，甲班的方差较小，甲班的成绩比较稳定；（2）甲班1到5号记作a，b，c，d，e，乙班1
19、到5号记作1，2，3，4，5，从两班中分别任选一个同学，得到的基本样本空间由5 525 个基本事件组成，将“甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数”记作A，则1,1,1,1,2,4,5,1,4,5Aa b c d ddde ee，由10个基本事件组成，甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率为102255184,).直线斜率不存在时，可得MN的长度，直线斜率存在时，设直线方程与抛物线联立，根据焦点弦公式求出弦长的表达式，利用函数的性质即求.由题可知抛物线的焦点坐标为1,0，当直线斜率不存在时，令1x 得：2y ，所以4MN，当直线斜率存在时，设直线方程为1yk x，0k，联立214yk xyx
20、得：2222240k xkxk，设1122,M x yN xy，则212222442kxxkk，1222442244xxABpkk，综上，MN的取值范围为4,).19(1)an=2n+2;(2)k=1.试题分析：(1)根据等差数列的性质可得a5a3d253，由此可求出14a，则 na的通项公式可求;(2)由等差数列的前n项和公式可得2123,2nkkSnn Saa,即221312 22660,kkkkk整理解不等式，注意k是正整数试题解析：(1)d=a5a353=2a1+a2=10,即 a1+a1+d=10所以 a1=4,an=4+2(n-1)=2n+2.(2)Sn=4n+n n122=n2+
21、3n,Sk+12ak+a2,即(k+1)2+3(k+1)2(2k+2)+6k2+k-60,(k-2)(k+3)0-3k 0 x时120 xx，证明见解析.(1)令0 x 得0 x，利用0 x 时 2logf xxx和奇函数的性质即可.(2)结合函数零点存在性定理和函数的奇偶性，计算即可得出结果.(1)令0 x，则0 x，因为 fx为奇函数，所以 22loglogf xfxxxxx ，所以 22log0log0 xxxf xxxx.(2)当0 x 时，2logf xxx，易知 fx在0,上单调递增，因为111()10(1)10222ff ，所以 fx在0,上存在唯一零点，因为 fx为奇函数，所以
22、 fx在(,0)上存在唯一零点，所以 fx有两个零点，易知 2xg xx在R上单调递增，因为11211()20,(1)1 2022gf ，所以 2xg xx在R上存在唯一零点2x，且2102x，因为22220 xg xx，所以222xx，即222logxx，即222log0 xx，所以2x也是 fx的一个零点，所以当10 x 时，12xx；当1 0 x时120 xx.22(1)2214xy(2)不存在，理由见解析（1）利用待定系数法，根据已知条件建立方程组求解.（2）假设存在，把直线方程与圆的方程联立、消元、韦达定理，根据条件进行求解、判断.（1）设圆 C 的方程为2220,0 xayrar，
23、由题意，知22237343arar，解得12ar或138198ar，又圆 C 的面积213Sr，1a，2r，圆 C 的标准方程为2214xy（2）当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x0，不满足题意当直线 l 的斜率存在时，假设存在满足题意的直线 l，设直线 l 的方程为3ykx，11,A x y，22,B xy，由22314ykxxy，得2216260kxkx，直线 l 与圆 C 相交于不同的两点，2226224 11224200kkkk，解得2 613k 或2 613k 122621kxxk，121222661kyyk xxk，线段 OD 过线段 AB 的中点1212,22xx
24、yy，且线段 AB 与 OD 互相平分，点 D 的坐标为1212,xxyy，即1212263261 3ODyykkkxxkk，又 MC 的斜率为3030 1，331 3kk，解得34k 由于32 62 6,11,433k，故不存在这样的直线 l23（1）2|23xx （2）0,2（1）利用零点分段法分类讨论的数学思想，求得不等式 1f x 的解集.（2）先用零点分段法去绝对值，将 fx转化为分段函数的形式，求得 fx的图象与x轴三个交点的坐标，由此求得所围成三角形面积的表达式，根据面积小于6列不等式，解不等式求得a的取值范围.解：（1）当1a 时，1f x，化为：|1|2|1|10 xx，当1x 时，式化为：20 x，解得：21x-，当11x 时，式化为：320 x，解得213x ，当1x时，式化为：40 x，无解，1f x 的解集是2|23xx ；（2）由题设可得：21,()31 2,11 2,1xaxaf xxaaxxax 函数 fx的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为：,(20)1Aa-，,()1Ba a-，12,03aC，21442(1)(1)233ABCaSaa，由题设可得：22(1)63a，解得：02a，故a的范围是0,2本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查三角形的面积公式和一元二次不等式的的解法，属于中档题.