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1、人教版八年级数学上11.3.1角平分线的性质角平分线的性质（1）ADBCE 不利用工具，请你将一张用纸片不利用工具，请你将一张用纸片不利用工具，请你将一张用纸片不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办做的角分成两个相等的角。你有什么办做的角分成两个相等的角。你有什么办做的角分成两个相等的角。你有什么办法？法？法？法？AOBC活活 动动1 再再再再打打打打开开开开纸纸纸纸片片片片 ，看看看看看看看看折折折折痕与这个角有何关系？痕与这个角有何关系？痕与这个角有何关系？痕与这个角有何关系？（对折）（对折）1、如如图图，是是一一个个角角平平分分仪仪，其中其中AB=AD,BC=DC
2、。将将点点A放放在在角角的的顶顶点点,AB和和AD沿沿着着角角的的两两边边放放下下,沿沿AC画画一一条条射射线线AE,AE就就是是角角平平分分线线，你你能能说说明明它它的的道理吗道理吗?活活 动动2ADBCE 如如果果前前面面活活动动中中的的纸纸片片换换成成木木板板、钢钢板板等等没没法法折折的的角角，又又该该怎怎么么办呢？办呢？p2、证明：在ACD和和ACB中中 AD=AB（已知）（已知）DC=BC（已知）（已知）CA=CA（公共边）（公共边）ACD ACB（SSS）CAD=CAB（全等三角形的（全等三角形的 对应边相等）对应边相等）AC平分平分DAB（角平分线的定义）（角平分线的定义）ADB
3、CE 根据角平分仪的制作原理怎样作一个根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）角的平分线？（不用角平分仪或量角器）OABCE活活 动动3NOMCENM 做一做做一做1 1l已知已知:AOB,:AOB,如图如图.l求作求作:射线射线OC,OC,使使AOC=BOC.AOC=BOC.l作法作法:l用尺规作角的平分线用尺规作角的平分线.l1.1.在在OAOA和和OBOB上分别截取上分别截取OD,OE,OD,OE,使使OD=OE.OD=OE.l2.2.分别以点分别以点D D和和E E为圆心为圆心,以大于以大于DE/2DE/2长长为半径作弧为半径作弧,两弧在两弧在 AOBAOB
4、内交于点内交于点C.C.l3.3.作射线作射线OC.OC.请你说明请你说明OCOC为什么是为什么是AOBAOB的平分线的平分线,并与同伴进行交流并与同伴进行交流.l则射线则射线OCOC就是就是AOBAOB的平分线的平分线.DEABOC1 1平分平角平分平角AOBAOB2 2通过上面的步骤，得到射线通过上面的步骤，得到射线OCOC以后，把以后，把它反向延长得到直线它反向延长得到直线CDCD，直线，直线CDCD与直线与直线ABAB是什么关系？是什么关系？3 3结论：作平角的平分线即可平分平角，结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂由此也得到过直线上一点作这条直线的垂
5、线的方法。线的方法。活活 动动4ABOCD探究角平分线的性质 (1)实验实验：将：将AOB对折，再折出一个直角对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？活活 动动5 (2)(2)猜猜想想:角角的的平平分分线线上上的的点点到到角角的的两边的距离相等两边的距离相等.证明：证明：OC平分平分 AOB（已知）（已知）1=2（角平分线的定义）（角平分线的定义）PD OA，PE OB（已知）（已知）PDO=PEO（垂直的定义）（垂直的定义）在在PDO和和PEO
6、中中 PDO=PEO（已证）（已证）1=2（已证）（已证）OP=OP（公共边）（公共边）PDO PEO（AAS）PD=PE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）P PA AOOB BC CE EDD12已知：如图，已知：如图，OCOC平分平分AOBAOB，点，点P P在在OCOC上，上，PDPDOAOA于点于点D D，PEOBPEOB于点于点E E求证求证:PD=PE:PD=PE探究角平分线的性质探究角平分线的性质活活 动动5(3)验证验证猜想猜想角平分线上角平分线上的点到角两的点到角两边的距离相边的距离相等。等。(4)得到得到角平分线角平分线的性质：的性质：活活 动动5 利利用
7、用此此性性质质怎怎样书写推理过程样书写推理过程?OC平分平分AOB,PD OA，PE OB（已知）（已知）PD=PE（角平分线（角平分线上的点到角两边的距上的点到角两边的距离相等）离相等）P PA AO OB BC CE ED D12活动 6要在要在S区建一个集区建一个集贸市场贸市场,使它到公路使它到公路和铁路的距离相等和铁路的距离相等,离公路与铁路交叉离公路与铁路交叉处处500米米,这个集贸这个集贸市场应建于何处市场应建于何处(在在图上标出它的位置图上标出它的位置,比例尺为比例尺为1:20 000)?S活活 如如 图图：在在 ABC中中，C=90 AD是是BAC的的平平分分线线，DEAB于于
8、 E，F在在 AC上上，BD=DF；求证：求证：CF=EBACDEBF 分分析析:要要证证CF=EB,首首先先我我们们想想到到的的是是要要证证它它们所在的两个三角形全等们所在的两个三角形全等,即即RtCDF RtEDB.现现已已有有一一个个条条件件BD=DF(斜斜边边相相等等),还还需需要我们找什么条件要我们找什么条件DC=DE(因因为为角角的的平平分分线线的的性性质质)再用再用HL证明证明.试试自己写试试自己写证明。你一证明。你一定行！定行！例题例题 如图如图,ABC的角平分线的角平分线BM,CN交于点交于点P.求证求证:点点P到三边到三边AB,BC,CA的距离相等的距离相等 证明证明:过点过点P作作 PDAB,PEBA,PFAC 垂足为垂足为D,E,F.BM是是ABC的角平分线的角平分线,点点P在在BM上上 PD=PE同理同理PE=PF PD=PE=PF 即点即点P到到ABC三边的距离相等三边的距离相等DNMFEPABC