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1、数学发展简史数学发展简史 一、数学起源 1 希希腊人发发现了推推理的作作用古典时期（公公元前6600前3000年）的的希腊人人，认识识到人类类有智慧慧、有思思维，能能够发现现真理。2 最最早提出出自然界界数学模模式的是是以毕达达哥拉斯斯（Pyythaagorras）为为领袖的的座落于于意大利利南部的的毕达哥哥拉斯学学派。3 继继毕达哥哥拉斯学学派之后后，最有有影响的的是由柏柏拉图学学派，他他控制了了公元前前4世纪纪这一重重要时期期希腊人人的思想想，他是是雅典柏柏拉图学学院的创创立者，存存在了九九百年之之久。4 亚亚里士多多德是柏柏拉图的的学生，他他批评柏柏拉图的的冥世思思想以及及把科学学归结为
2、为数学的的认识。他他是一个个物理学学家，他他相信真真正的知知识是从从感性的的经验通通过直观观和抽象象而获得得。他认为，基基本概念念应该是是不可定定义的，否否则就没没有起始始点。他他又区分分了公理理和公设设。公理对对所有思思想领域域皆真。公设适适用于专专业学科科，如几几何学。5 欧欧几里得得（Euucliid）、阿阿基米得得（Arrchiimeddes）、丢丢番图等等属于希希腊文化化的第二二个重要要时期，亚亚历山大大里亚时时期（公公元前3300年年公元元6000年） 欧几里得（公公元前约约3000年），他他的代表表作几几何原本本是一一本集希希腊数学学大成的的巨著，成成为两千千年来用用公理法法建立
3、演演绎的数数学体系系的典范范。 二、数学的的繁荣（文文艺复兴兴（155世纪初初到177世纪的的2000年） 1 希希腊人的的宗旨自然然是依数数学设计计的，与与文艺复复兴时的的信念上帝帝是这个个设计的的作者，融融汇在一一起，统统治了欧欧洲。2 笛笛卡儿（DDesccarttes，11596616650）被誉为数学学王冠上上的明珠珠之一，但但他首先先是一个个哲学家家，其次次是宇宙宙学家，第第三是物物理学家家，第四四是生物物学家，第第五才是是数学家家。极其敏锐的的直觉和和对结果果的演绎绎这就就是笛卡卡儿认识识哲学的的实质。笛卡儿认为为：思维维只有两两种方法法，这就就是：直直觉和演演绎。笛卡儿对数数学
4、本并并没有提提出什么么新定理理，但他他却提供供了一种种非常有有效的研研究方法法，即解解释几何何。在科学上，笛笛卡儿的的贡献，虽虽然不如如像哥白白尼、开开普勒以以及牛顿顿那样辉辉煌灿烂烂，但也也不容轻轻视。3 帕帕斯卡（PPasccal）：是177世纪伟伟大的数数学家之之一。4 伽伽利略与与笛卡尔尔齐名，他他的主要要贡献是是他在科科学方法法上的许许多变革革。a) 他要研研究和证证明的是是一些运运动的性性质而不不考虑为为会什么么会这样样。b) 他他坚持向向自然科科学家提提议：不不要研究究为什么么会这样样，只要要讨论怎怎样定量量描述。c) 他他的另一一个原则则是：科科学的任任一分支支都可用用数学模模
5、型模仿仿出来。5 牛牛顿是剑剑桥大学学的数学学教授，被被称为最最伟大的的数学家家之一，牛牛顿认为为数学是是枯燥和和乏味的的，只是是表述自自然定律律的一种种工具。牛顿的真正正的成就就在于证证明了开开普勒经经过多年年观测和和研究得得出的开开普勒三三定律可可以由万万有引力力定律和和运动三三定律用用数学方方法推导导出来。拉拉普拉斯斯曾说过过，牛顿顿是最幸幸运的人人，因为为只有一一个宇宙宙，而他他成功地地发现了了它的定定律。6 莱布尼茨（LLeibbnittz，11646617716，法法国数学学家），主主要是个个哲学家家，他多多才多艺艺，对数数学、科科学、历历史、逻逻辑学、法法律、外外交和神神学的贡贡
