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1、1方法技巧训练（一）方法技巧训练（一） 与角平分线有关的基本模型与角平分线有关的基本模型三角形中角平分线的夹角的计算方法指导1类型 1 1 两个内角平分线的夹角如图 1，在ABC 中，ABC，ACB 的平分线 BE，CF 相交于点 G，则BGC90 A.1 2图 1 图 2 图 3 解题通法：三角形两内角的平分线的夹角等于 90与第三个内角的一半的和 类型 2 2 一个内角平分线和一个外角平分线的夹角如图 2，在ABC 中，BP 平分ABC，CP 平分ACB 的外角，BP 与 CP 相交于点 P，则P A.1 2解题通法：三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三个内角的一半 类型 3 3
2、两外角平分线的夹角如图 3，在ABC 中，BO，CO 是ABC 的外角平分线，则O90 A.1 2解题通法：三角形两外角的平分线的夹角等于 90与第三个内角的一半的差 1 1如图，在ABC 中，A40，点 D 是ABC 和ACB 的平分线的交点，则BDC110 【变式 1 1】 若点 D 是ABC 的平分线与ACB 外角平分线的交点，则D20第 1 题图 变式 1 图 变式 2 图 变式 3 图 【变式 2 2】 若点 D 是ABC 外角平分线与ACB 外角平分线的交点，则D70 【变式 3 3】 如图，BA1和 CA1分别是ABC 的内角平分线和外角平分线，BA2是A1BD 的平分线，CA2
3、是A1CD的平分线，BA3是A2BD 的平分线，CA3是A2CD 的平分线若A1，则A2 019 22 018与角平分线有关的图形与辅助线方法指导21 1角平分线平行线等腰三角形 如图 4，BD 是ABC 的平分线，点 O 是 BD 上一点，OEBC 交 AB 于点 E，则BOE 是等腰三角形 解题通法：遇到角平分线及平行线，除了可以得到角度的关系，还可以得到一个等腰三角形 2 2与角平分线有关的辅助线 过角平分线上的点作角两边的垂线 如图 5，BO 是ABC 的平分线，过点 O 作 OEAB 于点 E，过点 O 作 OFBC 于点 F，则 OEOF，BEOBFO.图 4 图 5 图 6 图
4、7 角平分线的两端过角的顶点取相等的两条线段构造全等三角形 如图 6，BO 是ABC 的平分线，在 BA，BC 上取线段 BEBF，则BEOBFO. 解题通法：遇到角平分线时，我们通常过角平分线上的一点向两边作垂线或在角平分线的两端取相等的线段 构造全等三角形 过角平分线上一点作角平分线的垂线，从而得到等腰三角形2如图 7，BD 是ABC 的平分线，点 E 是 BD 上一点，过点 E 作 BD 的垂线，则BGH 是等腰三角形且 BD 垂直平 分 GH. 2.2.如图，在ABC 中，AB10 cm，AC8 cm，ABC 和ACB 的平分线交于点 O，过点 O 作 BC 的平行线 MN 交 AB
5、于点 M，交 AC 于点 N，则AMN 的周长为(D) A10 cm B28 cm C20 cm D18 cm第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 第 5 题图 3 3(2018河北)如图，点 I 为ABC 的内心，AB4，AC3，BC2，将ACB 平移使其顶点与 I 重合，则图中阴 影部分的周长为(B)A4.5 B4 C3 D2 4 4(2018大庆)如图，BC90，M 是 BC 的中点，OM 平分ADC，且ADC110，则MAB(B) A30 B35 C45 D60 5 5如图，M 是ABC 的边 BC 的中点，AN 平分BAC，BNAN 于点 N，且 AB10，BC15，MN3，则
6、AC 的长是 16 6.6.如图，在ABC 中，A60，BD，CE 分别平分ABC 和ACB，BD，CE 相交于点 O，试说明 BE，CD，BC 的数 量关系，并加以说明解：BCBECD.理由如下： 在 BC 上取点 G，使得 CGCD.BOC180 (ABCACB)180 (18060)120，1 21 2BOECOD60. BD，CE 分别平分ABC 和ACB， EBOGBO，OCGOCD.在COD 和COG 中，COCO， DCOGCO， CDCG，)CODCOG(SAS)COGCOD60. BOG1206060BOE.在BOE 和BOG 中，BOEBOG， BOBO， EBOGBO，)
7、BOEBOG(ASA)BEBG.BECDBGCGBC.7 7感知：如图 1，AD 平分BAC.BC180，B90，易知：DBDC. 探究：如图 2，AD 平分BAC，ABDACD180，ABD90，求证：DBDC. 应用：如图 3，在四边形 ABCD 中，B45，C135，DBDCa，则 ABACa(用含 a 的代数式表2示)3,图 1) ,图 2) ,图 3) 证明：过点 D 作 DEAB 于点 E，DFAC 于点 F. AD 平分BAC，DEAB，DFAC，DEDF. BACD180，ACDFCD180，BFCD.在DFC 和DEB 中，FDEB， FCDB， DFDE，)DFCDEB(AAS)DCDB.