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1、数学发展简史数学发展简史 一、数学起起源 1 希希腊人发现现了推理的的作用古典时期（公公元前6000前3300年）的的希腊人，认认识到人类类有智慧、有有思维，能能够发现真真理。2 最最早提出自自然界数学学模式的是是以毕达哥哥拉斯（PPythaagoraas）为领领袖的座落落于意大利利南部的毕毕达哥拉斯斯学派。3 继继毕达哥拉拉斯学派之之后，最有有影响的是是由柏拉图图学派，他他控制了公公元前4世世纪这一重重要时期希希腊人的思思想，他是是雅典柏拉拉图学院的的创立者，存存在了九百百年之久。4 亚亚里士多德德是柏拉图图的学生，他他批评柏拉拉图的冥世世思想以及及把科学归归结为数学学的认识。他他是一个物物
2、理学家，他他相信真正正的知识是是从感性的的经验通过过直观和抽抽象而获得得。他认为，基基本概念应应该是不可可定义的，否否则就没有有起始点。他他又区分了了公理和公公设。公理对对所有思想想领域皆真真。公设适适用于专业业学科，如如几何学。5 欧欧几里得（EEucliid）、阿阿基米得（AArchiimedees）、丢丢番图等属属于希腊文文化的第二二个重要时时期，亚历历山大里亚亚时期（公公元前3000年公公元6000年） 欧几里得（公公元前约3300年），他他的代表作作几何原原本是一一本集希腊腊数学大成成的巨著，成成为两千年年来用公理理法建立演演绎的数学学体系的典典范。 二、数学的的繁荣（文文艺复兴（1
3、15世纪初初到17世世纪的2000年） 1 希希腊人的宗宗旨自然是是依数学设设计的，与与文艺复兴兴时的信念念上帝是是这个设计计的作者，融融汇在一起起，统治了了欧洲。2 笛笛卡儿（DDescaartess，1599616650）被誉为数学学王冠上的的明珠之一一，但他首首先是一个个哲学家，其其次是宇宙宙学家，第第三是物理理学家，第第四是生物物学家，第第五才是数数学家。极其敏锐的的直觉和对对结果的演演绎这就是是笛卡儿认认识哲学的的实质。笛卡儿认为为：思维只只有两种方方法，这就就是：直觉觉和演绎。笛卡儿对数数学本并没没有提出什什么新定理理，但他却却提供了一一种非常有有效的研究究方法，即即解释几几何。在
4、科学上，笛笛卡儿的贡贡献，虽然然不如像哥哥白尼、开开普勒以及及牛顿那样样辉煌灿烂烂，但也不不容轻视。3 帕帕斯卡（PPascaal）：是是17世纪纪伟大的数数学家之一一。4 伽伽利略与笛笛卡尔齐名名，他的主主要贡献是是他在科学学方法上的的许多变革革。a) 他要要研究和证证明的是一一些运动的的性质而不不考虑为会会什么会这这样。b) 他坚持持向自然科科学家提议议：不要研研究为什么么会这样，只只要讨论怎怎样定量描描述。c) 他的另另一个原则则是：科学学的任一分分支都可用用数学模型型模仿出来来。5 牛牛顿是剑桥桥大学的数数学教授，被被称为最伟伟大的数学学家之一，牛牛顿认为数数学是枯燥燥和乏味的的，只是
5、表表述自然定定律的一种种工具。牛顿的真正正的成就在在于证明了了开普勒经经过多年观观测和研究究得出的开开普勒三定定律可以由由万有引力力定律和运运动三定律律用数学方方法推导出出来。拉普普拉斯曾说说过，牛顿顿是最幸运运的人，因因为只有一一个宇宙，而而他成功地地发现了它它的定律。6 莱布尼茨（LLeibnnitz，1164617166，法国数数学家），主主要是个哲哲学家，他他多才多艺艺，对数学学、科学、历历史、逻辑辑学、法律律、外交和和神学的贡贡献都是首首屈一指的的。7 欧欧拉（Euuler，1170717833，瑞士），是是18世纪纪最伟大的的数学家，也也是数学史史上最多产产的数学家家，其论著著几乎
