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1、12/30/2022 2.2.3向量数乘运算及其几何向量数乘运算及其几何意义意义AEDCB12/30/20221.1.向量加法三角形法则向量加法三角形法则:特点特点:首尾相接，顺次首尾相接，顺次连连特点特点:共起点共起点的对角线的对角线BAO特点：特点：共起点，连终点，方向指被减数共起点，连终点，方向指被减数2.2.向量加法平行四边形法则向量加法平行四边形法则:3.3.向量减法三角形法则向量减法三角形法则:12/30/2022向量数乘问题的实际背景向量数乘问题的实际背景12/30/2022练习练习练习练习1:1:-a如图如图如图如图,已知向量已知向量已知向量已知向量a,a,a,a,作向量作向量
2、作向量作向量a+a+aa+a+aa+a+aa+a+a和和和和(-a)+(-a).(-a)+(-a).(-a)+(-a).(-a)+(-a).aa-aaa-aOA=a+a+aPB=(-a)+(-a)=3a=-2a探究探究探究探究:相同向量相加以后，和的长度与方向，相对于相同向量相加以后，和的长度与方向，相对于相同向量相加以后，和的长度与方向，相对于相同向量相加以后，和的长度与方向，相对于产生了什么变化？产生了什么变化？产生了什么变化？产生了什么变化？aO OA AP PB B12/30/2022定义定义定义定义:特别地，当特别地，当特别地，当特别地，当 =0=0=0=0 或或或或 a=0 a=0
3、 a=0 a=0 时时时时,aaaa=0=0=0=0(2)(2)(2)(2)方向方向方向方向 当当当当0000时时时时,aaaa的方向与的方向与的方向与的方向与a a a a方向相同；方向相同；方向相同；方向相同；当当当当0000)0)0)0)倍，即有倍，即有倍，即有倍，即有|b|=|b|=|b|=|b|=|a|a|a|a|,|,|,|,且且且且向量向量向量向量a a a a（a a a a 0 0）与）与）与）与b b b b共线共线共线共线,当且仅当有唯一当且仅当有唯一当且仅当有唯一当且仅当有唯一一个实数一个实数一个实数一个实数，使，使，使，使b=b=b=b=aaaa.12/30/2022
4、思考思考思考思考:1):1)a a为什么要是非零向量为什么要是非零向量为什么要是非零向量为什么要是非零向量?2)2)b b 可以是零向量吗可以是零向量吗可以是零向量吗可以是零向量吗?向量向量向量向量a a a a（a a a a 0 0）与）与）与）与b b b b共线共线共线共线,当且仅当有唯一当且仅当有唯一当且仅当有唯一当且仅当有唯一一个实数一个实数一个实数一个实数，使，使，使，使b=b=b=b=aaaa.12/30/2022点点点点C C在线段在线段在线段在线段ABAB上，且上，且上，且上，且ACACCB=2CB=25 5则则则则共线定理小练习共线定理小练习12/30/2022例例例例1
5、:1:解：作图如右解：作图如右解：作图如右解：作图如右OABC依图猜想依图猜想依图猜想依图猜想:A:A:A:A、B B B B、C C C C三点共线三点共线三点共线三点共线 A A A A、B B B B、C C C C三点共线三点共线三点共线三点共线.abbb已知任意两非零向量已知任意两非零向量a a、b b，试作试作 OA=OA=a+ba+b,OB=a+2b,OC=a+3b,OB=a+2b,OC=a+3b。你能判断你能判断A A、B B、C C三点之间的位置关系吗？为什么？三点之间的位置关系吗？为什么？ba AB=OB-OAAB=OB-OAAB=OB-OAAB=OB-OA AC=2ABA
6、C=2ABAC=2ABAC=2AB又又又又 AC=OC-OAAC=OC-OAAC=OC-OAAC=OC-OA =a+3b-(a+b)=2b =a+3b-(a+b)=2b =a+3b-(a+b)=2b =a+3b-(a+b)=2b =a+2b-(a+b)=b =a+2b-(a+b)=b =a+2b-(a+b)=b =a+2b-(a+b)=b又又又又 ABABABAB与与与与ACACACAC有公共点有公共点有公共点有公共点A A A A，12/30/2022AEDCB证明：证明：证明：证明：=3 AC=3 AC=3(AB+BC)=3(AB+BC)AB+BC=ACAB+BC=AC=3 AB+3 BC
7、=3 AB+3 BC又又 AE=AD+DEAE=AD+DE ACAC与与AE AE 共线共线如图，已知如图，已知如图，已知如图，已知AD=3ABAD=3ABAD=3ABAD=3AB、DE=3BCDE=3BCDE=3BCDE=3BC，证明，证明，证明，证明A A A A、C C C C、E E E E三点共线。三点共线。三点共线。三点共线。又又ACAC与与AE AE 有公共点有公共点A A A A A A、C C C C、E E E E三点共线三点共线三点共线三点共线试一试试一试12/30/2022ADBMC 如图如图:ABCD的两条对角线交于点的两条对角线交于点M,且且 ,你能用，表示你能用，
8、表示吗？吗？例例例例2:2:12/30/2022表示表示表示表示 ，=，在在在在 ABCDABCD中，中，中，中，设对设对设对设对角角角角线线线线=试试试试用用用用 ，ADBMC试一试试一试12/30/2022 如图，在平行四边形如图，在平行四边形如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCDABCD中，点中，点中，点中，点MM是是是是ABAB中点，点中点，点中点，点中点，点N N在线段在线段在线段在线段BDBD上，且有上，且有上，且有上，且有BN=BDBN=BD，求证：求证：求证：求证：MM、N N、C C三点共线。三点共线。三点共线。三点共线。提示：设提示：设提示：设提示：设AB =AB =
9、a a BC =BC =b b则则则则MN=MN=a+a+b b MC=MC=a+a+b b12/30/2022（C）分析分析:由 所以 在平行四边形ABCD中,M为BC的中点,则 等于 (1(1)(2)(2)ABCD练习练习12/30/2022小结回顾小结回顾小结回顾小结回顾:二、知识应用：二、知识应用：二、知识应用：二、知识应用：1.1.1.1.证明证明证明证明 向量共线；向量共线；向量共线；向量共线；2.2.2.2.证明证明证明证明 三点共线三点共线三点共线三点共线:AB=BC A,B,C:AB=BC A,B,C:AB=BC A,B,C:AB=BC A,B,C三点共线；三点共线；三点共线
10、；三点共线；3.3.3.3.证明证明证明证明 两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行:AB=AB=AB=AB=CDCDCDCD ABCD ABCD ABCD ABCD AB AB AB AB、CDCDCDCD不重合不重合不重合不重合直线直线直线直线ABABABAB直线直线直线直线CDCDCDCD一、概念与定理一、概念与定理一、概念与定理一、概念与定理 a a a a 的定义及运算律的定义及运算律的定义及运算律的定义及运算律 向量共线定理向量共线定理向量共线定理向量共线定理 (a0)(a0)(a0)(a0)b=b=b=b=a a a a 向量向量向量向量a a a a与与与与b b b b共线共线共线共线