6、献都是是首屈一一指的。7 欧欧拉（EEuleer，11707717783，瑞瑞士），是是18世世纪最伟伟大的数数学家，也也是数学学史上最最多产的的数学家家，其论论著几乎乎涉及118世纪纪所有的的数学分分支。欧拉认为所所有自然然现象之之所以表表现如此此，是因因为它们们要使某某些函数数达到极极大或极极小，因因而，基基本的物物理原理理应包括括达到极极大或极极小的函函数。 数学支配配一切，118世纪纪最伟大大的智者者对此深深信不疑疑。 三、第一场场灾难：真理的的丧失（非非欧几何何和四元元数的发发现） 1 进进入199世纪，数数学界正正是一派派祥瑞景景象：1) 拉拉格朗日日：仍然然活跃在在数学界界；2)
7、 拉拉普拉斯斯：正处处在他智智力的顶顶峰时期期；3) 傅傅立叶：至力于于热的传传导研究究，他发发展了无无穷三角角级数现称称为傅立立叶级数数的理论论。对他他的工作作无论用用什么词词来赞誉誉都不过过分。4) 高高斯（GGausss）：发表了了他的算算术研究究（118011），这这是关于于数论的的一个里里程碑，赢赢得了数数学王子子的雅称称。5) 柯柯西（CCaucchy）：他的数数学论文文超过7700篇篇，仅次次于欧拉拉，能与与高斯匹匹敌。 2 到到18000年时时上帝的的存在越越来越不不被感觉觉到，然然而当时时的数学学家们还还是相信信严格的的数学真真理和自自然界的的数学法法则，在在所有的的数学分分
8、支中，欧欧氏几何何最受推推崇。“上帝”所所攻击的的正是欧欧氏几何何。达兰贝尔在在17559年解解平行公公理问题题是“几何原原理中的的家丑” 3 非非欧几何何的产生生：1) 118133年起，高高斯开始始发展他他的非欧欧几何。2) 创创造非欧欧几何的的人是罗罗巴切夫夫斯基。3) 物物理空间间的几何何可以是是非欧几几里得的的，它的的创建的的是黎曼曼（Kiiemaan），他他是高斯斯的学生生。 4 高高斯认为为，真理理存在于于数中，它它是算术术、代数数、微积积分以及及后续学学科的基基础。雅可比（JJacoobi）说说：“上帝一一直在进进行算术术化”。一直直到18850年年，算术术在科学学上远比比几何
9、使使用得更更为广泛泛，不幸幸的是毁毁灭性的的事情接接踵而来来。 5 从从16世世纪开始始，数学学家们就就在使用用微量的的概念了了。复数被用作作向量代代数二维数数用什么来表表示空间间中某种种三维数数的向量量及其代代数运算算呢？ 6 四四元数的的引入：1) 1843年年，哈密密尔顿提提出了一一个有用用的复数数的空间间类似物物，为此此他困惑惑了155年。他他的新数数包含四四个分量量，其次次，他不不得不牺牺牲了乘乘法交换换律。他他把这种种数叫做做四元数数。（a+bii+cii+dkk）2) 四四元数的的引入给给了数学学家们又又一次震震动。它它是一个个确实有有用途的的代数，却却不具备备所有实实数和复复数
10、的基基本性质质，即aab=bba3) 继继四元数数后不久久，数学学家们引引入了更更奇怪的的代数，如如，著名名代数几几何学家家凯莱引引进了矩矩阵，它它是矩形形或正方方形数组组。4) 对算术真理理的最严严重打击击来自于于亥姆霍霍兹（HHelmmholltz）他他的结论论是：只只有经验验能告诉诉我们算算术的法法则能用用在哪里里，我们们并不能能肯定一一条先验验公式是是否在任任何情况况下都适适用。如，分数的的加法运运算在计计算平均均速度时时，就有有 7 数数学中没没有真理理，即作作为现实实世界普普适法则则。希腊人试图图从几条条自明的的真理出出发和仅仅仅使用用演绎的的证明方方法来保保证数学学的真实实性被证
11、证明是徒徒劳的。1） 数学并不是是一堆天天然的钻钻石，而而不过是是人工宝宝石，某某些领域域的经验验启发特特定的公公理，在在这些领领域，这这些公理理及真逻逻辑结果果能够非非常精确确地作有有价值的的描述。但但是，一一旦这一一领域扩扩展了，这这种适用用性就可可能失去去。2） 既既然数学学家们已已经放弃弃了上帝帝，我们们就应该该相信人人。自然然法则是是人的创创造物，是是我们，而而不是上上帝，才才是宇宙宙法则的的制定者者，自然然法则是是人的描描述而不不是上帝帝的命令令。3） 117500年数学学家们可可以这样样夸耀他他们的发发明：沐浴着上帝帝的光芒芒，我们走向四四面八方方。 到了了18550年，他他们不