6、涉及及18世纪纪所有的数数学分支。欧拉认为所所有自然现现象之所以以表现如此此，是因为为它们要使使某些函数数达到极大大或极小，因因而，基本本的物理原原理应包括括达到极大大或极小的的函数。 数学支配配一切，118世纪最最伟大的智智者对此深深信不疑。 三、第一场场灾难：真真理的丧失失（非欧几几何和四元元数的发现现） 1 进进入19世世纪，数学学界正是一一派祥瑞景景象：1) 拉格朗朗日：仍然然活跃在数数学界；2) 拉普拉拉斯：正处处在他智力力的顶峰时时期；3) 傅立叶叶：至力于于热的传导导研究，他他发展了无无穷三角级级数现称为为傅立叶级级数的理论论。对他的的工作无论论用什么词词来赞誉都都不过分。4)
7、高斯（GGausss）：发表表了他的算算术研究（11801），这这是关于数数论的一个个里程碑，赢赢得了数学学王子的雅雅称。5) 柯西（CCauchhy）：他他的数学论论文超过7700篇，仅仅次于欧拉拉，能与高高斯匹敌。 2 到到18000年时上帝帝的存在越越来越不被被感觉到，然然而当时的的数学家们们还是相信信严格的数数学真理和和自然界的的数学法则则，在所有有的数学分分支中，欧欧氏几何最最受推崇。“上帝”所所攻击的正正是欧氏几几何。达兰贝尔在在17599年解平行行公理问题题是“几何原理理中的家丑丑” 3 非非欧几何的的产生：1) 18113年起，高高斯开始发发展他的非非欧几何。2) 创造非非欧几
8、何的的人是罗巴巴切夫斯基基。3) 物理空空间的几何何可以是非非欧几里得得的，它的的创建的是是黎曼（KKiemaan），他他是高斯的的学生。 4 高高斯认为，真真理存在于于数中，它它是算术、代代数、微积积分以及后后续学科的的基础。雅可比（JJacobbi）说：“上帝一直直在进行算算术化”。一直到到18500年，算术术在科学上上远比几何何使用得更更为广泛，不不幸的是毁毁灭性的事事情接踵而而来。 5 从从16世纪纪开始，数数学家们就就在使用微微量的概念念了。复数被用作作向量代数数二维数数用什么来表表示空间中中某种三维维数的向量量及其代数数运算呢？ 6 四四元数的引引入：1) 1843年年，哈密尔尔顿
9、提出了了一个有用用的复数的的空间类似似物，为此此他困惑了了15年。他他的新数包包含四个分分量，其次次，他不得得不牺牲了了乘法交换换律。他把把这种数叫叫做四元数数。（a+bii+ci+dk）2) 四元数数的引入给给了数学家家们又一次次震动。它它是一个确确实有用途途的代数，却却不具备所所有实数和和复数的基基本性质，即即ab=bba3) 继四元元数后不久久，数学家家们引入了了更奇怪的的代数，如如，著名代代数几何学学家凯莱引引进了矩阵阵，它是矩矩形或正方方形数组。4) 对算术真理理的最严重重打击来自自于亥姆霍霍兹（Heelmhooltz）他他的结论是是：只有经经验能告诉诉我们算术术的法则能能用在哪里里
10、，我们并并不能肯定定一条先验验公式是否否在任何情情况下都适适用。如，分数的的加法运算算在计算平平均速度时时，就有 7 数数学中没有有真理，即即作为现实实世界普适适法则。希腊人试图图从几条自自明的真理理出发和仅仅仅使用演演绎的证明明方法来保保证数学的的真实性被被证明是徒徒劳的。1） 数学并不是是一堆天然然的钻石，而而不过是人人工宝石，某某些领域的的经验启发发特定的公公理，在这这些领域，这这些公理及及真逻辑结结果能够非非常精确地地作有价值值的描述。但但是，一旦旦这一领域域扩展了，这这种适用性性就可能失失去。2） 既既然数学家家们已经放放弃了上帝帝，我们就就应该相信信人。自然然法则是人人的创造物物，
