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1、1第第1212课时课时 二次函数二次函数毕节中考考情及预测近五年中考考情20192019年中考预测 年份考查点题型题号分值 二次函数的图象与平移选择题73 二次函数图象与系数的关 系选择题153二次函数的应用解答题25(2)62018二次函数的综合解答题27162017二次函数的综合解答题2716 二次函数图象与系数的关 系,选择题143 2016 二次函数的综合解答题2716 二次函数图象与系数的关 系选择题143二次函数的应用解答题25(2)62015二次函数的综合解答题2716 二次函数的性质选择题113 二次函数的应用解答题25122014 二次函数的综合解答题2716预计将以压轴题的
2、形式考查 二次函数，也有可能以选择 题的形式考查二次函数的性 质.毕节中考真题试做二次函数的图象与性质1.1.（20182018毕节中考）已知二次函数yax2bxc（a0）的图象如图所示，下列结论：abc0；2ab0；b24ac0；abc0，其中正确的个数是（ D ）A.1 B.2 C.3 D.4二次函数的图象与平移 2.2.（20182018毕节中考）将抛物线yx2向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，平移后所得新抛物线的表达式为（ A ）A.y（x2）25 B.y（x2）25C.y（x2）25 D.y（x2）25二次函数的应用 3.3.（20142014毕节中考）某工厂生产的某种产
3、品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元.每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件.（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1x10），求出y关于x的函数关系式；（2）若生产第x档次的产品一天的总利润为1 120元，求该产品的质量档次.解：（1）第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天生产2量减少5件，第x档次，提高的档次是（x1）档.y62（x1）955（x1），即y10x2180x400（其中x是正整数，且1x10）；（2）由题意，得10x2180x4001 120，即x
4、218x720，解得x16，x212（舍去）.答：该产品的质量档次为第6档.二次函数的综合 4.4.（20182018毕节中考）如图，以D为顶点的抛物线yx2bxc交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为yx3.（1）求抛物线的表达式；（2）在直线BC上有一点P，使POPA的值最小，求点P的坐标；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）点B，C在直线yx3上，B（3，0），C（0，3）.又点B，C在抛物线yx2bxc上，93bc0，c3，b2，c3.抛物线的表达式为yx22x3；（2）作点A
5、关于直线BC的对称点A，连接AO，交BC于点P，连接AA，AB，则BC垂直平分AA，POPA的最小值为AO.抛物线的表达式为yx22x3，当y0时，x22x30，解得x11，x23.点A（1，0）.OBOC3，OA4.又BOC90，OBC45，ABAB4，ABCABC45，ABA90，ABAB，A（3，4）.直线AO的表达式为y x.4 3点P是直线AO和BC的交点，3解得y43x， yx3，)x97，y127.)点P；(9 7，12 7)（3）在x轴上存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与BCD相似.点D是抛物线yx22x3的顶点，D（1，4）.又A（1，0），B（3，0），C（0，3）
6、，AC，BC3，BD2，CD，10252CD2BC2BD2.BCD为直角三角形，且BCD90.，BCDCOA90，OA CDOC BCAC BD22COABCD.当点Q与原点重合时，CQABCD，此时Q（0，0）；过点C作QCAC，交x轴于点Q.由CAOQAC，AOCACQ90，得COAQCA，则COAQCABCD，则，即AQ10，则OQ9，此时Q（9，0）.AC AQAO ACAC2 AO（ 10）21综上所述，在x轴上存在点Q（0，0）或（9，0），使得以A，C，Q为顶点的三角形与BCD相似.毕节中考考点梳理二次函数的概念及解析式 1.1.二次函数的定义一般地，若两个变量x，y之间的对应关
7、系可以表示成yax2bxc（a，b，c是常数，a0）的形式，则称y是x的二次函数，其中，a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项.2.2.三种表示方法（1）一般式：yax2bxc（a0）；（2）顶点式：ya（xh）2k（a0），其中二次函数的顶点坐标是（h，k）；（3）两点式：ya（xx1）（xx2）（a0），其中x1，x2为抛物线与x轴交点的横坐标.3.3.三种表达式之间的关系顶点式一般式两点式配方因式分解44.4.二次函数表达式的确定（1）求二次函数表达式一般用待定系数法，根据所给条件的不同，要灵活选用函数表达式；当已知抛物线上任意三点时，通常设为yax2bxc的形式；当已知抛物线
8、的顶点或对称轴时，通常设为ya（xh）2k的形式；当已知抛物线与x轴的交点或交点的横坐标时，通常设为ya（xx1）（xx2）的形式.（2）步骤：设二次函数的表达式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程组；解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的表达式.二次函数的图象及其性质 5.5.图象性质函数二次函数yax2bxc（a，b ，c为常数，a0）图象对称轴直线x b 2a直线xb 2a 顶点 坐标(b 2a，4acb2 4a)(b 2a，4acb2 4a)增减性在对称轴的左侧，即当xb 2a 时，y的值随x值的增大而减小；在对称轴的右侧，即当xb 2a 时，y的值随x值的增大而增大. 简记为左
