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1、第三节第三节 二阶系统时域分析二阶系统时域分析第三章第三章 时域分析法时域分析法第三节 二阶系统的时域分析项 目内 容教 学 目 的 掌握二阶系统的数学模型和时域响应的特点。能够计算欠阻尼时域性能指标。教 学 重 点 欠阻尼时域性能指标的计算。阻尼系数和自然频率对系统输出的影响。教 学 难 点及 其 处 理 阻尼系数和自然频率对系统输出的影响。MATLAB作图、对比、总结。定义：以以二二阶阶微微分分方方程程作作为为运运动动方方程程的的控控制系统，称为二阶系统。制系统，称为二阶系统。重要性：二二阶阶系系统统是是最最常常见见的的一一种种系系统统，很很多多高高阶阶系系统统可可简简化化为为二二阶阶系系
2、统统，在在控控制制理理论论中中更更具具有有代代表表性性；它它的的动动态态性性能能指指标标和和系系统统参参数数之之间间的的关关系系非非常常简简明明，分分析析和和设计比较容易。设计比较容易。开环传函闭环传函:-结构图一、二阶系统的数学模型微分方程:标准标准形式形式：阻尼系数：阻尼系数：自然频率：自然频率(无阻尼振荡频率无阻尼振荡频率)开环传函模拟电路开环传函模拟电路+R1R1R2R3C1积分积分环节环节比例比例环节环节惯性惯性环节环节R(s)+R4R5C2C(s)机械力学系统的传递函数机械力学系统的传递函数两级滤波电路网络的传递函数两级滤波电路网络的传递函数举例举例比如：比如：RLC振荡电路的微分
3、模型为振荡电路的微分模型为 一般化一般化其中其中-二阶系统时间常数二阶系统时间常数/秒秒-二阶系统阻尼比或相对阻尼系数二阶系统阻尼比或相对阻尼系数/(无量纲无量纲)一般式拉氏变换一般式拉氏变换二阶系统标准式二阶系统标准式二.二阶系统的闭环极点与单位阶跃响应1.1.二阶系统的闭环极点二阶系统的闭环极点 由闭环特征式：由闭环特征式：得：得：系统的闭环特征方程系统的闭环特征方程有：有：（S1，S2二阶系统的闭环极点）二阶系统的闭环极点）对应于对应于 的不同取值，可以得到的不同取值，可以得到 s1，s2 在在s平面上不同的分布。平面上不同的分布。二二阶阶系系统统的的时时间间响响应应取取决决于于 和和
4、两两个个参参数数，其其中中阻阻尼尼系系数数 决决定定了了系系统统的的阻阻尼尼程程度度，决决定定了了系系统统的的响响应应速速度度。可可以以根根据据 和和 的的变变化化情情况况来研究二阶系统的时间响应。来研究二阶系统的时间响应。二阶系统的闭环极点分布特征根：2 2 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应 当当r(t)=1 时时 或或R(s)=1/s 时，时，有：有：故故其中其中 而而s1，s2是是和和n的函数，显然的函数，显然c(t)只与只与，n有关，即有关，即，n决决定着定着c(t)的形式。分别讨论如下：的形式。分别讨论如下：1时，（过阻尼）时，（过阻尼）s1，s2 为一对不等的负实数根。
5、为一对不等的负实数根。s1、s20j0jt =1时，（临界阻尼）时，（临界阻尼）s1，s2 为一对相等的负实数根。为一对相等的负实数根。0 1时，（欠阻尼）时，（欠阻尼）s1，s2 为一对具有负实部的共轭复根。为一对具有负实部的共轭复根。当当=0时，（无阻尼，零阻尼）时，（无阻尼，零阻尼）s1，s2 为一对幅值相等的虚根。为一对幅值相等的虚根。当当 0时，（负阻尼）时，（负阻尼）s1，s2 为一对不等的正实部根。为一对不等的正实部根。小结：小结：i）二阶系统正常工作的基本条件是二阶系统正常工作的基本条件是 0；而；而0系统不稳定；系统不稳定；ii）当当1时，其阶跃响应曲线是单调上升的（即非周期
6、性的）；时，其阶跃响应曲线是单调上升的（即非周期性的）；iii）当当01时，其阶跃响应曲线是振荡衰减的（即具周期性）。时，其阶跃响应曲线是振荡衰减的（即具周期性）。3.欠阻尼即欠阻尼即01时二阶系统的单位阶跃响应动态性能分析时二阶系统的单位阶跃响应动态性能分析设设r(t)=1，即，即则二阶系统在时的单位阶跃响应式为：则二阶系统在时的单位阶跃响应式为：其中其中 cos=即即=arc cos (称为阻尼角称为阻尼角)分析：分析：由此可见，它为一振荡衰减过程（指数衰减），振荡频率由此可见，它为一振荡衰减过程（指数衰减），振荡频率为为d。图示如下：。图示如下：e(t)10tc(t)10t2）e(t)及