11、是我们们，而不是是上帝，才才是宇宙法法则的制定定者，自然然法则是人人的描述而而不是上帝帝的命令。3） 11750年年数学家们们可以这样样夸耀他们们的发明：沐浴着上帝帝的光芒，我们走向四四面八方。 到了18850年，他他们不得不不沮丧地承承认 不不管我走到到哪里， 尘尘世中这条条路已不再再荣光。4） 这这段历史并并不会令人人失望，伽伽罗瓦这样样评论数学学：“数学是人人的心智的的工作，它它注定要去去探索而不不是知道，去去追求真理理而不是发发现真理”。 四、一门逻逻辑学科不不合逻辑的的发展算术和代代数的困境境 1 非非欧几何正正是导致欧欧氏几何之之船倾覆的的暗礁。曾经被确信信是坚实的的土地，如如今却
12、被证证明是一片片沼泽。 2 让让我们看看看数学的逻逻辑发展是是如何进行行的吧。1) 亚历山山大里亚希希腊人自由由地使用从从埃及人和和巴比伦人人那里继承承来的，没没有逻辑基基础的算术术和代数。2) 古希腊腊人给后人人两门截然然不同的、发发展得不一一样的数学学分支：一一方面是演演绎的、系系统的、但但有些缺陷陷的几何，另另一方面则则是经验算算术及其延延展代数。3) 在阿拉拉伯人最终终毁灭了亚亚历山大里里亚希腊文文明以后，印印度人和阿阿拉伯人成成为数学的的执牛耳者者。4) 印度人人引入了负负数来表示示负债，这这一举动加加重了数学学家们逻辑辑上的苦恼恼，印度人人注重的是是算术和计计算方面，而而不是演绎绎
13、结构。印度人有一一些不错的的思想，例例如， 数数字1到99用独立的的记号表示示 将将六十进制制化为十进进制 负负数，把00当作一个个数来对待待。所所以，印度度人的工作作扩充了建建立在经验验和直觉基基础上的那那部分数学学。 3 在在16、117世纪，并并没有许多多数学家承承认负数 4 无无理数被自自由地运用用于文艺复复兴时期的的一个新发发明，对数之中，而而无理数究究竟是不是是真正的数数也困扰着着这些使用用者。 5 当当欧洲人还还没有从无无理数与负负数的困境境中摆脱出出来时，他他们又糊里里糊涂地陷陷入了我们们现在称之之为复数的的泥沼之中中。 6 韦韦达是第一一个有意识识地系统地地使用字母母的人，字
14、字母的主要要新用途不不仅是用于于表示未知知量的幂，而而且用以表表示一般的的系数。 7 代代数的产生生：1) 直到17世世纪代数的的威力才被被逐渐认识识到，笛卡卡尔和费马马迈出了举举足轻重珠珠一步，这这就是坐标标几何的产产生（代数数几何）。其其基本思想想是：曲线线显然可以以用方程来来表示。2) 第二个个将代数推推向前台的的创举是运运用代数公公式表示函函数。3) 代数的的自由使用用激起众怒怒，直到11750年年，人们才才得以放心心大胆地运运用代数。4) 几何学学是公元前前300年年前用演绎绎的方法建建立起来的的，但算术术与代数学学都怎么也也找不到逻逻辑基础。科科学的需要要战胜了逻逻辑上的顾顾忌。
15、8 数数学家们为为什么没有有发展一个个数与代数数的演绎推推导结构呢呢？这是因因为几何的的概念、公公理和原理理从直观上上看，远比比算术和代代数的易于于接受，作作图可辅助助解释结构构。但无理数、负负数和复数数的概念都都微妙得多多，即使可可以得到图图形，也无无法解释数数字作为数数和建立于于数学基础础上的字母母表示法的的逻辑结构构。 五、分析的的困境 1 以以微积分为为核心的分分析是建立立在算术与与代数虚构构的逻辑基基础及欧几几里得几何何有争议的的基础之上上的。 2 117世纪就就随着微积积分、算术术及代数的的一片混乱乱结束了。 3 18世纪伟伟大的数学学家不仅极极大地扩展展了微积分分学而且从从中导出
