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1、1学业分层测评学业分层测评( (三三) ) 球坐标系与柱坐标系球坐标系与柱坐标系(建议用时：45 分钟)学业达标1把下列各点的球坐标化为直角坐标：(1)M；(2)N；(2， 2，3)(5，2 3，2)(3)P.(9，3 4，23)【解】 (1)设点M的直角坐标为(x，y，z)，M在xOy平面内的射影为M，则OM2 sin2.于是x2cos1，y2sin，z2cos0. 2 3 33 2故点M的直角坐标为(1， ，0)3(2)x5sincos0，y5sinsin，2 3 22 3 252 3z5cos ，2 35 2点N的直角坐标为.(0，5 23，52)(3)x9sincos，3 42 394
2、 2y9sinsin，z9cos.3 42 394 63 492 2点P的直角坐标为.(9 42，946，922)2把下列各点的柱坐标化为直角坐标：(1)Q；(2)R；(5， 2，2)(6，2 3，4)(3)S.(8，5 4，3)【解】 (1)x0，y5，故点Q的直角坐标为Q(0,5，2)(2)x6cos3，y6sin3，2 32 33故点R的直角坐标为R(3,3，4)3(3)x8cos4，y8sin4，故点S的直角坐标为5 425 42S(4，4，3)2223已知长方体ABCDA1B1C1D1的边长为AB14，AD6，AA110，以这个长方体的顶点A为坐标原点，以射线AB、AD、AA1分别为
3、x、y、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体顶点C1的空间直角坐标、柱坐标、球坐标【导学号：98990008】【解】 如图，C1点的直角坐标(x，y，z)分别对应着CD、BC、CC1；C1点的柱坐标(，z)分别对应着CA、BAC、CC1；C1点的球坐标(r，)分别对应着AC1、BAC、A1AC1.C1点的空间直角坐标为(14,6,10)，C1点的柱坐标为(其中 tan )，(2 58，10)3 7C1点的球坐标为(2，)(其中 cos ，tan )835 83833 74在球坐标面内，方程r1 表示空间中的什么曲面？方程表示空间中的什么 4曲面？【解】 方程r1 表示球心在原点的单位球面
4、；方程表示顶点在原点，半顶 4角为的圆锥面，中心轴为z轴 45在球坐标系中，求两点P，Q的距离(3， 6，4)(3， 6，34)【解】 将P，Q两点球坐标转化为直角坐标：P：x3sincos， 6 43 24y3sinsin， 6 43 24z3cos， 63 32P点的直角坐标为.(3 24，3 24，3 32)Q：x3sincos， 63 43 243y3sinsin，z3cos， 63 43 24 63 32Q点的直角坐标为.(3 24，3 24，3 32)|PQ| 3423 2423 243 2423 323 322，即PQ的距离为.3 223 226建立适当的柱坐标系，表示棱长为 3
5、 的正四面体各个顶点坐标【解】 以正四面体的一个顶点B为极点O，选取以O为端点且与BD垂直的射线Ox为极轴，在面BCD上建立极坐标系过O点与面BCD垂直的线为z轴过A作AA垂直于平面BCD，垂足为A，则BA ，AA，32 32 3332 326ABx， 2 6 3则A(， ，)，B(0,0,0)，C(3， ，0)，D(3， ，0)3 36 6 27一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育馆中心的距离为 200 m，每相邻两排的间距为 1 m，每层看台的高度为 0.7 m，现在需要确定第九区第四排正中的位置A，请建立
6、适当的坐标系，把点A的坐标求出来【解】 以圆形体育馆中心O为极点，选取以O为端点且过正东入口的射线Ox为极轴，在地面上建立极坐标系，则点A与体育场中轴线Oz的距离为 203 m，极轴Ox按逆时针方向旋转，就是OA在地平面上的射影，A距地面的高度为 2.8 m，因此点A的2 1617 217 16柱坐标为(203，2.8)17 16能力提升8如图 4110 建立球坐标系，正四面体ABCD的边长为 1，求A、B、C、D的球坐标(其中O是BCD的中心)4图 4110【解】 O是BCD的中心，OCODOB，AO.3363C(， ，0)，D(， ，)，33 233 22 3B(，)，A(，0,0)3324363