9、减右增.在对称轴的左侧，即当xb 2a 时，y的值随x值的增大而增大；在对称轴的右侧，即当xb 2a 时，y的值随x值的增大而减小， 简记为左增右减.最值抛物线有最低点，当 x b 2a 时，y有最小值，y最小值.4acb2 4a抛物线有最高点，当x时b 2a ，y有最大值，y最大值 .4acb2 4a6.6.系数a，b，c与二次函数图象的关系项目字母字母的符号图象的特征 a0开口向上aa0 开口向下 b0对称轴为y轴 ab0（b与a同号）对称轴在y轴左侧b ab0（b与a异号）对称轴在y轴右侧c0 经过原点 c0与y轴正半轴相交cc0与y轴负半轴相交 b24acb24ac0与x轴有唯一交点5
10、（顶点）b24ac0与x轴有两个不同 交点 b24ac0与x轴没有交点 当x1时，yabc. 当x1时，yabc. 若abc0，即x1时，y0.特殊 关系 若abc0，即x1时，y0.二次函数图象的平移 7.7.平移步骤（1）将抛物线解析式转化为顶点式ya（xh）2k，确定其顶点坐标；（2）保持抛物线的形状不变，平移顶点坐标（h，k）即可.8.8.平移规律移动 方向平移前的解析式平移后的解析式规律向左平 移m个 单位长度ya（xh）2kya（xhm）2k左加向右平 移m个 单位长度ya（xh）2kya（xhm）2k右减向上平 移m个 单位长度ya（xh）2kya（xh）2km上加向下平 移m个
11、 单位长度ya（xh）2kya（xh）2km下减口诀：左加右减，上加下减.二次函数与一元二次方程的关系 9.9.二次函数与一元二次方程及b24ac的关系二次函数y yaxax2 2bxbxc c与x x轴的交 点情况一元二次方程axax2 2bxbxc c0 0根的情 况b b2 24ac4ac有两个交点（x1，0），（x2，0）.有两个不相等的实数根x1，x2.b24ac0 只有一个交点，交点坐标为.(b 2a，0)有两个相等的实数根x1x2.b 2ab24ac0没有交点.没有实数根.b24ac01.1.（20162016毕节中考）一次函数yaxc（a0）与二次函数yax2bxc（a0）在同
12、一平面直角坐标系中的图象可能是（ D ）2.2.（20182018成都中考）关于二次函数y2x24x1，下列说法正确的是（ D ）6A.图象与y轴的交点坐标为（0，1）B.图象的对称轴在y轴的右侧C.当x0时，y的值随x值的增大而减小D.y的最小值为33.3.（20182018安顺模拟）如图，已知经过原点的抛物线yax2bxc（a0）的对称轴是直线x1，下列结论：ab0，abc0，当2x0时，y0. 正确的个数是（ D ）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个4.4.（20182018哈尔滨中考）将抛物线y5x21向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ A ）A.y5
13、（x1）21 B.y5（x1）21C.y5（x1）23 D.y5（x1）235.5.（20182018安徽中考）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆.售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元.调研发现：盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；花卉的平均每盆利润始终不变.小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元）.（1）用含x的代数式分别表示W1，W2；（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利
14、润是多少？解：（1）W1（50x）（1602x）2x260x8 000，W219（50x）19x950；（2）由题意，得W总W1W22x241x8 950.20，10.25，41 2 （2）当x10时，W总最大，W总的最大值为210241108 9509 160.答：当x10时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是9 160元.6.6.（20152015毕节中考）如图，抛物线yx2bxc与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，顶点M关于x轴的对称点是M.（1）求抛物线的解析式；（2）若直线AM与此抛物线的另一个交点为C，求CAB的面积；7（3）是否存在过A，B两点的抛
15、物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.解：（1）将A，B两点的坐标代入yx2bxc，得解得1bc0， 93bc0，)b2， c3.)抛物线的解析式为yx22x3；（2）yx22x3（x1）24，点M的坐标为（1，4），点M的坐标为（1，4）.设直线AM的解析式为ykxb，将A，M点的坐标代入，得解得kb0， kb4，)k2， b2.)直线AM的解析式为y2x2.联立直线AM与抛物线的解析式，得解得y2x2， yx22x3，)x11， y10，)x25， y212.)点C的坐标为（5，12）.SCAB 41224；1
16、2（3）存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形.由APBQ是正方形，A（1，0），B（3，0），得P（1，2），Q（1，2）或P（1，2），Q（1，2）.当顶点P（1，2）时，设抛物线的解析式为ya（x1）22，将A点坐标代入，得4a20，解得a .1 2此时抛物线的解析式为y （x1）22；1 2当顶点P（1，2）时，设抛物线的解析式为ya（x1）22，将A点坐标代入，得4a20，解得a .1 2此时抛物线的解析式为y （x1）22.1 28综上所述，存在抛物线y （x1）22或y （x1）22，使得四边形APBQ为正方形.1 21 2中考典题精讲
17、精练二次函数的图象与性质例1 1 （20142014毕节中考）抛物线y2x2，y2x2，y x2共有的性质是（ B ）1 2A.开口向下B.对称轴是y轴C.都有最高点D.y的值随x值的增大而增大【解析】二次函数yax2bxc（a0）的图象具有如下性质：若a0，抛物线yax2bxc（a0）的开口向上，当x时，y的值随x值的增大而减小；当x时，y的值随x值的增大而增大；当x时，b 2ab 2ab 2ay取最小值，即顶点是抛物线的最低点；若a0，抛物线yax2bxc（a0）的开口向下，当x4acb2 4a时，y的值随x值的增大而增大；当x时，y的值随x值的增大而减小；当x时，y取最大值，b 2ab
