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1、3.2 3.2 3.2 3.2 定积分定积分定积分定积分 步骤：分割、近似、求和、取极限；步骤：分割、近似、求和、取极限；数学思想：以直代曲，以不变代变；数学思想：以直代曲，以不变代变；曲边梯形的面积曲边梯形的面积变速直线运动的路程变速直线运动的路程举例：举例：内内 容容 回回 顾顾二二 、定积分的性质定积分的性质性质性质2 2性质性质1 1补充补充：不论：不论 的相对位置如何的相对位置如何,上式总成立上式总成立.例例 若若（定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性）则则性质性质3 3证证性质性质4 4性质性质5 5性质性质5 5的推论：的推论：证证（1）证证（此性质可用于
2、估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）性质性质6 6证证由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式使使积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体沿直线作变速直线运动，设一物体沿直线作变速直线运动，在在t 时刻物体时刻物体的路程为的路程为s(t),速度为速度为v(t)(为了方便，设为了方便，设v(t)0).由定积分定义，由定积分定义，物体在时间间隔物体在时间间隔所走过所走过的路程为
3、的路程为另一方面，另一方面，所以所以上式表明：上式表明：v(t)在区间在区间上的定积分值上的定积分值可以表示为它的一个原函数在积分区间的可以表示为它的一个原函数在积分区间的两个端点处的两个端点处的函数值之差函数值之差 猜想：猜想：在区间上的定积分，可以用它的一个原函数在在区间上的定积分，可以用它的一个原函数在积分区间上的两个端点处的函数值之差来表示。积分区间上的两个端点处的函数值之差来表示。提出问题提出问题：该结论是不是偶然的？具有普遍性吗？该结论是不是偶然的？具有普遍性吗？能不能推广到数学中的一般函数能不能推广到数学中的一般函数x x记作记作是定义在是定义在a,b上的上的函数函数,进一步讨论
4、进一步讨论二、积分上限函数二、积分上限函数即即称为称为积分上限函数积分上限函数.同理同理,可以定义区间可以定义区间a,b上的函数上的函数称为称为积分下限函数积分下限函数.积积分分变变限限函函数数定理定理2 2 设函数设函数 f(x)在区间在区间a,b上连续上连续,则函数则函数在区间在区间a,b上可导上可导,且且证明证明 取定取定任取任取由于由于由积分中值定理得由积分中值定理得由于函数由于函数 f(x)在区间在区间a,b上连续上连续,有有故函数故函数点点x可导可导,从而从而在区间在区间a,b上可导上可导.该定理该定理表明表明:（1）当函数当函数 f(x)在区间在区间a,b上连续时上连续时,就是就
5、是 f(x)在区间在区间a,b上的一个上的一个原函数原函数.（2）肯定了连续函数的原函数是存在的肯定了连续函数的原函数是存在的.（3）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间 的联系的联系.进一步讨论进一步讨论进一步讨论进一步讨论因因F(x)与与都是都是 f(x)在区间在区间a,b上的上的原函数原函数,所以所以令令x=a,得得于是于是Newton-Leibniz公式公式特别取特别取x=b,得得表明：表明：求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.三三.微积分基本公式微积分基本公式定理定理2 2 设函数设函数 f(x)在区间在区间a,b
6、上连续上连续,F(x)是是 f(x)在区间在区间a,b上的一个原函数上的一个原函数,则则例例1解解例例2 2 求求 原式原式例例3 3 设设 ,求求 .解解解解例例4 4 求求 解解解解 面积面积例例6 求求解解（1）从物理和几何的角度去观察和讨论原函数与积分的关系 （2）引入变限积分函数，并研究了其性质（3）从理论上证明了微积分基本公式（4）从举例进一步理解微积分基本公式及其计算 5.小小 结结例：例：例:求分析分析：这是这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则.解定理定理（一）换元公式（一）换元公式四四 、定积分的换元法和分部积分法、定积分的换元法和分部积分法应用换元公式时应
7、注意应用换元公式时应注意:（1）（2）例例1 1 计算计算解解令令例例2 2 计算计算解解例例3 3 计算计算解解令令原式原式证证奇函数奇函数例例5 5 计算计算解解原式原式偶函数偶函数单位圆的面积单位圆的面积定积分的换元法定积分的换元法小结定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式推导推导（二）分部积分公式（二）分部积分公式例例1 1 计算计算解解令令则则例例2 2 计算计算解解例3 药物从患者的尿液中排出,一种典型的排泄速率函数是 ,其中k是常数.求在时间间隔 内,排出药物的量D解D D定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式小结（注意与不定积分分部积分法的区别）（注意与不定积分分部积分法的区别）