7、及c(t)的衰减速度取决于的衰减速度取决于 n的大小；的大小；3）t 时，时，e()=0 则则c()=1；4）0,N0 即存在超调和振荡；即存在超调和振荡；即即s1，s2的实部。亦即闭环极点到虚轴的距离；的实部。亦即闭环极点到虚轴的距离；d 即即s1，s2的虚部。亦即闭环极点到实轴的距离；的虚部。亦即闭环极点到实轴的距离；n（自然振荡频率自然振荡频率）：）：闭环极点到原点的距离闭环极点到原点的距离;=cos（为阻尼角为阻尼角）：）：n 与负实轴夹角的余弦与负实轴夹角的余弦;5）、d、n、及及、的关系图示如下的关系图示如下:峰值时间峰值时间 tp：指响应从：指响应从0到达第一次峰值（最大值）时到
8、达第一次峰值（最大值）时 所所 需要的时需要的时间；间；由求由求c(t)极值的方法，即由极值的方法，即由 c(t)=0 求得：求得：jdnS1S20 6)性能指标分析性能指标分析、d、n、及及、的关系图的关系图上上升升时时间间 tr：指指响响应应从从0到到第第一一次次达达到到终终值（稳态值）时所需要的时间；值（稳态值）时所需要的时间；所以 调节时间调节时间 ts：即过渡过程时间。指响应到达并保持在终值：即过渡过程时间。指响应到达并保持在终值5%（=0.05）或）或2%（=0.02）内所需要的最短时间。）内所需要的最短时间。在工程上，一般采用下列公式进行估算：在工程上，一般采用下列公式进行估算：
9、延迟时间延迟时间 td：指响应从：指响应从0到第一次达到终值（稳态值）的一半时所需到第一次达到终值（稳态值）的一半时所需要的时间；要的时间；当当 0.7时：时：当当0 0.7时：时：在工程上，一般采用下列公式进行估算：在工程上，一般采用下列公式进行估算：具体求法参见教材具体求法参见教材P82。超调量超调量 ：指阶跃响应的最大值超出其稳态值的部分。：指阶跃响应的最大值超出其稳态值的部分。即即 =c(tp)1 100%结论分析：结论分析：根据定义，并因为根据定义，并因为c()=1，故有，故有将将代入后简化得：代入后简化得：a)tr、tp 、ts 、td 与与n 的关系（反比关系）；的关系（反比关系
10、）；b)tp 、td与与的关系（正比关系）；的关系（正比关系）；ts与与的关系（反比关系）的关系（反比关系）.c)、与与的的关关系系（反反比比关关系系）；小小时时，系系统统的的平平稳稳性差；性差；大时，系统的平稳性好。大时，系统的平稳性好。三 欠阻尼情况下，二阶系统的单位脉冲、斜坡及加速度响应的动态性能分析不要求。四 其他几种阻尼情况下，各种典型信号响应的动态性能分析不要求。实实际际设设计计中中，一一般般取取=0.40.8。其其中中以以=0.7时时为为最佳阻尼。最佳阻尼。六二阶系统性能的改善 1)改善的目的改善的目的：获得满意的动态性能与稳态性能，更好的控：获得满意的动态性能与稳态性能，更好的
11、控制效果。制效果。2)改善的办法改善的办法：（：（P8892）比比例例+微微分分（引引入入零零点点）：在在前前向向通通路路中中串串一一个个PD控控制制环节；环节；采用测速反馈控制。采用测速反馈控制。3)PD控制与测速反馈控制两种方案比较控制与测速反馈控制两种方案比较（见下页（见下页附表附表）性能指标性能指标 方方 案案 PD控制控制 测速反馈控制测速反馈控制 阻尼比阻尼比 增增 大大 自然频率自然频率 不不 影影 响响 开环增益开环增益 不影响不影响 降降 低低 稳态误差稳态误差 不影响不影响 影影 响响 超调量超调量 影响程度不同（大）影响程度不同（大）（小）（小）性能性能都能改善，但改善程
12、度不同都能改善，但改善程度不同 适用场合适用场合由由于于其其放放大大作作用用，在在输输入入端端存存在在严严重重噪噪声声时，不宜采用时，不宜采用对对噪噪声声有有滤滤波波作作用用，使用广泛使用广泛附表附表：PD控制与测速反馈控制两种方案比较控制与测速反馈控制两种方案比较 时，系统输出无超调，系统的响应速度随时，系统输出无超调，系统的响应速度随 的的增大而变慢，随增大而变慢，随 的增大而变快。的增大而变快。时，系统输出不稳定。时，系统输出不稳定。越大，超调量越小，响应速度越慢；越大，超调量越小，响应速度越慢；越大，响应速度越快。越大，响应速度越快。时，系统输出有超调，且时，系统输出有超调，且 决定了超调量决定了超调量的大小和响应的速度，的大小和响应的速度，决定了系统的响应速度。决定了系统的响应速度。小结：二阶系统中 和 的作用小小结结欠欠阻阻尼尼二二阶阶系系统统动动态态性性能能指指标标