12、得得不沮丧丧地承认认 不不管我走走到哪里里， 尘尘世中这这条路已已不再荣荣光。4） 这这段历史史并不会会令人失失望，伽伽罗瓦这这样评论论数学：“数学是人人的心智智的工作作，它注注定要去去探索而而不是知知道，去去追求真真理而不不是发现现真理”。 四、一门逻逻辑学科科不合逻逻辑的发发展算术和和代数的的困境 1 非非欧几何何正是导导致欧氏氏几何之之船倾覆覆的暗礁礁。曾经被确信信是坚实实的土地地，如今今却被证证明是一一片沼泽泽。 2 让让我们看看看数学学的逻辑辑发展是是如何进进行的吧吧。1) 亚亚历山大大里亚希希腊人自自由地使使用从埃埃及人和和巴比伦伦人那里里继承来来的，没没有逻辑辑基础的的算术和和代
13、数。2) 古古希腊人人给后人人两门截截然不同同的、发发展得不不一样的的数学分分支：一一方面是是演绎的的、系统统的、但但有些缺缺陷的几几何，另另一方面面则是经经验算术术及其延延展代数数。3) 在在阿拉伯伯人最终终毁灭了了亚历山山大里亚亚希腊文文明以后后，印度度人和阿阿拉伯人人成为数数学的执执牛耳者者。4) 印印度人引引入了负负数来表表示负债债，这一一举动加加重了数数学家们们逻辑上上的苦恼恼，印度度人注重重的是算算术和计计算方面面，而不不是演绎绎结构。印度人有一一些不错错的思想想，例如如， 数字11到9用用独立的的记号表表示 将六十十进制化化为十进进制 负数，把把0当作作一个数数来对待待。所所以，
14、印印度人的的工作扩扩充了建建立在经经验和直直觉基础础上的那那部分数数学。 3 在在16、117世纪纪，并没没有许多多数学家家承认负负数 4 无无理数被被自由地地运用于于文艺复复兴时期期的一个个新发明明，对数之中，而而无理数数究竟是是不是真真正的数数也困扰扰着这些些使用者者。 5 当当欧洲人人还没有有从无理理数与负负数的困困境中摆摆脱出来来时，他他们又糊糊里糊涂涂地陷入入了我们们现在称称之为复复数的泥泥沼之中中。 6 韦韦达是第第一个有有意识地地系统地地使用字字母的人人，字母母的主要要新用途途不仅是是用于表表示未知知量的幂幂，而且且用以表表示一般般的系数数。 7 代代数的产产生：1) 直到17世
15、世纪代数数的威力力才被逐逐渐认识识到，笛笛卡尔和和费马迈迈出了举举足轻重重珠一步步，这就就是坐标标几何的的产生（代代数几何何）。其其基本思思想是：曲线显显然可以以用方程程来表示示。2) 第第二个将将代数推推向前台台的创举举是运用用代数公公式表示示函数。3) 代代数的自自由使用用激起众众怒，直直到17750年年，人们们才得以以放心大大胆地运运用代数数。4) 几几何学是是公元前前3000年前用用演绎的的方法建建立起来来的，但但算术与与代数学学都怎么么也找不不到逻辑辑基础。科科学的需需要战胜胜了逻辑辑上的顾顾忌。 8 数数学家们们为什么么没有发发展一个个数与代代数的演演绎推导导结构呢呢？这是是因为几
16、几何的概概念、公公理和原原理从直直观上看看，远比比算术和和代数的的易于接接受，作作图可辅辅助解释释结构。但无理数、负负数和复复数的概概念都微微妙得多多，即使使可以得得到图形形，也无无法解释释数字作作为数和和建立于于数学基基础上的的字母表表示法的的逻辑结结构。 五、分析的的困境 1 以以微积分分为核心心的分析析是建立立在算术术与代数数虚构的的逻辑基基础及欧欧几里得得几何有有争议的的基础之之上的。 2 117世纪纪就随着着微积分分、算术术及代数数的一片片混乱结结束了。 3 18世纪伟伟大的数数学家不不仅极大大地扩展展了微积积分学而而且从中中导出了了一些全全新的学学科：无无穷级数数、常微微分方程程、
