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1、为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能恰当方程（全微分方程）一、概念 二、全微分方程的解法 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 一、概念一、概念若有全微分形式若有全微分形式则则称为全微分方程。称为全微分方程。定义定义:例例1 1：所以是全微分方程所以是全微分方程.方程方程 是否为全微分方程？是否为全微分方程？解：解：通解则为通解则为 （C
2、C为任意常数）。为任意常数）。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能问题问题:（1）如何判断全微分方程？如何判断全微分方程？（2）如何求解全微分方程？如何求解全微分方程？（3）如何转化为全微分方程？如何转化为全微分方程？定理定理1 1 设函数设函数 和 在一个矩形区域在一个矩形区域是全微分方程是全微分方程中连续且有连续的一阶偏导数，则中连续且有连续的一阶偏导数，则 （1）证明必要性证明必要性证明证明：因为因为 是全
3、微分方程，是全微分方程，为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能则存在原函数则存在原函数 ，使得使得所以所以将以上二式分别对将以上二式分别对 求偏导数，得到求偏导数，得到又因为又因为 偏导数连续，偏导数连续，即即所以所以为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能（2）证明充分性证明充分性设设，求一个二元函数求一个二元函数 使它满足使它满足即即由第一个等式，应有由第一个等式，应有代入第二个等式，应有代入第二个等式，应有这里为深入学习习近平新时代中国特色社会主义
4、思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能因此因此，则则因此可以取因此可以取此时此时 这里由于这里由于 ，故曲线积分与路径无关。因此，故曲线积分与路径无关。因此为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 二、全微分方程的解法二、全微分方程的解法(1)线积分法线积分法:或或(2)偏积分法偏积分法第一个等式对第一个等式对 积分积分为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能代入第二个等式求代入第二个等式求，即可得即可得(3)(3)凑微分
5、法凑微分法直接凑微分得直接凑微分得例例2 2：验证方程：验证方程是全微分方程，并求它的通解。是全微分方程，并求它的通解。由于由于 解解：为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能所以方程为全微分方程。所以方程为全微分方程。(1)(1)线积分法线积分法:故通解为故通解为为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能(2)(2)偏积分法偏积分法:假设所求全微分函数为假设所求全微分函数为 ,则有则有 代入可得代入可得 因此因此从而从而即即为深入学习习近平新时代中国特色社
6、会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能(3)凑微分法凑微分法:由于由于 方程的通解为：方程的通解为：根据二元函数微分的经验根据二元函数微分的经验,原方程可写为原方程可写为为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能例例3 3：验证方程：验证方程是全微分方程，并求它的通解。是全微分方程，并求它的通解。由于由于 解：解：所以方程为全微分方程。所以方程为全微分方程。(1)(1)线积分法线积分法:为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室
7、育人功能故通解为故通解为(2)(2)偏积分法偏积分法:假设所求全微分函数为假设所求全微分函数为 ,则有则有 所以所以从而从而即即为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能(3)(3)凑微分法凑微分法:方程的通解为：方程的通解为：根据二元函数微分的经验根据二元函数微分的经验,原方程可写为原方程可写为练习练习：验证方程：验证方程是全微分方程，并求它的通解。是全微分方程，并求它的通解。方程的通解为：方程的通解为：为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能积分因子法
8、一、概念 二、积分因子的求法为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能一一、定义定义:0),(yxm m连续可微函数，使方程连续可微函数，使方程0),(),(),(),(=m m+m mdyyxQyxdxyxPyx成为全成为全.微分方程微分方程 则称则称),(yxm m为方程的为方程的积分因子积分因子.例例1 1验证验证是方程是方程的积分因子，并求方程的通解。的积分因子，并求方程的通解。解：解：是全微分方程。是全微分方程。方程通解为方程通解为为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分
9、发挥中小学图书室育人功能1.1.公式法公式法:求解不容易求解不容易特殊地特殊地:(两边同除两边同除 )a.当当 只与只与 有关时有关时，二、积分因子的求法二、积分因子的求法为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能b.b.当当 只与只与 有关时，有关时，为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能2.2.观察法观察法:凭观察凑微分得到凭观察凑微分得到常见的全微分表达式常见的全微分表达式为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精
10、神,充分发挥中小学图书室育人功能一般可选用的积分因子有一般可选用的积分因子有等。等。可选用的积分因子有可选用的积分因子有可选用的积分因子有可选用的积分因子有为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能例例2 2解解则原方程成为则原方程成为.的通解的通解求微分方程求微分方程1.公式法公式法:原方程的通解为原方程的通解为为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能2.观察法观察法:将方程左端重新组合将方程左端重新组合,有有可选用的积分因子有可选用的积分因子有可选用的积分因子有可选用的积分因子有因此取积分因子为因此取积分因子为原方程的通解为原方程的通解为 分组求积分因子的思想。分组求积分因子的思想。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能练习练习 求微分方程求微分方程的通解。的通解。