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1、1.1.1 1.1.1 正弦定理（二）正弦定理（二）第一章第一章 解三角形解三角形一、复习一、复习1.正弦定理正弦定理:在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。即即:BCAabc2.可以用正弦定理解决的三角问题：可以用正弦定理解决的三角问题：题型一：题型一：知两角及一边，求其它的边和角知两角及一边，求其它的边和角题型二：题型二：知两边及其中一边对角，求其他边和角知两边及其中一边对角，求其他边和角证明：如图，证明：如图，O为为ABC的外接圆，的外接圆，正弦定理的推论：正弦定理的推论：ABCD .Obac=2R(R为为ABC外接圆半径）外接圆半径
2、）=2R(R为为ABC外接圆半径）外接圆半径）二、新课讲解二、新课讲解则则A=D连接连接BO并延长并延长BO交圆于点交圆于点D连接连接CD，等腰三角形或直角三角形等腰三角形或直角三角形正弦定理的推论：正弦定理的推论：=2R(R为为ABC外接圆半径）外接圆半径）二、新课讲解二、新课讲解45或或135三、例题讲解三、例题讲解例例1在在ABC中，中，A=32.0，B=81.5，a=42.9，解此三，解此三角形（精确到角形（精确到0.1cm）解解:根据三角形的内角和定理：根据三角形的内角和定理：C=180C=180-(A+B)=66.2-(A+B)=66.2由正弦定理可得由正弦定理可得由正弦定理可得由
3、正弦定理可得应用正弦定理解三角形应用正弦定理解三角形题型一题型一:已知两角和任意一边，求出其他两边和一角已知两角和任意一边，求出其他两边和一角三、例题讲解三、例题讲解解解:由正弦定理可得由正弦定理可得C=180C=180-(A+B)76-(A+B)76(1)(1)C=180C=180-(A+B)24-(A+B)24(2)(2)当当B116B116时时，题题型型二二:已已知知两两边边和和其其中中一一边边的的对对角角，求求出出三三角角形形的的另另一边和另外两个角一边和另外两个角.例例2.在在ABC中，中，a=20cm，b=28cm,A=40，解此三角形，解此三角形例例3.在在ABC中，中，A=45
4、，解此三角形，解此三角形三、例题讲解三、例题讲解解解:由正弦定理可得由正弦定理可得由由ba，A=45o,可知可知BAC=180-(A+B)107题题型型二二:已已知知两两边边和和其其中中一一边边的的对对角角，求求出出三三角角形形的的另另一边和另外两个角一边和另外两个角.例例2.在在ABC中，中，a=20cm，b=28cm,A=40，解此三角形，解此三角形若已知若已知a、b、A的值，则解该三角形的步骤如下：的值，则解该三角形的步骤如下：（1）先利用）先利用求出求出sinB，从而求出角，从而求出角B；（2）利用）利用A、B求出角求出角C=180o-(A+B)；（3）再利用）再利用求出边求出边c.三
5、、例题讲解三、例题讲解题题型型二二:已已知知两两边边和和其其中中一一边边的的对对角角，求求出出三三角角形形的的另另一边和另外两个角一边和另外两个角.注意：求角注意：求角B时应注意时应注意检验！检验！例例3在在ABC中中,A=45，,这样的三角形有这样的三角形有_个个三、例题讲解三、例题讲解1.画画PAQ=452.在在AP上取上取AC=b=43.3.以以C C为圆心为圆心,a=6为半径画弧为半径画弧,弧与弧与AQ的交点为的交点为B B45APQ C bBa变变式式:(1)在在ABC中中,A=45，,这样的三角形有这样的三角形有_(2)在在ABC中中,A=45，,这样的三角形有这样的三角形有_(3
6、)在在ABC中中,A=45，,这样的三角形有这样的三角形有_(4)在在ABC中中,A=135，,这样的三角形有这样的三角形有_(5)在在ABC中中,A=135，,这样的三角形有这样的三角形有_2个个1个个0个个1个个0个个1已知两边和其中一边的对角时，解斜三角形的各种情况已知两边和其中一边的对角时，解斜三角形的各种情况ab一解一解bsinAa a无解无解(一一)当当A A为锐角为锐角(二二)当当A A为钝角为钝角a b一解一解ab无解无解三、例题讲解三、例题讲解(三三)当当A A为直角为直角ACbaa b一解一解ACbaab无解无解若已知若已知三角形的三角形的两条边及其中一边的对角（两条边及其
7、中一边的对角（若已知若已知a、b、A的值的值），则可用正弦定理求解，且解的情况如，则可用正弦定理求解，且解的情况如下下A A的范围的范围的范围的范围a,ba,b关系关系关系关系解的情况解的情况解的情况解的情况A A为钝角或直角为钝角或直角为钝角或直角为钝角或直角A A为锐角为锐角为锐角为锐角a ab ba a b ba ab bsinsinA Aa a=b bsinsinA Ab bsinsinA Aa ab b一解一解一解一解无解无解无解无解无解无解无解无解一解一解一解一解两解两解两解两解a a b b一解一解一解一解2.在在ABC中中,由已知条件解三角形由已知条件解三角形,下列有两解的是下
8、列有两解的是()Ab=20,A=45,C=80Ba=30,c=28,B=60Ca=14,b=16,A=45Da=12,c=15,A=120四、练习四、练习判断已知两边及其中一边对角的三角形解的个数判断已知两边及其中一边对角的三角形解的个数的基本步骤的基本步骤(适合填空或选择题适合填空或选择题)：（1）判断已知角）判断已知角A的类型；（钝、直、锐）的类型；（钝、直、锐）（2）判断已知两边）判断已知两边a、b的大小关系；的大小关系；（3）判断）判断a与与bsinA的大小关系的大小关系.C1.在在ABC中，中，A,B,C所对的边分别是所对的边分别是a,b,c，则下列关系一定成立的是则下列关系一定成立
9、的是()AabsinABa=bsinACabsinADabsinAD五、小结五、小结1.正弦定理正弦定理:2.应用正弦定理解三角形应用正弦定理解三角形题型一题型一:已知两角和任意一边，求出其他两边和一角已知两角和任意一边，求出其他两边和一角注：若已知边不是对边，先用三角形内角和定注：若已知边不是对边，先用三角形内角和定理求第三角，再用正弦定理求另两边理求第三角，再用正弦定理求另两边题题型型二二:已已知知两两边边和和其其中中一一边边的的对对角角，求求出出三三角角形的另一边和另外两个角形的另一边和另外两个角.注意有两解、一解、无解三种情况（注意有两解、一解、无解三种情况（求角求角B时应时应检验！检验！）其中，其中，R是是ABC的外接圆的半径的外接圆的半径3.利用图形判断：已知两边和其中一边的对角时解斜三利用图形判断：已知两边和其中一边的对角时解斜三角形的各种情况角形的各种情况（注意已知角的分类）（注意已知角的分类）