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1、人教版八年级数学(上)11.3.1角平分线角平分线的性质（的性质（1）ADBCE自学提纲1.角平分仪为什么能平分一个角？P192.如何画一个角的平分线？P194.角的平分线的性质是什么？如何证明？用几何符号如何表示？P206.课本中利用角平分线的性质解决了一个什么实际问题？P213.如何通过作一个平角的平分线得到直线的垂线？P19练习5.证明一个几何命题的步骤是什么？P21 不利用工具，请你将一张用纸不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？么办法？AOBC活活 动动1 再再再再打打打打开开开开纸纸纸纸片片片片 ，看看看看看看看看折折折折
2、痕与这个角有何关系？痕与这个角有何关系？痕与这个角有何关系？痕与这个角有何关系？（对折对折）1、如如图图，是是一一个个角角平平分分仪仪，其中其中AB=AD,BC=DC。将将点点A放放在在角角的的顶顶点点,AB和和AD沿沿着着角角的的两两边边放放下下,沿沿AC画画一一条条射射线线AE,AE就就是是角角平平分分线线，你能说明它的道理吗你能说明它的道理吗?活活 动动2ADBCE 如如果果前前面面活活动动中中的的纸纸片片换换成成木木板板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？钢板等没法折的角，又该怎么办呢？p2、证明：在ACD和和ACB中中 AD=AB（已知）（已知）DC=BC（已知）（已知）CA=CA（公
3、共边）（公共边）ACD ACB（SSS）CAD=CAB（全等三角形的（全等三角形的 对应角相等）对应角相等）AC平分平分DAB（角平分线的定义）（角平分线的定义）ADBCE 根据角平分仪的制作原理怎样作根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）量角器）OABCE活活 动动3NOMCENM已知已知：(如图)求作求作：的角平分线OC.在OMC和ONC中OM=ONMC=NCOC=OCOMCONC(SSS)AOC=BOC即:OC 是的角平分线.1、以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N。2、分别以M、N为圆心，大于 的长为半径作弧
4、，两弧在AOB内部交于点C。3、作射线OC，射线OC即为所求。作法作法：ABOCNM证明证明:连结MC,NC由作法知:1 1平分平角平分平角AOBAOB2 2通过上面的步骤，得到射线通过上面的步骤，得到射线OCOC以后，把以后，把它反向延长得到直线它反向延长得到直线CDCD，直线，直线CDCD与直线与直线ABAB是什么关系？是什么关系？3 3结论：作平角的平分线即可平分平角，结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。线的方法。活活 动动4ABOCD探究角平分线的性质 (1)实验实验：将：将AOB对折，再折出一个直角对折，
5、再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？活活 动动5 (2)(2)猜猜想想:角角的的平平分分线线上上的的点点到到角角的的两边的距离相等两边的距离相等.证明：证明：OC平分平分 AOB（已知）（已知）1=2（角平分线的定义）（角平分线的定义）PD OA，PE OB（已知）（已知）PDO=PEO（垂直的定义）（垂直的定义）在在PDO和和PEO中中 PDO=PEO（已证）（已证）1=2（已证）（已证）OP=OP（公共边）（公共边）PDO PEO（AAS）PD
6、=PE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）P PA AOOB BC CE EDD12已知：如图，已知：如图，OCOC平分平分AOBAOB，点，点P P在在OCOC上，上，PDPDOAOA于点于点D D，PEOBPEOB于点于点E E求证求证:PD=PE:PD=PE探究角平分线的性质探究角平分线的性质活活 动动5(3)验证验证猜想猜想角平分线上的角平分线上的点到角两边的点到角两边的距离相等。距离相等。(4)得到得到角角平分线的平分线的性质：性质：活活 动动5 利利用用此此性性质质怎怎样样书书写写推推理理过过程程?(几何符号语言）几何符号语言）1=2,PD OA，PE OB（已知）
7、（已知）PD=PE（全等三角（全等三角形的对应边相等）形的对应边相等）P PA AO OB BC CE ED D12角平分线的性质角平分线的性质定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等用符号语言表示为：用符号语言表示为：AOBPED121=2,PD OA，PE OBPD=PE.题设：一个点在一个角的平分线上题设：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等结论：它到角的两边的距离相等思考：思考：要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处路距离相等且离公路，铁路的交叉处米，应建在何处