18、2ab 2a4acb2 4a即顶点是抛物线的最高点.抛物线y2x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点；抛物线y2x2开口向下，对称轴为y轴，有最高点，顶点为原点；抛物线y x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点.1 2二次函数图象的平移 例2 2 （20201818安顺模拟）将抛物线y2x2向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为（ D ）A.y2（x1）2 B.y2（x1）22C.y2（x1）22 D.y2（x1）21【解析】根据二次函数平移的特点“左加右减、上加下减”的方法可以得出抛物线平移后的解析式.二次函数图象与系数的关系 例3 3 （201
19、82018恩施中考）抛物线yax2bxc的对称轴为直线x1，部分图象如图，下列判断中：abc0；b24ac0；9a3bc0；若点（0.5，y1），（2，y2）均在抛物线上，则y1y2；5a2bc0.正确的个数是（ B ）9A.2 B.3 C.4 D.5【解析】对于二次函数yax2bxc（a0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a0时，抛物线开口向上；当a0时，抛物线开口向下；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点的位置：抛物线与y轴交于点（0，c）.抛物线
20、与x轴交点个数由决定：b24ac0时，抛物线与x轴有2个不同交点；b24ac0时，抛物线与x轴有1个交点；b24ac0时，抛物线与x轴没有交点.对称轴在y轴左侧，ab0.抛物线与y轴的交点在x轴下方，c0. abc0；抛物线与x轴有两个交点，b24ac0；抛物线与x轴交于（3，0），9a3bc0；点（0.5，y1），（2，y2）均在抛物线上，1.52，y1y2； 抛物线的对称轴为x1，经过（1，0），1，abc0，b2a，c3a.b 2a5a2bc5a4a3a2a0.二次函数的应用 例4 4 （20182018衢州中考）某游乐园有一个直径为16 m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的
21、水柱为抛物线，在距水池中心3 m处达到最高，高度为5 m，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合.如图，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系.（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8 m的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32 m，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度.【解析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，
22、代入点（8，0），求出a值；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y1.8时x的值，由此即可得出结论；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式，代入点（16，0）可求出b的值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论.【答案】解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为ya（x3）25（a0），将（8，0）代入ya（x3）25，得25a50，解得a .1 510水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y （x3）25（0x8）；1 5（2）当y1.8时， （x3）
23、251.8，1 5解得x11（舍去），x27.答：为了不被淋湿，身高1.8 m的王师傅站立时必须在离水池中心7 m以内；（3）当x0时，y （x3）25.1 516 5设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y x2bx.1 516 5该函数图象过点（16，0），0 16216b，解得b3.1 516 5改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y x23x.1 516 51 5(x15 2)2289 20答：扩建改造后喷水池水柱的最大高度为 m.289 20二次函数的综合 例5 5 （20172017毕节中考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（1，0）
24、，B（4，0），C（0，4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P运动到什么位置时，PBC面积最大，求出此时P点坐标和PBC的最大面积.【解析】（1）由A，B，C三点坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上，则可求得点P的纵坐标，代入抛物线解析式可求得点P的坐标；（3）过P作PEx轴，交x轴于点E，交直线BC于点F，用点P的坐标可表示出PF的长，则可表示出PBC的面积，利用二次函数的性质可求得PBC面积的最
25、大值及点P的坐标.【答案】解：（1）设抛物线的解析式为yax2bxc，把A（1，0），B（4，0），C（0，4）三点坐标代入，得，解得abc0， 16a4bc0 c4，)a1， b3， c4.) 抛物线的解析式为yx23x4；11（2）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，则POPC，此时P点即为满足条件的点.点C（0，4），D（0，2），点P的纵坐标为2.把y2代入yx23x4，解得x或x（舍去）.存在点P，使POC是以OC为底边的等腰3 1723 172三角形，此时P点坐标为；(3 172，2)（3）设P点坐标为（t，t23t4）.过点P作PEx轴于点E，交