17、偏微微分方程程、微分分几何、变变分法及及复变函函数这些统统称为分分析的学学科。从从微积分分到这些些新分支支的扩展展引入了了新概念念、新方方法，使使得微积积分的严严密性问问题更加加复杂。对无穷级数数的处理理也许可可以用来来解释一一下这些些新的麻麻烦 于是，当 时 即即 问题题出在：1) 如如何讨论论级数的的求和？收敛和和发散？2) 有有限运算算和无限限运算有有何区别别？ 4 几几何188世纪的的每位数数学家都都在微积积分的逻逻辑上做做了努力力，但他他们的努努力都是是没有多多大用处处的。人们很难区区别很大大的数与与无穷数数；有限限项的积积与积分分也很难难区分，数数学家们们在有限限与无限限之间随随意
18、通行行。策积分变为为“计算与与度量一一个其存存在性是是不可思思议的事事物的艺艺术”。 5 118世纪纪结束之之际，微微积分和和建立在在微积分分基础上上的分析析的其它它分支的的逻辑处处于一种种完全混混乱的状状态之中中。 六、19世世纪的困困境（逻逻辑基础础） 1 无理数数，可看看作是直直线上的的点，对对它的作作用，人人们没有有异议，直直观上难难以接受受的是负负数和复复数。1) 柯柯西，最最伟大的的数学家家之一，在在19世世纪初创创立了复复变函数数理论，但但不同意意把表达达式 当当作数。2) 哈哈密尔顿顿，这位位伟大数数学家，也也不愿意意接受负负数和复复数3) 高高斯，在在他的著著作中，并并不愿意
19、意承认复复数。 2 19世世纪上半半期，人人们注意意到代数数也缺乏乏逻辑基基础，主主要问题题是字母母被用来来表示各各类数并并参与运运算。 3 除了代数，119世纪纪早期的的分析也也处于逻逻辑困境境中，所所有分析析的基础础就是连连续函数数和函数数导数的的概念。直直观上，一一个连续续函数应应在任何何一点都都有导数数存在，不不幸的是是，这是是错误的的。 4 19世纪任任何一门门数学在在逻辑上上都是得得不到保保证的。实实数系、代代数学、欧欧氏几何何，新出出现的非非欧几何何和射影影几何，它它们要么么逻辑不不完善，要要么根本本就没有有。 5 在所有的数数学工作作中，存存在强烈烈的直觉觉作用，基基本概念念和
20、方法法总是在在对结论论合理的的证明以以前很久久就被直直觉捕捉捉到了，伟伟大人物物的直觉觉比凡人人的推演演论证更更为可靠靠。 七、天堂之之门（数数学的严严格化运运动） 1 柯西西决定在在数的基基础上建建立微积积分逻辑辑，把微微积分建建立在极极限的概概念上。 2 在分分析严密密化方面面，主要要的成就就归功于于另一位位大师魏魏尔斯特特拉斯（WWeieersttrasss）。 3 大约18990年左左右，在在埃及人人和巴比比伦人使使用整数数、分数数和无理理数六千千年后，数数学家们们终于可可以证明明2+224。 4 大约19000年为为止，算算术、代代数和（建建立在整整数公理理基础上上的）分分析及（以以
21、点、线线和其它它几何概概念为基基础的）几几何已经经被严密密化。&szliig;接下来的的问题纠纠缠于逻逻辑，即即在由一一个数学学步骤推推出另一一个中的的推理原原理 1 逻逻辑学是是由亚里里士多德德在他的的工具具篇中中奠定的的。他的的基本原原理之一一就是排排中律即所有有有意义义的断言言非真即即假。亚里士多德德的逻辑辑主要由由三段论论构成 2 莱莱布尼茨茨的普遍遍逻辑构构想：1）符号化化 2）推推理演算算 3）基基本概念念的组合合 3 布布尔（GGeorrge Booole），引引入了命命题逻辑辑皮尔斯：有有效地引引进了命命题函数数这一概概念，还还引入了了所谓的的“量词”从而引引进了一一阶逻辑辑。