16、了了一些全新新的学科：无穷级数数、常微分分方程、偏偏微分方程程、微分几几何、变分分法及复变变函数这些统称称为分析的的学科。从从微积分到到这些新分分支的扩展展引入了新新概念、新新方法，使使得微积分分的严密性性问题更加加复杂。对无穷级数数的处理也也许可以用用来解释一一下这些新新的麻烦 于于是，当 时时 即即 问题出出在：1) 如何讨讨论级数的的求和？收收敛和发散散？2) 有限运运算和无限限运算有何何区别？ 4 几几何18世世纪的每位位数学家都都在微积分分的逻辑上上做了努力力，但他们们的努力都都是没有多多大用处的的。人们很难区区别很大的的数与无穷穷数；有限限项的积与与积分也很很难区分，数数学家们在在
17、有限与无无限之间随随意通行。策积分变为为“计算与度度量一个其其存在性是是不可思议议的事物的的艺术”。 5 118世纪结结束之际，微微积分和建建立在微积积分基础上上的分析的的其它分支支的逻辑处处于一种完完全混乱的的状态之中中。 六、19世世纪的困境境（逻辑基基础） 1 无无理数，可可看作是直直线上的点点，对它的的作用，人人们没有异异议，直观观上难以接接受的是负负数和复数数。1) 柯西，最最伟大的数数学家之一一，在199世纪初创创立了复变变函数理论论，但不同同意把表达达式 当作作数。2) 哈密尔尔顿，这位位伟大数学学家，也不不愿意接受受负数和复复数3) 高斯，在在他的著作作中，并不不愿意承认认复数
18、。 2 119世纪上上半期，人人们注意到到代数也缺缺乏逻辑基基础，主要要问题是字字母被用来来表示各类类数并参与与运算。 3 除了代数，119世纪早早期的分析析也处于逻逻辑困境中中，所有分分析的基础础就是连续续函数和函函数导数的的概念。直直观上，一一个连续函函数应在任任何一点都都有导数存存在，不幸幸的是，这这是错误的的。 4 19世纪任任何一门数数学在逻辑辑上都是得得不到保证证的。实数数系、代数数学、欧氏氏几何，新新出现的非非欧几何和和射影几何何，它们要要么逻辑不不完善，要要么根本就就没有。 5 在所有的数数学工作中中，存在强强烈的直觉觉作用，基基本概念和和方法总是是在对结论论合理的证证明以前很
19、很久就被直直觉捕捉到到了，伟大大人物的直直觉比凡人人的推演论论证更为可可靠。 七、天堂之之门（数学学的严格化化运动） 1 柯西决决定在数的的基础上建建立微积分分逻辑，把把微积分建建立在极限限的概念上上。 2 在分析析严密化方方面，主要要的成就归归功于另一一位大师魏魏尔斯特拉拉斯（Weeiersstrasss）。 3 大约18990年左右右，在埃及及人和巴比比伦人使用用整数、分分数和无理理数六千年年后，数学学家们终于于可以证明明2+24。 4 大约19000年为止止，算术、代代数和（建建立在整数数公理基础础上的）分分析及（以以点、线和和其它几何何概念为基基础的）几几何已经被被严密化。&szlii
20、g;接下来的的问题纠缠缠于逻辑，即即在由一个个数学步骤骤推出另一一个中的推推理原理 1 逻逻辑学是由由亚里士多多德在他的的工具篇篇中奠定定的。他的的基本原理理之一就是是排中律即所有有有意义的断断言非真即即假。亚里士多德德的逻辑主主要由三段段论构成 2 莱莱布尼茨的的普遍逻辑辑构想：1）符号化化 2）推推理演算 3）基本本概念的组组合 3 布布尔（Geeorgee Booole），引引入了命题题逻辑皮尔斯：有有效地引进进了命题函函数这一概概念，还引引入了所谓谓的“量词”从而引进进了一阶逻逻辑。弗雷格（GGottllob FFregee）（法）：在数学化化逻辑的方方向上迈出出了19世世纪的最关关键