26、直线BC于点F，如图2，则SPBCSPFCSPFB PFOE PFBE PF（OEBE） PFOB.B（4，0），C（0，4），1 21 21 21 2直线BC的解析式为yx4，F（t，t4）.PF（t4）（t23t4）（t2）24.当t2时，PF有最大值4.SPBC有最大值 448，此时t23t46.1 2当点P运动到点（2，6）时，PBC的面积最大，最大面积为8.1.1.已知一次函数y xc的图象如图，则二次函数yax2bxc在平面直角坐标系中的图象可能是（ D b a）122.2.（20182018上海中考）下列对二次函数yx2x的图象的描述，正确的是（ C ）A.开口向下B.对称轴是y
27、轴C.经过原点D.在对称轴右侧部分是下降的3.3.（20182018北部湾中考）将抛物线y x26x21向左平移2个单位长度后，得到新抛物线的解析式为（ D 1 2）A.y （x8）251 2B.y （x4）251 2C.y （x8）231 2D.y （x4）231 24.4.（20182018广安中考）抛物线y（x2）21可以由抛物线yx2平移而得到，下列平移正确的是（ D ）A.先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B.先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C.先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D.先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度5.5.（
28、20182018滨州中考）如图，若二次函数yax2bxc（a0）图象的对称轴为x1，与y轴交于点C，与x轴交于点A，B（1，0），有下列结论：二次函数的最大值为abc；abc0；b24ac0；当y0时，1x3.其中正确的个数是（ B ）A.1 B.2 C.3 D.4,（第5题图） 6.6.（20182018白银中考）如图是二次函数yax2bxc（a，b，c是常数，a0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x1.对于下列说法：ab0；2ab0；3ac0；abm13（amb）（m为实数）；当1x3时，y0.其中正确的是（ A ）,（第6题图）A. B.C. D.7.
29、7.（20182018北京中考）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系yax2bxc（a0）.如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（ B ）A.10 m B.15 m C.20 m D.22.5 m8.8.（20182018滨州中考）如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y5x2
30、20x，请根据要求解答下列问题：（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m时，飞行时间是多少？（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？14解：（1）当y15时，155x220x，解得x11，x23.答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m时，飞行时间是1 s或3 s；（2）当y0时，05x220x，解得x10，x24.x2x14.答：在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4 s；（3）y5x220x5（x2）220，当x2时，y取得最大值，此时，y20.答：在飞行过程中，小球飞行高度第2 s时最大，最大高度是20
31、m.9.9.（20182018毕节模拟）已知抛物线yax2axb（a0）与直线y2xm有一个公共点M（1，0），且ab.（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D的坐标（用含a的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求DMN的面积与a的关系式；（3）当a1时，直线y2x与抛物线在第二象限交于点G，点G，H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位长度（t0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围.解：（1）点M（1，0）在抛物线yax2axb上，aab0，即b2a，yax2ax2aa，(x1 2)29a 4抛物线顶点D的坐标为；(1 2，9a 4)（2）点M
32、（1，0）在直线y2xm上，021m，解得m2，y2x2.由题意，得y2x2， yax2ax2a，)则ax2（a2）x2a20，解得x1或x 2.2 aN点坐标为.(2 a2，4 a6)ab，a2a，a0.15如图1，设抛物线的对称轴交直线MN于点E，点E的横坐标为 .1 2又点E在直线y2x2上，E.(1 2，3)设DMN的面积为S.M（1，0），N，(2 a2，4 a6)SSDENSDEM |1|（3）| a；1 2(2 a2)9a 427 43 a27 8（3）当a1时，抛物线的解析式为yx2x2 .(x1 2)29 4点G为抛物线与直线y2x的交点，x2x22x，解得x12，x21，G（1，2）.点G，H关于原点对称，H（1，2）.设直线GH平移后的解析式为y2xt，当点H平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），把（1，0）代入y2xt，得t2.当线段GH与抛物线有两个不同的公共点时，方程x2x22xt，即x2x2t0有两个不相等的根，14（t2）94t0，t .9 42t .9 4