8、？（比例尺米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）s公路铁路练一练练一练填空：填空：(1).1=2,DCAC,DEAB _(_)(1).DCAC,DEAB,DC=DE_(_ _)ACDEB121=2DC=DE到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。在角平分线上的点到角的两边的距离相等在角平分线上的点到角的两边的距离相等解：作夹角的角平分线OC，截取 OD=2.5cm,D即为所求。DCs公路铁路2.已知：如图，已知：如图，C=C=90 AC=AC 求证求证（1）ABC=ABC ；（2）BC=BC .（要求不用三角形全等的判定）要求不用三
9、角形全等的判定）BCAC活活 如如 图图：在在 ABC中中，C=90 AD是是BAC的的平平分分线线，DEAB于于 E，F在在 AC上上，BD=DF；求证：求证：CF=EBACDEBF 分分析析:要要证证CF=EB,首首先先我我们们想想到到的的是是要要证证它它们所在的两个三角形全等们所在的两个三角形全等,即即RtCDF RtEDB.现现已已有有一一个个条条件件BD=DF(斜斜边边相相等等),还还需需要我们找什么条件要我们找什么条件DC=DE(因为角的平分线的性质因为角的平分线的性质)再用再用HL证明证明.试试自己写试试自己写证明。你一证明。你一定行！定行！证明证明:AD平分平分C,D是是AD上
10、一点（已知）上一点（已知）如如图图：在在ABC中中，C=90 AD是是BAC的的平平分分线线，DEAB于于E，F在在AC上，上，BD=DF；求证：求证：CF=EBDE AB,DC AC（已知）（已知）在在RTCDF和和RTBDE 中中 BD=DF（已知）（已知）DC=DE（已证）（已证）RT CDF RT FDB(HL)CFB（全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等）ACDEBF DCD(角平分线的性质）角平分线的性质）随堂练习随堂练习BOACDPE1.如如图图，OC是是 AOB的的平平分分线线，PD=PEPD OA，PE OB2.如如 图图,在在 ABC中中，AC BC，AD为为BAC
11、的的平平分分线线，DE AB，AB7，AC3，求，求BE=CM.EDCBA4动脑筋动脑筋3.在在Rt ABC中中，BD平平分分ABC，DE AB于于E，则：，则：图图中中相相等等的的线线段段有有 ;相等的角有：相等的角有：。哪条线段与哪条线段与DE相等？为什么？相等？为什么？若若AB10，BC8，AC6，求求BE，AE的长和的长和AED的周长。的周长。EDCBABE=BC,DE=DCABD=CBDBED=AED=C6810例例 已知：如图，已知：如图，ABC的角平分线的角平分线BM、CN相相交于点交于点P.求证：点求证：点P到三边到三边AB、BC、CA的距离相等的距离相等.证明：证明：过点过点
12、P作作PD、PE、PF分别分别垂直于垂直于AB、BC、CA，垂足为垂足为D、E、F BM是是ABC的角平分线，点的角平分线，点P在在BM上上 PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理同理 PE=PF.PD=PE=PF.即点即点P到边到边AB、BC、CA的距离相等的距离相等DEFABCPMN练习：练习：如图，如图，的的的外角的平的外角的平分线与分线与的外角的平分线相交于的外角的平分线相交于点求证：点到三边，点求证：点到三边，所在直线的距离相等所在直线的距离相等F FGH回味无穷2.2.定理定理 角平分线上的点到这个角角平分线上的点到这个角的两边
13、距离相等的两边距离相等.wOCOC是是AOBAOB的平分线的平分线,wP P是是OCOC上任意一点上任意一点PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是D,E(D,E(已知已知)PD=PE(PD=PE(角平分线上的点到这个角角平分线上的点到这个角的两边距离相等的两边距离相等).).小结 拓展OCB1A2PDE1 1：画一个已知角的角平分线；：画一个已知角的角平分线；及画一条已知直线的垂线；及画一条已知直线的垂线；作业：作业：1、课本习题、课本习题11.3 第第1、2题题2、已已知知一一个个角角AOB，你你能能否否只只用用一一块块三三角角板板画画出出AOB的的角角平平分分线线？说出画法和理由？说出画法和理由.再再 见见