22、弗雷格（GGotttlobb Frregee）（法法）：在在数学化化逻辑的的方向上上迈出了了19世世纪的最最关键一一步。他他引入了了一个更更广泛的的蕴涵概概念。 4 在在20世世纪初公公理化方方法被认认为是完完美的，没没有人比比希尔伯伯特对它它更为推推崇了，他他是当时时世界上上顶尖的的数学家家。 5 事事实上，所所有的这这些公理理化结构构和严密密所做的的无非是是证明了了数学家家所知道道的那些些东西确确实是那那样的。&szliig;所有的这些些意味着着数学并并非建立立在逻辑辑之上而而是建立立在健全全的直觉觉之上。逻辑是数学学家们想想要保证证健康和和强壮的的卫生手手段。 回顾数数学上几几次危机机：
23、 11）无理理数 2）微微积分 33）非欧欧几何 44）四元元数 在19900年年巴黎举举行的第第二届国国际数学学大会上上，希尔尔伯特清清醒地认认识到数数学基础础中的漏漏洞并未未完全堵堵住，他他提出了了数学发发展中最最重要的的23个个问题。第一个问题题：1）康托尔尔引入了了超限数数来表示示无限集集中元素素的个数数。2）证明：整数个个数这一一超限数数之后，第第二大超超限数是是所有实实数的个个数。 八、天堂受受阻：理理性的新新危机（无无穷集合合） 1 到到19000年，数数学家们们近似乎乎已经赋赋予了他他们的学学科一种种理想的的结构。 他们最最终承认认了未定定义概念念的必需需。 正确、严严谨、演演
24、绎的证证明取代代了基于于直觉成成经验的的结论。 逻辑学学的原理理用以完完善数学学家们过过去常用用的那种种不正规规的、不不清晰的的证明方方式。但，“当大大厦即将将竣工的的时候，基基础却崩崩溃了” 2 导导致矛盾盾并让人人大开眼眼界的新新理念是是关于无无穷集合合的康托托尔证明明了：1) 整整数集，他他用符号号 （阿阿列夫零零）来表表示这个个基数。2) 实实数集，大大于整数数集，他他用符号号C来表表示其基基数。3) 对对于一个个任意给给定的集集合，总总存在一一个比它它更大的的集合。4) 55) 已知集集合的所所有子集集构成的的集合，其其基数大大于这已已知集合合的基数数。6) 所所有集合合组成的的集合
25、，它它的基数数应该是是能存在在的最大大数了。“悖论”存在在着一个个比最大大数还要要大的超超限数。 3“理发发师”悖论：一个乡村理理发师，宣宣称他不不给村里里任何给给自己刮刮脸的人人刮脸，但但却给所所有不给给自己刮刮脸的人人刮脸。问题是：他他是否应应当给自自己刮脸脸？&szliig;“全部”这这个词的的意义是是含混的的 4“连续续统假设设”在 和C之之间不存存在其它它超限数数，或实实数的任任意无限限子集的的基数是是 或CC。 八、自然的的权威 1 决定数学的的合理性性的不是是能在某某一天被被证明是是正确的的某一种种基础，数数学在物物理世界界中的应应用决定定其“正确性性”。数学学和牛顿顿力学一一样
26、是一一门经验验科学。当当它有效效时，就就是正确确的，若若其无效效，则须须加以修修正。 2 数学的任何何一个分分支都只只提供一一个可用用的理论论。只要要它可用用一天，我我们就须须使用它它一天，但但将来也也许会需需要一个个更好的的理论。数数学是人人和自然然的中介介，它是是我们自自身与外外界之间间的一座座充满险险阻、令令人生畏畏的桥梁梁。 3 科科学是合合理化的的虚构，而而正是数数学使之之合理化化。数学在现代代科学中中的作用用远不只只是一种种主要工工具。用用记号和和公式将将那些通通过实验验在物理理上观察察和建立立起来的的东西一一般化、系系统化，然然后再从从公式中中推导出出另外一一些信息息，这就就是人们们所经常常描述的的数学的的作用。 4 数数学具有有一种表表示和预预言实际际现象的的令人难难以置信信的精度度。 5 音音乐能激激起或平平静人的的心灵，绘绘画能愉愉悦人的的视觉，诗诗歌能激激发人的的感情，哲哲学能使使思想得得到满足足，工程程技术能能改善人人的物质质生活，而而数学则则能够做做到所有有的一切切。