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1、24.1.3 弧、弦、圆心角弧、弦、圆心角1、什么是弦？、什么是弦？2、什么是弧？什么是等弧？、什么是弧？什么是等弧？连接圆上任意两点的线段叫做弦。连接圆上任意两点的线段叫做弦。即：如右图弦即：如右图弦ABAB.OAB 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧，即：如上图圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧，即：如上图 ；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。ABAB.OAB3-5 我们把顶点在圆心上，角的两边与圆周我们把顶点在圆心上，角的两边与圆周相交的角叫做圆心角。相交的角叫做圆心角。如图如图3-5所示，所示，AOB叫作圆心角，叫作圆心角，叫作圆
2、叫作圆心角心角AOB所对的弧。所对的弧。AB下列各角中，是圆心角的是（下列各角中，是圆心角的是（）.oCDBA.如图所示圆心角如图所示圆心角 AOB=COD。它它CDAB们所对的弧们所对的弧 与与 相等吗？它们所对的弦相等吗？它们所对的弦AB与与CD相等吗？相等吗？从而得到下述弧、弦、圆心角三者关系：从而得到下述弧、弦、圆心角三者关系：在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。（B）（A）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等吗？所对的弦相等吗？它
3、们所对的圆心角相等吗？所对的弦相等吗？.AB.DCO1O当当 =ABCD时时（A）（B）（A）（B）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。的其余各组量也相等。在同圆或等圆中，如果弦相等，那么它们在同圆或等圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等吗？所对的弧相等吗？所对的圆心角相等吗？所对的弧相等吗？.DCO1.BAO当当AB=CD时时（A）（B）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角的圆心角 ，所对的弦
4、，所对的弦 。在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角的圆心角 ，所对的弧，所对的弧 。相等相等相等相等相等相等相等相等 如图所示，在如图所示，在O中，中，ACB=60ACB=60。求证：求证：AOB=BOC=AOCAOB=BOC=AOCAB AC=证明：证明：AB AC=AB=AC,ABCAB=AC,ABC是等腰三角形是等腰三角形又又 ACB=60ACB=60ABCABC是等边三角形，是等边三角形，AB=BC=CAAB=BC=CA()()AOB=BOC=AOCAOB=BOC=AOC()()在同圆中，相等的弧所对的弦相等在同圆中，相等的弧
5、所对的弦相等在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等（漳州）下列命题是真命题的是（漳州）下列命题是真命题的是（）（A A）相等的圆心角所对的弧相等）相等的圆心角所对的弧相等（B B）长度相等的两条弧是等弧）长度相等的两条弧是等弧（C C）等弦所对的圆心角相等）等弦所对的圆心角相等（D D）等弧所对的弦相等）等弧所对的弦相等D D1.如图，如图，AB、CD是是O的两条弦的两条弦（1）如果）如果AB=CD，那么，那么_，_（2）如果）如果 =，那么，那么_，_（3）如果）如果 AOB=COD，那么，那么_，_（4）如果）如果AB=CD，OE AB于于E，OF CD于于F
6、，OE与与OF相等吗？为什么？相等吗？为什么？CABDEFOAB=CDAB=CD相相 等等 因为因为ABAB=CDCD ，所以，所以AOB=AOB=COD.COD.又因为又因为AO=COAO=CO，BO=DOBO=DO，所以所以AOB AOB COD.COD.又因为又因为OEOE 、OFOF是是ABAB与与CDCD对应边上的高，对应边上的高，所以所以 OEOE =OF.OF.六、练习六、练习CDABABCD=ABCD=如图如图ABAB是是OO的直径，的直径，COD=35COD=35，求求AOEAOE的度数。的度数。=BCBC DCDC=DEDE D D解：解：=BCBC DCDC=DEDE B
7、OC=COD=DOEBOC=COD=DOECOD=35COD=35 BOE=3COD=335=105BOE=3COD=335=105 AOE=180AOE=180BOE=180BOE=180105105 =75 =75如图如图,已知已知OO中中,弦弦AB=CDAB=CD 求证：求证：AD=BCAD=BC证明：证明：AB=CDAB=CD=ABAB CDCDADAD即：即：BCBCABAB BDBDCDCD BDBDAD=BCAD=BC()()在同圆中，相等的弦所对的弧相等在同圆中，相等的弦所对的弧相等()()在同圆中，相等的弧所对的弦相等在同圆中，相等的弧所对的弦相等 1 1、顶点在、顶点在 的
8、角叫做圆心角。的角叫做圆心角。2 2、在、在 中，相等的圆心中，相等的圆心角所对的弦角所对的弦 ，所对的弧，所对的弧 。3 3、在同圆或等圆中，如果两条弧、两条、在同圆或等圆中，如果两条弧、两条弦、两个圆心角中有一组量相等，那么其余弦、两个圆心角中有一组量相等，那么其余各组量也各组量也 。圆心上圆心上同圆或等圆同圆或等圆相等相等相等相等相等相等1弧弧n1n弧弧把圆心角等分成把圆心角等分成360份份,则每一份的圆心则每一份的圆心角是角是1.同时整个圆也被分成了同时整个圆也被分成了360360份份.则每一份这样的弧叫做则每一份这样的弧叫做1的弧的弧.这样这样,1,1的圆心角对着的圆心角对着1 1的
9、弧的弧,1 1的弧对着的弧对着1 1的圆心角的圆心角.n n 的圆心角对着的圆心角对着n n的弧的弧,n n 的弧对着的弧对着n n的圆心角的圆心角.性质性质:弧的度数和它所对圆心角的度数相等弧的度数和它所对圆心角的度数相等.小结（2）所对的圆心角和所对的圆心角和 所对的圆所对的圆 心角相等心角相等在两个圆中，分别有在两个圆中，分别有 ,若若 的度的度数和数和 相等，则有相等，则有（1）和和 相等相等判断判断OABCD如图，如图，AC与与BD为为 O的两条互的两条互 相垂直的直径相垂直的直径.求证：求证：AB=BC=CD=DA;AB=BC=CD=DA.AB=BC=CD=DA 证明证明:AC与与BD为为 O的两条互相垂直的直径的两条互相垂直的直径,AOB=BOC=COD=DOA=90AB=BC=CD=DA(圆心角定理圆心角定理)点此继续知识延伸知识延伸七、思考七、思考 如图，已知如图，已知AB、CD为为 O的两条弦，的两条弦，AD=BC,求证求证AB=CD 如图，已知如图，已知OA、OB是是 O的半径，点的半径，点C为为AB的中点，的中点，M、N分别为分别为OA、OB的的中点，求证：中点，求证：MC=NC如图，如图，BC为为 O的直径，的直径，OA是是 O的的半径，弦半径，弦BEOA,求证：求证：AC=AE