21、一步。他他引入了一一个更广泛泛的蕴涵概概念。 4 在在20世纪纪初公理化化方法被认认为是完美美的，没有有人比希尔尔伯特对它它更为推崇崇了，他是是当时世界界上顶尖的的数学家。 5 事事实上，所所有的这些些公理化结结构和严密密所做的无无非是证明明了数学家家所知道的的那些东西西确实是那那样的。&szliig;所有的这些些意味着数数学并非建建立在逻辑辑之上而是是建立在健健全的直觉觉之上。逻辑是数学学家们想要要保证健康康和强壮的的卫生手段段。 回顾数数学上几次次危机： 1）无无理数 2）微微积分 3）非非欧几何 4）四元元数 在19900年巴巴黎举行的的第二届国国际数学大大会上，希希尔伯特清清醒地认识识
22、到数学基基础中的漏漏洞并未完完全堵住，他他提出了数数学发展中中最重要的的23个问问题。第一个问题题：1）康托尔尔引入了超超限数来表表示无限集集中元素的的个数。2）证明：整数个数数这一超限限数之后，第第二大超限限数是所有有实数的个个数。 八、天堂受受阻：理性性的新危机机（无穷集集合） 1 到到19000年，数学学家们近似似乎已经赋赋予了他们们的学科一一种理想的的结构。 他他们最终承承认了未定定义概念的的必需。 正正确、严谨谨、演绎的的证明取代代了基于直直觉成经验验的结论。 逻逻辑学的原原理用以完完善数学家家们过去常常用的那种种不正规的的、不清晰晰的证明方方式。但，“当大大厦即将竣竣工的时候候，基
23、础却却崩溃了” 2 导导致矛盾并并让人大开开眼界的新新理念是关关于无穷集集合的康托托尔证明了了：1) 整数集集，他用符符号 （阿阿列夫零）来来表示这个个基数。2) 实数集集，大于整整数集，他他用符号CC来表示其其基数。3) 对于一一个任意给给定的集合合，总存在在一个比它它更大的集集合。4) 5) 已已知集合的的所有子集集构成的集集合，其基基数大于这这已知集合合的基数。6) 所有集集合组成的的集合，它它的基数应应该是能存存在的最大大数了。“悖论”存在着着一个比最最大数还要要大的超限限数。 3“理发发师”悖论：一个乡村理理发师，宣宣称他不给给村里任何何给自己刮刮脸的人刮刮脸，但却却给所有不不给自己
24、刮刮脸的人刮刮脸。问题是：他他是否应当当给自己刮刮脸？&szliig;“全部”这这个词的意意义是含混混的 4“连续续统假设”在 和C之之间不存在在其它超限限数，或实实数的任意意无限子集集的基数是是 或C。 八、自然的的权威 1 决定数学的的合理性的的不是能在在某一天被被证明是正正确的某一一种基础，数数学在物理理世界中的的应用决定定其“正确性”。数学和和牛顿力学学一样是一一门经验科科学。当它它有效时，就就是正确的的，若其无无效，则须须加以修正正。 2 数学的任何何一个分支支都只提供供一个可用用的理论。只只要它可用用一天，我我们就须使使用它一天天，但将来来也许会需需要一个更更好的理论论。数学是是人
25、和自然然的中介，它它是我们自自身与外界界之间的一一座充满险险阻、令人人生畏的桥桥梁。 3 科科学是合理理化的虚构构，而正是是数学使之之合理化。数学在现代代科学中的的作用远不不只是一种种主要工具具。用记号号和公式将将那些通过过实验在物物理上观察察和建立起起来的东西西一般化、系系统化，然然后再从公公式中推导导出另外一一些信息，这这就是人们们所经常描描述的数学学的作用。 4 数数学具有一一种表示和和预言实际际现象的令令人难以置置信的精度度。 5 音音乐能激起起或平静人人的心灵，绘绘画能愉悦悦人的视觉觉，诗歌能能激发人的的感情，哲哲学能使思思想得到满满足，工程程技术能改改善人的物物质生活，而而数学则能能够做到所所有的一切切。